2023届高考数学二轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆学案

第1讲　直线与圆

1.[点到直线的距离](2020·全国Ⅱ卷,T5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　B　)

A. B. C. D.

解析:因为圆与两坐标轴都相切,且点(2,1)在该圆上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为=或=.故选B.

2.[直线与圆相交](2021·北京卷,T9)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为2,则m等于(　C　)

A.±2 B.± C.± D.±

解析:由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=,则弦长为2,

当k=0时,弦长取得最小值为2=2,解得m=±.故选C.

3.[直线与圆相切](2022·新高考Ⅰ卷,T14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　　　　. 

解析:法一　如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:①易知公切线l1的方程为x=-1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称,易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x,由得由对称性可知公切线l2过点(-1,-),设公切线l2的方程为y+=k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=,解得k=,所以公切线l2的方程为y+=(x+1),即7x-24y-25=0.③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直,设公切线l3的方程为y=-x+t,易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=,解得t=或t=-(舍去),所以公切线l3的方程为y=-x+,即3x+4y-5=0.综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.

法二　根据题意,精确作出两圆(需用到尺规),由图形可直观快速看出直线x=-1是两圆的一条公切线,经验证符合题意,故可填x=-1.

答案:x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(其中一条作答即可)

4.[直线与圆的位置关系](2022·新高考Ⅱ卷,T15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　　　. 

解析:法一　由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A′(-2,2a-3),

所以kA′B=,

所以直线A′B的方程为y=x+a,

即(3-a)x-2y+2a=0.

由题意知,直线A′B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,易知圆心为(-3,-2),半径为1,所以≤1,整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤,所以实数a的取值范围是[,].

法二　易知(x+3)2+(y+2)2=1关于y轴对称的圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=1,

由题意知该对称圆与直线AB有公共点.

直线AB的方程为y=x+a,

即(a-3)x-2y+2a=0,

又对称圆的圆心为(3,-2),半径为1,

所以≤1,

整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤,

所以实数a的取值范围是[,].

答案:[,]

　　直线方程与圆的方程是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:

(1)直线方程:主要考查利用两直线平行、垂直求参数,高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查,难度中等,有时不直接考查,作为研究解析几何的基本工具隐性考查.主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.

(2)圆的方程:主要考查圆的方程的求解,研究直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,求弦长或切线;也常与圆锥曲线结合命题,难度中等偏上.主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.

热点一　直线的方程及应用

1.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为零),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为零),则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.

2.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的距离d=.

3.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为零)间的距离d=.

典例1　(1)(多选题)已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则(　　)

A.l1恒过点(2,-2)

B.若l1∥l2,则a2=

C.若l1⊥l2,则a2=1

D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限

(2)(2022·内蒙古赤峰模拟)已知直线l:ax+by+c=0,其中a,b,c成等差数列,则直线l恒过定点　　　　,若P(-1,0),N(2,1),过点P作直线l的垂线,垂足为M,则|MN|的最大值为　　　　. 

解析:(1)l1:(a+1)x+ay+2=0⇔a(x+y)+x+2=0,令解得x=-2,y=2,即直线l1恒过点(-2,2),故A不正确;

若l1∥l2,则有(a+1)(1-a)=a2,解得a2=,故B正确;

若l1⊥l2,则有a(a+1)+a(1-a)=0,解得a=0,故C不正确;

若直线l2不经过第三象限,则当1-a≠0时,≥0,-≤0,解得0≤a<1,当1-a=0时,直线l2:x=1,也不过第三象限,综上可知当0≤a≤1时,l2不经过第三象限,故D正确.故选BD.

(2)直线l:ax+by+c=0,其中a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,整理得b=,

所以直线转换为ax+y+c=0,整理得a(2x+y)+c(y+2)=0,

所以解得即直线l恒过定点(1,-2).

设M(x,y),A(1,-2),则=(x-1,y+2),=(x+1,y),所以·=x2-1+y2+2y=0,

故点M的轨迹为x2+(y+1)2=2,该轨迹是以(0,-1)为圆心,半径为的圆,

所以|MN|max=+=3.

