人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数优秀教案设计

第四章指数函数与对数函数

4.1　指数

【素养目标】

1．弄清与的区别，掌握n次方根的运算．(数学抽象)

2．能够利用进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)

3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)

【学法解读】

本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

4.1.1　n次方根与分数指数幂

必备知识·探新知

基础知识

知识点一　n次方根

思考1：正数a的n次方根一定有两个吗？

提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．

知识点二　根式

(1)定义：式子_____叫做根式，这里n叫做___根指数__，a叫做___被开方数__.

(2)性质：(n＞1，且n∈N*)

①()n＝a.

②＝

思考2：()n与中的字母a的取值范围是否一样？

提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R.

知识点三　分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)

思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?

提示：(1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则，无意义；

(2)当a＝0时，a0无意义．

知识点四有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)

(1).

(2).

(3).

思考4：同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？

提示：(1)ar÷as＝ar－s；

(2)＝()r.

基础自测

1.等于(　B　)

A．2　　　　　　　　 B．－2

C．±2 D．－8

[解析]　＝＝－2.

2．下列各式正确的是(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　()3＝a，()4＝7，()5＝a，＝|a|＝，故选A．

3．可化为(　C　)

A．8　　　　　　　 B．

C． D．

[解析]　.

4．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．

5．若有意义，则实数x的取值范围为_____(－∞，6]___.

[解析]　要使式子有意义，应满足6－x≥0，

∴x≤6.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一　n次方根的概念

例1　(1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为_____；

(2)已知x7＝6，则x＝____；

(3)若有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.

[分析]　解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．

[解析]　(1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.

(2)∵x7＝6，∴x＝.

(3)要使有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．

[归纳提升]　(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；

(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．

【对点练习】❶计算下列各值：

(1)27的立方根是__3___；

(2)256的4次算术方根是__4___；

(3)32的5次方根是__2___.

[解析]　(1)∵33＝27，∴27的立方根是3.

(2)∵(±4)4＝256，∴256的4次算术方根为4.

(3)∵25＝32，∴32的5次方根为2.

题型二　利用根式的性质化简或求值

例2　化简：(1)＋；

(2)－＋；

(3)＋.

[分析]　(1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．

(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．

[解析]　(1)原式＝＋

＝＋＝＋1＋－1＝2.

(2)原式＝－＋

＝＋－(2－)＋2－＝2.

(3)令x＝＋，两边立方，

得x3＝2＋＋2－＋3···(＋)，

即x3＝4－3x，所以x3＋3x－4＝0，

所以(x－1)(x2＋x＋4)＝0，x2＋x＋4＝(x＋)2＋>0，所以x－1＝0，x＝1，

所以＋＝1.

[归纳提升]　形如的双重根式，当A2－B是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．

【对点练习】❷计算下列各式：

(1)＝_______；

(2)＝________；

(3)－－＝______.

[解析]　(1)＝－a.

(2)＝＝π－3.

(3)－－＝－－＝－－＝.

题型三　根式与分数指数幂的互化

例3　用分数指数幂表示下列各式：

(1)a3·；

(2)(a>0，b>0)；

(3)(a>0，b>0)．

[分析]　(1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．

[解析]　(1)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.

(2)∵a>0，b>0，

∴＝

＝＝＝(ab－)＝ab－.

(3)∵a>0，b>0，∴＝＝＝(a－b)＝a－b.

[归纳提升]　进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a＝(a>0，m、n∈N＋)，同时应注意以下几点：

(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式．

(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．

【对点练习】❸ (1)5－化为根式形式为_______；

(2)(b>0)化为分数指数幂的形式为________；

(3)(x≠0)化为分数指数幂的形式为________.

[解析]　(1)原式＝＝＝.

(2)原式＝(b－)＝b－×＝b－.

(3)原式＝＝＝＝＝＝x－.

题型四　利用分数指数幂的运算性质化简求值

例4　(1)计算：(2)0＋2－2·(2)－－(0.01)0.5＝______；

(2)化简：÷÷.

