江西省赣州市2023届高三数学（文）上学期1月期末考试试题（Word版附解析）

赣州市2022～2022学年度第一学期期末考试

高三数学（文科）试卷

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（）．

A．  B．

C．  D．

2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（）．

A．i B． C．1 D．

3．函数，的值域为D，在区间上随机取一个数t，则的概率是（）．

A． B． C． D．

4．等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的前10项和为（）．

A． B． C．171 D．

5．已知，，，，则（）．

A． B．

C． D．

6．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）．

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，则

7．已知变量x和y的统计数据如表：

根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（）．

A．9.2 B．9.5 C．9.9 D．10.1

8．函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）．

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

9．已知函数（且）图像恒过的定点A在直线上，若关于t的不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）．

A．  B．

C． D．

10．已知直线与圆相交于A，B两点，M是线段的中点，则点M到直线的距离的最大值为（）．

A．3 B．4 C．5 D．6

11．已知某正三棱锥三视图如图所示，若侧视图的面积为，则该正三棱锥外接球体积为（）．

A． B． C． D．

12．设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，若，则实数a的取值范围为（）．

A．  B．

C．  D．

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．若向量，满足：，，，则与的夹角为__________．

14．设x，y满足约束条件，则的最小值为__________．

15．若双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积等于2，则双曲线C的离心率为__________．

16．已知数列满足，，是递增数列，是递减数列，则__________．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题（共60分）

17．(本小题满分12分)

2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某足球俱乐部对该俱乐部的全体足球爱好者在世界杯足球赛期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的足球爱好者定义为“铁杆球迷”，否则定义为“非铁杆球迷”，请根据频数分布表补全2×2列联表：

并判断能否有99％的把握认为该足球俱乐部的足球爱好者是否为“铁杆球迷”与“性别”有关；

（2）在所有“铁杆球迷”中按性别分层抽样抽取5名，再从这5名“铁杆球迷”中选取2名作世界杯知识普及讲座，求选取的两名中至少有1名女“铁杆球迷”的概率．

参考公式：

，其中．

18．(本小题满分12分)

已知函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）设a，b，c分别是的三个内角，A，B，C所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点M是棱上的动点．

（1）证明：；

（2）设，求当平面时的值．

20．(本小题满分12分)

已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图象与函数的图象仅有一个交点M，求证：曲线与在点M处有相同的切线，且．

21．(本小题满分12分)

已知圆上的动点P在y轴上的投影为Q，动点M满足．

（1）求动点M的轨迹方程C；

（2）动直线与曲线C交于A，B两点，问：是否存在定点D，使得为定值，若存在，请求出点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

（二）选考题（共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分）

22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设点，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知函数的最小值为m．

（1）求m的值；

（2）设a，b，c为正数，且，求证：．

赣州市2022～2023学年度第一学期期末考试

高三数学试卷（文科）参考答案

一、选择题

12．设，则，

当时，，

即在上单调递减，而，

所以，

故是偶函数，所以在上单调递增，

因为，

所以，

即．

二、填空题

13．（或） 14．      15．

16．

解：因为是递增数列，所以，

故，

因为，所以，

所以，

又，所以，

因为是递减数列，所以，

同理，所以，

所以，即的首项为3，公差为的等差数列，

即．

三、解答题

17．解：（1）根据频数分布表，完善表格如下：

根据数据得，

故有99％的把握认为该足球俱乐部的足球爱好者为“铁杆球迷”与“性别”有关．

（2）依题意按照分层抽样在所有“铁杆球迷”中按性别分层抽样抽取5名中男生和女生分别有3人和2人，从5人中任意抽取2人的基本事件共10个，其中至少有1人是女生的基本事件有7个，

故选取的两名中至少有1名女“铁杆球迷”的概率为．

18．解：（1），

令，得，

即函数的单调递减区间为．

（2）由（1）知得，

所以，即，

又，得，

而得

，

所以当且仅当时等号成立，

此时的面积为．

所以的面积的最大值为．

19．解：（1）证明：由于面且，

所以面，所以．

由，

得，即，

所以，即，

所以面，而面面，

因此．

（2）连结，交于点N，连，

因为平面，平面，平面平面，

所以，故．

在梯形中，，

所以，即当平面时的值为．

20．解：（1），所以，

①当即时，恒成立，

函数在上为单调递减函数．

②当即时，令得：，

令得：或，

所以，函数在上为单调递增函数，

在和上为单调递减函数．

（2）构造，

所以．

记，恒成立，

即在上单调递增．

而，，

所以存在唯一的使得，即，

所以，，所以，

即曲线与在点M处有相同的切线．

又知在上单调递减，在上单调递增，

即，

由于函数的图象与函数的图象仅有一个交点M，

所以，即，

，，

所以．

综上，曲线与在点M处有相同的切线，且．

21．解：（1）设，，则，

由得，

即，

将代入得，即，

所以动点M的轨迹方程．

（2）设，，，

联立得，

所以，

因为

为定值

所以，即，

所以存在定点，使得为定值．

22．解：（1）直线l的普通方程为，

由得，

则，

曲线C的直角坐标方程为．

（2）直线l的参数方程为（t为参数），

设点A，B对应的参数分别为，，

将代入得，

则，，则，，

则．

23．解：（1）由题意得，

从而函数在递减，在上递增，

故，即．

（2）由（1）知：，

又a，b，c为正数，由，，，

法一：，

而，

所以．

法二：由，，，

，，，

得．