高中人教A版 (2019)4.3 对数优质课教案

这是一份高中人教A版 (2019)4.3 对数优质课教案，共6页。

教学难点：灵活运用对数运算性质和换底公式.
教学过程
基础知识
知识点一 对数运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，
(1)lga(MN)＝eq \(□,\s\up3(01))lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝eq \(□,\s\up3(02))lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝eq \(□,\s\up3(03))nlgaM(n∈R)．
思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式lga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？
提示：适用，lga(MNQ)＝lgaM＋lgaN＋lgaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
知识点二 换底公式
(1)对数的换底公式：eq \(□,\s\up3(01))lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．
(2)三个较为常用的推论
①eq \(□,\s\up3(02))lgab·lgbc·lgca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)；
②eq \(□,\s\up3(03))lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，b>0，且均不为1)；
③lgambn＝eq \(□,\s\up3(04))eq \f(n,m)lgab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)．
基础自测
1．若，，，，，下列式子中正确的个数是( )
①；
②；
③；
④.
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A．
2．等于( )
A．1B．2
C．5D．6
[解析] .
3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：_____.
[解析] 原式.
4.求下列各式的值：
(1)；(2)lg5＋lg2；
(3)ln3＋lneq \f(1,3)；(4)lg35－lg315.
[解析] (1)方法一：lg3(27×92)＝lg327＋lg392＝lg333＋lg334＝3lg33＋4lg33＝3＋4＝7；
方法二：lg3(27×92)＝lg3(33×34)＝lg337＝7lg33＝7.
(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.
(3)ln3＋lneq \f(1,3)＝ln(3×eq \f(1,3))＝ln1＝0.
(4)lg35－lg315＝lg3eq \f(5,15)＝lg3eq \f(1,3)＝lg33－1＝－1.
题型探究
题型一 对数运算性质的应用
例1 用lgax，lgay，lgaz表示：
(1)lga(xy2)；(2)lga(xeq \r(y))；(3)lgaeq \r(3,\f(x,yz2)).
[解析] (1)lga(xy2)＝lgax＋lgay2＝lgax＋2lgay.
(2)lga(xeq \r(y))＝lgax＋lgaeq \r(y)＝lgax＋eq \f(1,2)lgay.
(3)lgaeq \r(3,\f(x,yz2))＝eq \f(1,3)lgaeq \f(x,yz2)＝eq \f(1,3)[lgax－lga(yz2)]
＝eq \f(1,3)(lgax－lgay－2lgaz)．
[归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．
【对点练习】❶ 用lgax、lgay、lgaz表示下列各式：
(1)lga(x3y5)；(2)lgaeq \f(\r(x),yz).
[解析] (1)lga(x3y5)＝lgax3＋lgay5＝3lgax＋5lgay.
(2)lgaeq \f(\r(x),yz)＝lgaeq \r(x)－lga(yz)
＝lgax eq \s\up4(\f(1,2)) －(lgay＋lgaz)
题型二 利用对数运算性质化简、求值
例2 化简下列各式：
(1)lg2(23×45)；
(2)eq \f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)；
(3)lg14－2lgeq \f(7,3)＋lg7－lg18；
(4)lg2eq \r(8＋4\r(3))＋lg2eq \r(8－4\r(3))；
(5)lg2(1＋eq \r(2)＋eq \r(3))＋lg2(1＋eq \r(2)－eq \r(3))．
[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．
[解析] (1)lg2(23×45)＝lg223＋lg245
＝3＋5lg24＝3＋5×2＝13.
(2)eq \f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq \f(lg3＋lg4－1,lg1.2)＝eq \f(lg1.2,lg1.2)＝1.
(3)方法一：lg14－2lgeq \f(7,3)＋lg7－lg18
＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
方法二：lg14－2lgeq \f(7,3)＋lg7－lg18
＝lg14－lg(eq \f(7,3))2＋lg7－lg18
(4)lg2eq \r(8＋4\r(3))＋lg2eq \r(8－4\r(3))
＝lg2[(eq \r(8＋4\r(3)))(eq \r(8－4\r(3)))]＝lg2eq \r(64－48)＝lg24＝2.
(5)lg2(1＋eq \r(2)＋eq \r(3))＋lg2(1＋eq \r(2)－eq \r(3))
＝lg2[(1＋eq \r(2))2－(eq \r(3))2]＝lg2(3＋2eq \r(2)－3)
＝lg22eq \r(2)＝lg22 eq \s\up4(\f(3,2)) ＝eq \f(3,2).
＝lgeq \f(14×7,(\f(7,3))2×18)＝lg1＝0.