[分析]　将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．

[解析]　(1)原式＝1＋×()－()＝1＋－＝.

(2)原式＝÷÷

＝÷÷

＝a÷(a)÷(a－2)

＝a÷a÷a－

＝a－÷a－＝a－＋＝a.

[归纳提升]　1.幂的运算的常规方法

(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；

(2)化根式为分数指数幂；

(3)化小数为分数．

2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求

利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．

【对点练习】❹化简：

÷(1－2)×.

[解析]　原式＝÷·a

＝··a

＝a·a·a＝a.

课堂检测·固双基

1．化简[(－)2]－的结果是(　C　)

A．－　　　　　　 B．

C． D．－

[解析]　[(－)2]－＝3－＝＝＝.

2．已知m<，则化简的结果为(　C　)

A． B．－

C． D．－

[解析]　∵m<，∴3m－2<0，排除A，B，

又(3m－2)2>0，所以为正，所以选C．

3．若2＜a＜3，化简＋的结果是(　C　)

A．5－2a B．2a－5

C．1 D．－1

[解析]　由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．

4．以下说法正确的是(　C　)

A．正数的n次方根是正数

B．负数的n次方根是负数

C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)

D．负数没有n次方根

[解析]　对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；

对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，

∴B错误；

对于C，当n>1且n∈N*时，0的n次方根是0，

∴C正确；

对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．

5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：＝____.

[解析]　＝＝.

素养作业·提技能

A组·素养自测

一、选择题

1．－的结果是(　B　)

A．2 B．－2

C．±2 D．以上都不对

[解析]　－＝－＝－2.故选B．

2．下列各式正确的是(　C　)

A．＝ B．＝a

C．＝ D．a0＝1

[解析]　＝＝，＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．

3．若2 019<m<2 020，则()3＋等于(　A　)

A．1 B．4 031－2m

C．4 031 D．2m－4 031

[解析]　因为2 019<m<2 020，所以m－2 020<0.

故原式＝m－2 019＋|m－2 020|

＝m－2 019＋2 020－m

＝1.

故选A．

4．若·有意义，则x的取值范围是(　C　)

A．x≥2 B．x≤3

C．2≤x≤3 D．x∈R

[解析]　由题意，知x－2≥0，且3－x≥0，所以2≤x≤3.

二、填空题

5．64的6次方根是__±2__，计算64－的值是____.

[解析]　∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；64－＝＝＝＝＝.

6．已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是__③__.(只填式子的序号即可)

[解析]　③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义．

三、解答题

7．写出使下列各式成立的实数x的取值范围：

(1)＝；

(2)＝(5－x).

[解析]　(1)由于根指数是3，故x只需使有意义即可，此时x－3≠0，即x≠3.故实数x的取值范围是x≠3.

(2)∵＝＝(5－x)·，

∴∴－5≤x≤5.

∴实数x的取值范围是－5≤x≤5.

B组·素养提升

一、选择题

1．化简(－x)2的结果是(　B　)

A． B．－x

C．x D．x

[解析]　由知x<0，又当x<0时，＝|x|＝－x，因此(－x)2＝＝－x.

2．(多选题)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　CD　)

A．＝x

B．＝y

C．()－＝(x、y≠0)

D．x－＝

[解析]　＝|x|，＝|y|，

()－＝()＝(x、y≠0)，

x－＝＝，故CD正确．

二、填空题

3．若10α＝2,100β＝3，则1 0002α－β等于____.

[解析]　∵10α＝2,100β＝102β＝3，

∴10β＝.

∴1 0002α－β＝106α－β＝＝＝.

4．27＋16－－()－2－()－＝__3__.

[解析]　原式＝(33)＋(42)－－22－[()3]－＝32＋4－1－4－＝3.

三、解答题

5．若x>0，y>0，且(＋)＝3(＋5)，求的值．

[解析]　由x>0，y>0且(＋)＝3(＋5)得x＋＝3＋15y，即x－2－15y＝0，整理有(－5)(＋3)＝0，因为x>0，y>0，所以＝5，即x＝25y，

所以＝＝＝3.