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初中数学第七章 平行线的证明2 定义与命题精练
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这是一份初中数学第七章 平行线的证明2 定义与命题精练，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题7.2 定义与命题（专项练习）
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程的解为
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
2．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3
4．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( )
A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
5．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my
6．下列命题的逆命题错误的是（ ）.
A．对顶角相等
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．在一个三角形中，等边对等角
D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
8．下列说法正确的是（ ）
A．一个命题一定有逆命题 B．一个定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
9．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
10．求证：两直线平行，内错角相等
如图1，若，且、被所截，求证：
以下是打乱的用反证法证明的过程
①如图2，过点作直线，使，
②依据理论依据1，可得，
③假设，
④．
⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④
11．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想
C．转化思想 D．公理化思想
12．为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
13．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中.已知：①每所学校至少有他们中的一名学生；②在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；③乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；④丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（ ）
A．三中 B．二中 C．一中 D．不能确定
二、填空题
14．下列语句：
①整数一定是有理数；
②画直线AB；
③直角都相等；
④如果，那么；
⑤我下次考试能得满分吗？
其中是命题的是________．（填序号）
15．下列命题中，其逆命题成立的是__．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
16．写出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例____.
17．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是______．
18．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______
19．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题．
20．如图所示，，那么________，依据是__________．
21．请写出一个存在逆定理的定理：______．
22．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．
23．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：________.
24．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（请填入方块上的字母）
25．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序
时间
模型
打磨（A组）
组装（B组）
模型1
9分钟
5分钟
模型2
6分钟
11分钟
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为__________分钟．
26．小明背对小亮按小列四个步骤操作：
（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；
（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是_______________．
三、解答题
27．如图，现有以下三个条件：①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题？(2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例.
28．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
29．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
4
乙
3
丙
2
丁
（1）则甲同学错的是第 题；
（2）丁同学的得分是 ；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）．
30．疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．
首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有，，，，便于记录．
具体游戏规则如下：
甲同学：同时翻开，，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，，按原顺序记录在表格中；
乙同学：同时翻开，，，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，按原顺序记录在表格中；
以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．
下表记录的是这四名同学五天的训练计划：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲同学
乙同学
丙同学
丁同学
根据记录结果解决问题：
（1）补全上表中丙同学的训练计划；
（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．
①如果，，那么所有可能取值为__________________________；
②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个．
参考答案
1．D
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；
由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；
由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．
解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选D.
【点拨】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．
2．A
【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故A错误，为假命题；
B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，故B正确，为真命题；
C、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故C错误，为假命题；
D、如x=-2时，x2＞0，但是x<0，故D错误，为假命题，
故选A．
【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质，属于基础知识，难度不大．
3．B
解：试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
故选B．
考点：命题与定理．
4．D
【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件,那么后面跟的是结论.
解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线,
故选D.
【点拨】本题考查了命题条件的判断,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键.
5．C
【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．
解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；
C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；
D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
6．A
【分析】根据互逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据相关定理判断即可．
解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；
B、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的任意一点在线段垂直平分线上，逆命题正确；
C、在一个三角形中，等边对等角的逆命题是在一个三角形中，等角对等边，逆命题正确；
D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角平分线上，逆命题正确；
故选A．
【点拨】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
7．C
【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可．
解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误；
B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误；
C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确；
D、定理不可能是假命题，所以本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键．
8．A
【分析】命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题．
解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确．
B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．
D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等．
9．B
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立矩形解答即可．
解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设每一个内角都小于，
故选．
【点拨】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
10．D
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
解：假设，
如图2，过点作直线，使，
∴，
这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
∴假设不成立，
∴．
故选：D
【点拨】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．
11．D
【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．
解：根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想
故选：D．
【点拨】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．
12．B
【分析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．
解：
第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，
第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，
第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，
第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人，
重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，
重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人．
故选：B．
【点拨】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．A
【解析】
【分析】先根据每个已知条件单独判断，最后结合①综合判断即可.