答案:(1)BD　(2)(1,-2)　3

解决直线方程问题的三个注意点

(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.

(2)要注意直线方程每种形式的局限性,点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,而截距式方程既不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.

(3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.

热点训练1　 (1)已知直线l1:x-my+1=0过定点A,直线l2:mx+y-m+3=0过定点B,l1与l2相交于点P,则|PA|2+|PB|2=(　　)

A.10 B.13 C.16 D.20

(2)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=x+b将△ABC分割为面积相等的两部分,则b等于(　　)

A. B. C.-1 D.1-

解析:(1)直线l1:x-my+1=0过定点A(-1,0),直线l2:mx+y-m+3=0化为m(x-1)+y+3=0,

令解得则直线l2:mx+y-m+3=0过定点B(1,-3),

因为直线l1:x-my+1=0,直线l2:mx+y-m+3=0,1×m+(-m)×1=0,

所以直线l1与l2垂直,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=(-1-1)2+(0+3)2=13.故选B.

(2)画出图象,如图所示.

因为A(-1,0),B(1,0),C(0,1),所以△ABC为等腰直角三角形,

所以S△ABC=|AB|·|OC|=×2×1=1,

所以点B(1,0)到直线y=x+b的距离为|BD|=,

又|BD|=|DE|,

所以S△BDE=|BD|·|DE|=××=S△ABC=,

所以(1+b)2=2,

解得b=-1或b=--1(舍去).故选C.

热点二　圆的方程及应用

1.圆的标准方程

当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.

2.圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆.

典例2　(1)(2022·云南西双版纳模拟)已知圆O1:(x+3)2+y2=1,圆O2:(x-1)2+y2=1,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PA,PB(A,B为切点),使得|PA|=|PB|,则动点P的轨迹方程为(　　)

A.+=1 B.(x-5)2+y2=33

C.-y2=1 D.x2=4y

(2)圆心在圆x2+y2=2上,与直线x+y-4=0相切,且面积最大的圆的方程为(　　)

A.(x+1)2+(y+1)2=2

B.(x-1)2+(y-1)2=2

C.(x+1)2+(y+1)2=18

D.(x-1)2+(y-1)2=18

解析:(1)由|PA|=|PB|得|PA|2=2|PB|2,因为两圆的半径均为1,则|PO1|2-1=2(|PO2|2-1),设P(x,y),

则(x+3)2+y2-1=2[(x-1)2+y2-1],即(x-5)2+y2=33,所以点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=33.故选B.

(2)

如图,过圆x2+y2=2的圆心(原点)作直线x+y-4=0的垂线y=x,垂线与圆x2+y2=2的交点为A,B.易知当圆心在点B时,所求圆的半径最大,圆的面积也最大.联立y=x和x2+y2=2,求得B(-1,-1),所以圆的半径最大时,圆心为B(-1,-1),又由点到直线的距离公式求得点B到直线x+y-4=0的距离为=3,即所求圆的半径r=3,所以所求面积最大的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=18.故选C.

(1)直接法求圆的方程:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.

(2)待定系数法求圆的方程:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.

热点训练2　 (1)(2022·山东菏泽一模)已知两条直线l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,则动圆圆心的轨迹方程为(　　)

A.(y-1)2-x2=65 B.x2-(y-1)2=65

C.y2-(x+1)2=65 D.(x+1)2-y2=65

(2)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线,已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,4),其欧拉线的方程为x-y=0,则△ABC的外接圆方程为　　　　　　. 

解析:(1)设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则点P到l1的距离d1=,点P到l2的距离d2=,

因为l1,l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,所以2=26,2=24,

化简后得r2-=169,r2-=144,相减得-=25,将d1=,

d2=代入后化简可得(x+1)2-y2=65.故选D.

