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第一章+第一课时+1.1.1+空间向量及其线性运算+课前-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编
展开1.1.1 空间向量及其线性运算
【知识要点】
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母，…表示；若向量的起点是，终点是，也可记作，其模记为或．
4．几类特殊的空间向量
名称 | 定义及表示 |
零向量 | 长度为0的向量叫做零向量，记为0 |
单位向量 | 模为1的向量称为单位向量 |
相反向量 | 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 |
共线向量（平行向量） | 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量，都有 |
相等向量 | 方向相同且模相等的向量称为相等向量 |
知识点二 空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 | 加法 | ||
减法 | |||
数乘 | 当时，； 当时，； 当时， | ||
运算律 | 交换律：； 结合律：，； 分配律：，． | ||
知识点三 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使．
2．直线的方向向量
在直线上取非零向量，我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量．
知识点四 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
【公式概念应用】
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个有公共终点的向量，一定是共线向量．（ ）
（2）在空间中，任意一个向量都可以进行平移．（ ）
（3）空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．（ ）
（4）向量与是共线向量，则三点必在一条直线上．（ ）
（5）向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上．（ ）
（6）若向量共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．（ ）
（7）空间中任意三个向量一定是共面向量．（ ）
（8）若共面，则存在唯一的有序实数对，使．（ ）
1．如图所示，在四棱柱所有的棱中，可作为直线的方向向量的有________．
2．在三棱锥中，若是正三角形，为其中心，则化简的结果为________．
参考答案
1．【答案】
【解析】
【分析】可作为直线的方向向量的向量是与直线平行的，结合图形找出符合条件的即可．
【详解】根据方向向量的概念可知：
可作为直线的方向向量的有，
故答案为：．
2．【答案】
【解析】
【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果．
【详解】
如图，取的中点，连结，则必经过点，则，
∴．
故答案为：．