解：由②可知：甲、乙、戊不是二中的学生，是一中或三中的学生，
由③可知：乙、丁在同一所学校学习，且他们都不是三中的学生，在一中或二中，进而可知乙在一中.
由③④可知：乙、丁、戊都在同一所学校，且都在一中，由①②可知甲在三中，丙在二中，
故选A．
【点拨】本题考查用排除法解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键.
14．①③④
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的句子逐一判断即可．
解：①整数一定是有理数，是命题；②画直线AB，不是命题；③直角都相等，是命题；④如果，那么，是命题；⑤我下次考试能得满分吗？不是命题．
综上，是命题的是：①③④．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查的是命题的定义，属于基础概念题型，熟知命题的定义、熟练掌握基本知识是解题的关键．
15．①④
解：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
①两直线平行，同旁内角互补，正确；
②如果两个角相等，那么它们是直角，错误；
③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；
④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，正确．
故答案为①④．
16．（答案不唯一）
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一个满足条件却不满足结论的a，b的值即可.
解：当时，满足，
∵-5<1，不满足，
∴可作为说明命题“若，则”是假命题的反例.
故答案为：a=-5，b=1（答案不唯一）
【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
17．如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
【分析】弄清命题的题设（条件）和结论即可写出.
解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
故答案为如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
【点拨】本题考查了将原命题写成“如果…那么…”即题设（条件）与结论的形式，解决问题的关键是找出相应的题设和结论.
18．有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.
解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
【点拨】本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
19．互逆
【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
解：根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，
故答案为：互逆
【点拨】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键．
20． ， 同角的余角相等
【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.
解：∵，
∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
根据同角的余角相等，
∴∠AOC=∠BOD；
故答案为：，同角的余角相等.
【点拨】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.
21．两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可．
解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行”
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
【点拨】本题考查逆定理，熟记各种定理是解题的关键．
22．这两条直线不平行
【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
解：证明：已知两条直线都和第三条直线平行；
假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行
因此假设与结论矛盾．故假设不成立，
即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：这两条直线不平行．
【点拨】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
23．AB∥CD
【分析】
解：利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
24．A、C、E B、D、F、G.
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案．
解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断，
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为A、C、E；B、D、F、G.
【点拨】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识.
25．22
【分析】根据题意存在两种情况：①A组同学先打磨模型1，再打磨模型2；②A组同学先打磨模型2，再打磨模型1，再根据表中数据计算各自所需时间，进行比较即可解答．
解：由题意知，存在以下两种情况：
①A组同学先打磨模型1，需要9分钟，然后B组同学组装模型1需要5分钟，同时A组同学打磨模型2，还需要1分钟完成，之后B组同学组装模型2需要11分钟，则共用最短时间为9+5+1+11=26分钟；
②A组同学先打磨模型2，需要6分钟，然后B组同学组装模型2需要11分钟，同时A组同学打磨模型1完成，之后B组同学组装模型1需要5分钟，则共用最短时间为6+11+5=22分钟，
因为26﹥22，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，
故答案为：22．
【点拨】本题考查了有理数的加法、推理与论证，解答的关键是读懂题意，能利用推理的方法解决问题．
26．6
【分析】把每堆牌的数量用字母表示出来，列出表示变化情况的式子即可解答.
解：设第一步时，每堆牌的数量都是x(x≥2)，
第二步时：左边x-2，中间x+2，右边x；
第三步时：左边x-2，中间x+4，右边x-2，
第四步时：左边x-2，所以从中间拿走x-2，
则中间剩余牌数为（x+4）-(x-2)=x+4-x+2=6，
所以中间一堆现有张数是6，
故答案为：6.
【点拨】本题主要考查整式的加减，把复杂问题通过逻辑推理简单化是解答的关键.
27．（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①；（2）详见解析.