(2)直线AB的斜率为kAB==1,线段AB的中点为M(0,2),所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-=-1,则线段AB的垂直平分线方程为y=-x+2,即x+y-2=0,联立解得即△ABC的外心为D(1,1),所以△ABC的外接圆的半径为r=|AD|==,因此,△ABC的外接圆方程为(x-1)2+(y-1)2=10.

答案:(1)D　(2)(x-1)2+(y-1)2=10

热点三　直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系:相交、相切和相离.

判断方法:

①点线距离法.

②判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),联立方程组

消去y,得到关于x的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则直线与圆相离⇔Δ<0,直线与圆相切⇔Δ=0,直线与圆相交⇔Δ>0.

(2)与圆的切线有关的结论.

①过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.

②过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长为|PT|=.

③过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

(3)圆与圆的位置关系,即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1　直线与圆的位置关系

典例3　(1)(多选题)(2022·湖北二模调研卷)设动直线l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:(x-4)2+(y-5)2=12于A,B两点(点C为圆心),则下列说法正确的有(　　)

A.直线l过定点(2,3)

B.当|AB|取得最小值时,m=1

C.当∠ACB最小时,其余弦值为

D.·的最大值为24

(2)(多选题)(2022·湖北模拟)已知直线l:kx-y-k+1=0,圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=16,则下列选项正确的是(　　)

A.直线l与圆一定相交

B.当k=0时,直线l与圆C交于两点M,N,点E是圆C上的动点,则△MNE面积的最大值为3

C.当直线l与圆有两个交点M,N时,|MN|的最小值为2

D.若圆C与坐标轴分别交于A,B,C,D四个点,则四边形ABCD的面积为48

解析:(1)对于A,由l:mx-y-2m+3=0(m∈R),整理得m(x-2)-y+3=0,

当即时,不论m为何值,m(x-2)-y+3=0(m∈R)都成立,所以直线l过定点(2,3),故A正确;

对于B,因为直线l过定点(2,3),将定点代入圆C:(2-4)2+(3-5)2=8<12,

所以定点(2,3)在圆C的内部,当直线l过圆心(4,5)时,|AB|取得最大值,此时解得m=1,故B错误;

对于C,设直线l过定点M(2,3),当CM⊥AB时,∠ACB最小,

而|CM|==2,所以|AB|=2=4,所以在△ABC中,由余弦定理计算可得cos ∠ACB=,故C错误;

对于D,·=||||·cos∠BAC,而||·cos∠BAC表示在方向上的投影,

所以当,共线即A,C,B,M四点共线,且方向相同时,·取得最大值,

此时·=||||=2×4=24,所以·的最大值为24,故D正确.故选AD.

(2)直线l:kx-y-k+1=0过定点P(1,1),则(1-2)2+(1+2)2=10<16,所以点P在圆内,

因此直线与圆一定相交,故A正确;

当k=0时,直线y=1,代入圆的方程得(x-2)2+(1+2)2=16,x=2±,因此|MN|=2,圆心为(2,-2),圆的半径r=4,圆心到直线l的距离为d=3,因此E到直线l的距离的最大值为h=4+3=7,△MNE面积的最大值为S=×7×2=7,故B错误;

当l与圆有两个交点M,N,|MN|最小时,PC⊥l,|PC|==,

因此|MN|min=2=2,故C正确;

在圆的方程 (x-2)2+(y+2)2=16中,分别令x=0和y=0可求得圆与坐标轴的交点坐标为

A(2-2,0),C(2+2,0),B(0,-2+2),D(0,-2-2),

|AC|=4,|BD|=4,四边形ABCD的面积为S=×4×4=24,故D错误.故选AC.

考向2　圆与圆的位置关系

典例4　(1)(多选题)(2022·福建莆田模拟)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=1(a,b∈R)的公共弦AB的长为1,则下列结论正确的有(　　)

A.a2+b2=1

B.直线AB的方程为2ax+2by-3=0

C.AB中点的轨迹方程为x2+y2=

D.圆C1与圆C2公共部分的面积为-

(2)已知圆O:x2+y2=4,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点　　　　　　. 

