第二章+第十一课时+2.5.1+第1课时+直线与圆的位置关系+课中-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

2.5.1.1  直线与圆的位置关系

学习目标：

1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．

2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．

方法要点：

1  直线与圆的位置关系的判断方法

（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

（2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

2  直线与圆相交时的弦长求法

3  求过某一点的圆的切线方程

（1）点在圆上．

①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程．

②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程或．

（2）点在圆外．

①设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．

②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．

③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．

典型例题：

题组一、直线与圆的位置关系的判断

例1  已知直线方程，圆的方程．当m为何值时，圆与直线：

（1）有两个公共点；

（2）只有一个公共点；

（3）没有公共点．

变式  （1）已知圆，l是过点的直线，则（    ）

A．l与C相交    B．l与C相切    C．l与C相离    D．以上三个选项均有可能

（2）设，则直线与圆的位置关系为（    ）

A．相切    B．相交    C．相切或相离    D．相交或相切

题组二、圆的弦长问题

例2  （1）过圆内的点作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为，则弦的长为________．

（2）如果一条直线经过点且被圆所截得的弦长为8，求这条直线的方程．

变式  求直线被圆截得的弦长．

题组三、求圆的切线方程

例3  （1）若圆关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（    ）

A．2    B．3    C．4    D．6

（2）过点作圆的切线l，则切线l的方程为__________________．

变式  （1）过圆上一点的切线方程为（    ）

A．    B．    C．    D．

（2）由直线上任一点向圆引切线，则该切线长的最小值为（    ）

A．1    B．    C．     D．3

当堂检测：

1．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相切    B．相交但直线不过圆心    C．直线过圆心    D．相离

2．（多选）直线和圆的位置关系是（    ）

A．相离    B．相切或相离    C．相交    D．相切

3．（多选）若直线与圆相切，则b的值是（    ）

A．    B．    C．2    D．12

4．过点且与圆相切的直线方程为________________．

5．过点作圆的弦，其中最短弦长为________．

参考答案

典型例题：

例1．【答案】（1）当或时，直线与圆有两个公共点；

（2）当或时，直线与圆只有一个公共点；

（3）当时，直线与圆没有公共点．

【解析】

【分析】

【详解】方法一  将直线代入圆的方程化简整理得，

．

则．

当，即或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

当，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

方法二  已知圆的方程可化为，

即圆心为，半径．

圆心到直线的距离

．

当，即或时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

当，即时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

变式【答案】（1）A；（2）C

【解析】

【分析】

【详解】（1）将点代入圆的方程，得，

∴点在圆内．

∴过点P的直线l必与圆C相交．

（2）圆心到直线l的距离为，圆的半径为，

∵，

∴，故直线l和圆O相切或相离．

例2．【答案】（1）；（2）和

【解析】

【分析】

【详解】由题意知直线l的方程为，

即，

圆心到直线l的距离为，

则有．

（2）圆的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长，

所以弦心距．

因为圆心到直线的距离恰为3，所以直线是符合题意的一条直线．

设直线也符合题意，即圆心到直线的距离等于3，

于是，解得．

故直线的方程为．

综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为和．

变式【答案】

【解析】

【分析】

【详解】方法一  由直线l与圆C的方程，

得消去y，得．

设两交点坐标分别为，

由根与系数的关系有，

．

∴弦的长为．

方法二  圆可化为．

其圆心坐标为，半径，点到直线l的距离为，

所以半弦长．所以弦长．

例3．【答案】（1）C；（2）或

【解析】

【分析】

【详解】因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心，半径长，点在直线上，所以点与圆心的距离的最小值即圆心到直线的距离d，易求，所以切线长的最小值为．

（2）∵，∴点A在圆外．

当直线l的斜率不存在时，l的方程是，不满足题意．

设直线l的斜率为k，则切线l的方程为，

即．

圆心到切线l的距离为，

解得或，

因此，所求直线l的方程为或．

变式【答案】（1）B；（2）C

【解析】

【分析】

【详解】（1）的圆心为，

，∴切线的斜率，

∴切线方程为，即．

（2）圆心到的距离．

所以切线长的最小值为．

当堂检测

1．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】∵圆心到直线的距离，

∴直线与圆相交，

又不在上，∴直线不过圆心．

2．【答案】CD

【解析】

【分析】

【详解】l过定点，又点A在圆上，

当l斜率存在时，l与圆一定相交，

又直线过点A且为圆的切线，

∴l与圆相交或相切，故选CD．

3．【答案】CD

【解析】

【分析】

【详解】圆的方程为，

可化为，

由圆心到直线的距离为，

得或12．

4．【答案】或

【解析】

【分析】

【详解】∵在圆外，

∴过点与圆相切的直线有两条．

当斜率存在时，设切线的斜率为k，

则切线方程为，即，

∴，∴，

∴切线方程为，

当斜率不存在时，切线方程为．

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】设点，易知圆心，半径．

当弦过点且与垂直时为最短弦，

．

∴半弦长．

∴最短弦长为．