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题，
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
解：（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①,
（2）∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
所以由①②得到③为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
所以由①③得到②为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
所以由②③得到①为真命题．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
28．（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
29．（1）5；（2）3；（3）A
【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;
(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．
(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．
解：解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错了第2题,那么其余四道全对,
针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第3题时,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,
针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意,
当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第5题,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,
针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,
针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,
故答案为5;
（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错了第2题,那么其余四道全对,
针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第3题时,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,
针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第5题,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,
针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,
针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,
故答案为3;
（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,
故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.
【点拨】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键.
30．（1）见解析；（2）①41，42，43；②三，162．
【分析】（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中即可．
（2）①由题意推出x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，应用列举法即可解决问题．
②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，不妨设，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．应用列举法即可解决问题．
解：（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，
由乙同学可知，又结合丁同学可知，
所以，
然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中
补全表中丙同学的训练计划：．
故答案为：．
（2）①由题意x4=30，
∵，
∴x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，
当x5=31时，x1的最大值为43，
当x5=32时，x1的最大值为42，
当x5=33时，x1的最大值为41，
当x5=34或35时，x1的值不符合题意，
∴x1的可能取41，42，43．
故答案为：41，42，43．
②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，
不妨设x4=30，x5=31，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，
若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．
当x2=33时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=86，
若x1=44，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，
当x2=34时，x3+x1的最大值为180-30-31-34=85，
若x1=43，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，
当x2=35时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=84，
若x1=43，则x3=41，此时星期三的做俯卧撑的总个数为160，
综上所述，星期三的做俯卧撑的总个数的最大值为162．
故答案为：162．
【点拨】本题考查推理与论证，统计等知识，解题的关键是理解题意，学会推理论证的方法．
专题7.2 定义与命题（专项练习）
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．矩形对角线互相垂直
B．方程的解为
C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
2．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3
4．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( )
A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
5．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my
6．下列命题的逆命题错误的是（ ）.
A．对顶角相等
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．在一个三角形中，等边对等角
D．在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
7．下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
8．下列说法正确的是（ ）
A．一个命题一定有逆命题 B．一个定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
9．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（ ）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
10．求证：两直线平行，内错角相等
如图1，若，且、被所截，求证：
以下是打乱的用反证法证明的过程
①如图2，过点作直线，使，
②依据理论依据1，可得，
③假设，
④．
⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④
11．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想
C．转化思想 D．公理化思想
12．为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
13．现有甲、乙、丙、丁、戊五个同学，他们分别来自一中、二中、三中.已知：①每所学校至少有他们中的一名学生；②在二中联欢会上，甲、乙、戊作为被邀请的客人演奏了小提琴；③乙过去曾在三中学习，后来转学了，现在同丁在同一个班学习；④丁、戊是同一所学校的三好学生．根据以上叙述可以断定甲所在的学校为（ ）
A．三中 B．二中 C．一中 D．不能确定
二、填空题
14．下列语句：
①整数一定是有理数；
②画直线AB；
③直角都相等；
④如果，那么；
⑤我下次考试能得满分吗？
其中是命题的是________．（填序号）
15．下列命题中，其逆命题成立的是__．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
16．写出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例____.
17．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是______．
18．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______
19．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题．
20．如图所示，，那么________，依据是__________．
21．请写出一个存在逆定理的定理：______．
22．用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．
23．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：________.
24．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有________，一定是雷的有________．（请填入方块上的字母）
25．手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：
工序
时间
模型
打磨（A组）
组装（B组）
模型1
9分钟
5分钟
模型2
6分钟
11分钟
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为__________分钟．
26．小明背对小亮按小列四个步骤操作：
（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；
（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是_______________．
三、解答题
27．如图，现有以下三个条件：①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题？(2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例.