解析:(1)

两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by-a2-b2=0,

因为圆C1的圆心为C1(0,0),半径为1,且公共弦AB的长为1,则C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离为,

所以=,解得a2+b2=3,所以直线AB的方程为2ax+2by-3=0,故A错误,B正确;

由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB,所以C1(0,0)到直线2ax+2by-a2-b2=0的距离即为AB中点与点C1的距离,设AB的中点坐标为(x,y),因此=,即x2+y2=,故C正确;

因为AB=C1A=C1B=1,所以∠BC1A=,即圆C1中弧所对的圆心角为,

所以公共部分的面积为2(-)=2×(××1×1-×1×)=-,故D正确.故选BCD.

(2)设P(9-2t,t),因为圆O:x2+y2=4的两条切线分别为PA,PB,切点分别为A,B,

所以OA⊥PA,OB⊥PB,则点A,B在以OP为直径的圆上,设这个圆为圆C,即AB是圆O与圆C的公共弦,

则圆心C的坐标是(,),且半径的平方是r2=,

所以圆C的方程是(x-)2+(y-)2=,

则公共弦AB所在的直线方程为(2t-9)x-ty+4=0,即t(2x-y)+(-9x+4)=0,

令得所以直线AB经过定点(,).

答案:(1)BCD　(2)(,)

(1)直线与圆相切问题的解题策略.

①直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外一点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.

②直线l与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)相切于点T,点P(x0,y0)是直线l上异于点T的一点,则切线长|PT|=.

(2)直线与圆相交问题的求法.

①弦长的求解方法.

a.直线l与圆C相交于M,N两点,设d表示圆心C到l的距离,r表示半径,则弦长|MN|=2;

b.根据公式l=|x1-x2|求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相交所得交点的横坐标,k为直线的斜率),一般不用;

c.求出交点坐标,用两点间距离公式求解,一般不用.

②求两圆的公共弦所在的直线方程,只需把两个圆的方程相减即可,而在求两圆的公共弦长时,则应注意数形结合思想的灵活运用.

热点训练3　 (1)(多选题)(2022·福建泉州模拟)已知点M在直线l:y-4=k(x-3)上,点N在圆O:x2+y2=9上,则下列说法正确的是(　　)

A.点N到直线l的最大距离为8

B.若直线l被圆O所截得的弦长最大,则k=

C.若直线l为圆O的切线,则k的取值范围为(0,)

D.若点M也在圆O上,则O到直线l的距离的最大值为3

(2)(多选题)已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=3(a,b∈R)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则下列结论正确的是(　　)

A.·是定值

B.四边形OAMB的面积是定值

C.a+b的最小值为-

D.ab的最大值为2

解析:(1)直线l:y-4=k(x-3)恒过定点D(3,4),当OD⊥l时,圆心O到直线l的距离最大,

最大距离为=5,故N到直线l的最大距离为5+3=8,故A正确;

直线l被圆O所截得的弦长最大时,l过圆O的圆心O,所以0-4=k(0-3),解得k=,故B正确;

若直线l为圆O的切线,则=3,解得k=,故C错误;

若点M也在圆O上,则圆O与直线l有公共点,当直线l与圆相切时,圆心到直线的距离为圆的半径3,所以O到直线l的距离的最大值为3,故D正确.故选ABD.

(2)因为圆M的半径为,而|AB|=,所以△MAB是正三角形,·=××cos =,为定值,A正确;

|AB|=,圆O的半径r=1,所以点O到弦AB的距离为d==,又点M到AB的距离为×=,所以|OM|=+=2,而OM⊥AB,OM是AB的垂直平分线,所以S四边形OAMB=|OM||AB|=×2×=,B正确;

由已知得a2+b2=4,()2≤=2,-2≤a+b≤2,当a=b=-时,a+b=-2,最小值是-2,C错误;

ab≤=2,当且仅当a=b=时,ab=2,所以ab的最大值是2,D正确.故选ABD.