[归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则
(1)正用或逆用公式，对真数进行处理．
(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
【对点练习】❷ 计算下列各式的值：
(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)lg3eq \r(27)＋lgeq \f(2,5)－lg4；
(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50.
[解析] (1)原式＝
＝eq \f(3,2)＋lgeq \f(1,10)＝eq \f(3,2)＋lg10－1
＝eq \f(3,2)－1＝eq \f(1,2).
(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10)
＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)
＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5
＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2
＝lg5＋lg2＝lg10＝1.
题型三 换底公式的应用
例3 (1)计算lg2eq \f(1,25)·lg3eq \f(1,8)·lg5eq \f(1,9)；
(2)若lg34·lg48·lg8m＝lg42，求m的值．
[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？
(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．
[解析] (1)原式＝eq \f(lg\f(1,25),lg2)·eq \f(lg\f(1,8),lg3)·eq \f(lg\f(1,9),lg5)
＝eq \f((－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3),lg2·lg3·lg5)＝－12.
(2)由题意，得eq \f(lg4,lg3)·eq \f(lg8,lg4)·eq \f(lgm,lg8)＝eq \f(lgm,lg3)＝eq \f(1,2)，∴lgm＝eq \f(1,2)lg3，即lgm＝lg3 eq \s\up4(\f(1,2)) ，
∴m＝eq \r(3).
[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：
(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．
(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如lgab＝eq \f(1,lgba)；lgaan＝n，lgambn＝eq \f(n,m)lgab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．
【对点练习】❸ 计算下列各式的值：
(1)lg89·lg2732；
(2)lg927；
(3)lg2eq \f(1,125)·lg3eq \f(1,32)·lg5eq \f(1,3).
[解析] (1)lg89·lg2732＝eq \f(lg9,lg8)·eq \f(lg32,lg27)＝eq \f(lg32,lg23)·eq \f(lg25,lg33)＝eq \f(2lg3,3lg2)·eq \f(5lg2,3lg3)＝eq \f(10,9).
(2)lg927＝eq \f(lg327,lg39)＝eq \f(lg333,lg332)＝eq \f(3lg33,2lg33)＝eq \f(3,2).
(3)lg2eq \f(1,125)·lg3eq \f(1,32)·lg5eq \f(1,3)
＝lg25－3·lg32－5·lg53－1
＝－3lg25·(－5lg32)·(－lg53)
＝－15·eq \f(lg5,lg2)·eq \f(lg2,lg3)·eq \f(lg3,lg5)
＝－15.
误区警示
忽视真数大于零致误
例4 解方程：lg2(x＋1)－lg4(x＋4)＝1.
[错解]原方程变形为lg2(x＋1)－eq \f(1,2)lg2(x＋4)＝1，
∴lg2(x＋1)－lg2eq \r(x＋4)＝1，∴lg2eq \f(x＋1,\r(x＋4))＝lg22，
∴eq \f(x＋1,\r(x＋4))＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，
故原方程的解为x＝－3或x＝5.
[错因分析] 解题过程中忽视对数lgaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．
[正解]∵lg2(x＋1)－lg4(x＋4)＝1，∴lg4eq \f((x＋1)2,x＋4)＝1，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋4>0，,\f((x＋1)2,x＋4)＝4，))解得x＝5或x＝－3(舍去)．
∴方程lg2(x＋1)－lg4(x＋4)＝1的解为x＝5.
[方法点拨] 在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．
学科素养
转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力
例5 (1)设3x＝4y＝36，求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值；
(2)已知lg23＝a,3b＝7，求lg1256.
[分析] (1)欲求eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．
(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论lganbm＝eq \f(m,n)lgab，将条件中的对数式lg23＝a化为指数式解答．
[解析] (1)由已知分别求出x和y，
∵3x＝36,4y＝36，
∴x＝lg336，y＝lg436，
由换底公式得：x＝eq \f(lg3636,lg363)＝eq \f(1,lg363)，y＝eq \f(lg3636,lg364)＝eq \f(1,lg364)，
∴eq \f(1,x)＝lg363，eq \f(1,y)＝lg364，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2lg363＋lg364＝lg36(32×4)＝lg3636＝1.
(2)解法一：因为lg23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，
从而lg1256＝＝eq \f(3＋ab,a＋2).
解法二：因为lg23＝a，所以lg32＝eq \f(1,a).又3b＝7，所以lg37＝b.从而
lg1256＝eq \f(lg356,lg312)＝eq \f(lg37＋lg38,lg33＋lg34)＝eq \f(lg37＋3lg32,1＋2lg32)＝eq \f(b＋3·\f(1,a),1＋2·\f(1,a))＝eq \f(ab＋3,a＋2).
[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项
(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．
2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．
3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：
思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．
思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．