28．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
29．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
4
乙
3
丙
2
丁
（1）则甲同学错的是第 题；
（2）丁同学的得分是 ；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）．
30．疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．
首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有，，，，便于记录．
具体游戏规则如下：
甲同学：同时翻开，，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，，按原顺序记录在表格中；
乙同学：同时翻开，，，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，按原顺序记录在表格中；
以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．
下表记录的是这四名同学五天的训练计划：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲同学
乙同学
丙同学
丁同学
根据记录结果解决问题：
（1）补全上表中丙同学的训练计划；
（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．
①如果，，那么所有可能取值为__________________________；
②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个．
参考答案
1．D
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确；
由方程x2=14x的解为x=14或x=0得出选项B不正确；
由六边形内角和为（6-2）×180°=720°得出选项C不正确；
由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论．
解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；
B．方程x2=14x的解为x=14，不正确；
C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选D.
【点拨】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握．
2．A
【分析】利用平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故A错误，为假命题；
B、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，故B正确，为真命题；
C、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故C错误，为假命题；
D、如x=-2时，x2＞0，但是x<0，故D错误，为假命题，
故选A．
【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角的性质，属于基础知识，难度不大．
3．B
解：试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
故选B．
考点：命题与定理．
4．D
【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件,那么后面跟的是结论.
解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线,
故选D.
【点拨】本题考查了命题条件的判断,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键.
5．C
【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．
解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；
C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；
D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
6．A
【分析】根据互逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据相关定理判断即可．
解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；
B、线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的任意一点在线段垂直平分线上，逆命题正确；
C、在一个三角形中，等边对等角的逆命题是在一个三角形中，等角对等边，逆命题正确；
D、在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆命题是到一个角的两边的距离相等的点在这个角平分线上，逆命题正确；
故选A．
【点拨】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
7．C
【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可．
解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误；
B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误；
C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确；
D、定理不可能是假命题，所以本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理的定义及其关系是解题的关键．
8．A
【分析】命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题．
解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确．
B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误．
C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误．
D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误．
故选A．
【点拨】本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等．
9．B
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立矩形解答即可．
解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设每一个内角都小于，
故选．
【点拨】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
10．D
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
解：假设，
如图2，过点作直线，使，
∴，
这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
∴假设不成立，
∴．
故选：D
【点拨】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．
11．D
【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．
解：根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想
故选：D．
【点拨】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．
12．B
【分析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．
解：
第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，
第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，
第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，
第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人，
重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，
重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人．
故选：B．
【点拨】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．A
【解析】
【分析】先根据每个已知条件单独判断，最后结合①综合判断即可.
解：由②可知：甲、乙、戊不是二中的学生，是一中或三中的学生，
由③可知：乙、丁在同一所学校学习，且他们都不是三中的学生，在一中或二中，进而可知乙在一中.
由③④可知：乙、丁、戊都在同一所学校，且都在一中，由①②可知甲在三中，丙在二中，
故选A．
【点拨】本题考查用排除法解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键.
14．①③④
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的句子逐一判断即可．
解：①整数一定是有理数，是命题；②画直线AB，不是命题；③直角都相等，是命题；④如果，那么，是命题；⑤我下次考试能得满分吗？不是命题．
综上，是命题的是：①③④．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查的是命题的定义，属于基础概念题型，熟知命题的定义、熟练掌握基本知识是解题的关键．
15．①④
解：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
①两直线平行，同旁内角互补，正确；
②如果两个角相等，那么它们是直角，错误；
③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；
④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，正确．
故答案为①④．
16．（答案不唯一）
【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求写出一个满足条件却不满足结论的a，b的值即可.
解：当时，满足，
∵-5<1，不满足，
∴可作为说明命题“若，则”是假命题的反例.
故答案为：a=-5，b=1（答案不唯一）
【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
17．如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
【分析】弄清命题的题设（条件）和结论即可写出.
解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
故答案为如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
【点拨】本题考查了将原命题写成“如果…那么…”即题设（条件）与结论的形式，解决问题的关键是找出相应的题设和结论.
18．有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.
解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
【点拨】本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
19．互逆
【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
解：根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，
故答案为：互逆
【点拨】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键．
20． ， 同角的余角相等
【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.
解：∵，
∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
根据同角的余角相等，
∴∠AOC=∠BOD；
故答案为：，同角的余角相等.
【点拨】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.
21．两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可．
解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行”
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
【点拨】本题考查逆定理，熟记各种定理是解题的关键．
22．这两条直线不平行
【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
解：证明：已知两条直线都和第三条直线平行；
假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行
因此假设与结论矛盾．故假设不成立，
即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：这两条直线不平行．
【点拨】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
23．AB∥CD
【分析】
解：利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
24．A、C、E B、D、F、G.
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案．
解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断，
由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷．
结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷；
同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷；
由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，
所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示：
进行下一步推理：
因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷；
而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷．
因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷，
根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷．
综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷．
故答案为A、C、E；B、D、F、G.
【点拨】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识.
25．22
【分析】根据题意存在两种情况：①A组同学先打磨模型1，再打磨模型2；②A组同学先打磨模型2，再打磨模型1，再根据表中数据计算各自所需时间，进行比较即可解答．
解：由题意知，存在以下两种情况：
①A组同学先打磨模型1，需要9分钟，然后B组同学组装模型1需要5分钟，同时A组同学打磨模型2，还需要1分钟完成，之后B组同学组装模型2需要11分钟，则共用最短时间为9+5+1+11=26分钟；
②A组同学先打磨模型2，需要6分钟，然后B组同学组装模型2需要11分钟，同时A组同学打磨模型1完成，之后B组同学组装模型1需要5分钟，则共用最短时间为6+11+5=22分钟，
因为26﹥22，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，
故答案为：22．
【点拨】本题考查了有理数的加法、推理与论证，解答的关键是读懂题意，能利用推理的方法解决问题．
26．6
【分析】把每堆牌的数量用字母表示出来，列出表示变化情况的式子即可解答.
解：设第一步时，每堆牌的数量都是x(x≥2)，
第二步时：左边x-2，中间x+2，右边x；
第三步时：左边x-2，中间x+4，右边x-2，
第四步时：左边x-2，所以从中间拿走x-2，
则中间剩余牌数为（x+4）-(x-2)=x+4-x+2=6，
所以中间一堆现有张数是6，
故答案为：6.
【点拨】本题主要考查整式的加减，把复杂问题通过逻辑推理简单化是解答的关键.
27．（1）如果①②，那么③；如果①③，那么②；如果②③，那么①；（2）详见解析.
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题，
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
解：（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①,
（2）∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
所以由①②得到③为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
所以由①③得到②为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
所以由②③得到①为真命题．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
28．（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．
【点拨】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
29．（1）5；（2）3；（3）A
【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;
(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．
(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．
解：解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错了第2题,那么其余四道全对,
针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第3题时,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,
针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意,
当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第5题,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,
针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,
针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,
故答案为5;
（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错了第2题,那么其余四道全对,
针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第3题时,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,
针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第5题,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,
针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,
针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,
故答案为3;
（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,
故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.
【点拨】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键.
30．（1）见解析；（2）①41，42，43；②三，162．
【分析】（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中即可．
（2）①由题意推出x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，应用列举法即可解决问题．
②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，不妨设，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．应用列举法即可解决问题．
解：（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，
由乙同学可知，又结合丁同学可知，
所以，
然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中
补全表中丙同学的训练计划：．
故答案为：．
（2）①由题意x4=30，
∵，
∴x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，
当x5=31时，x1的最大值为43，
当x5=32时，x1的最大值为42，
当x5=33时，x1的最大值为41，
当x5=34或35时，x1的值不符合题意，
∴x1的可能取41，42，43．
故答案为：41，42，43．
②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，
不妨设x4=30，x5=31，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，
若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．
当x2=33时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=86，
若x1=44，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，
当x2=34时，x3+x1的最大值为180-30-31-34=85，
若x1=43，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，
当x2=35时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=84，
若x1=43，则x3=41，此时星期三的做俯卧撑的总个数为160，
综上所述，星期三的做俯卧撑的总个数的最大值为162．
故答案为：162．
【点拨】本题考查推理与论证，统计等知识，解题的关键是理解题意，学会推理论证的方法．
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