2023届高考物理二轮复习专题讲义电场与磁场——带电粒子在叠加场中的运动讲义

带电粒子在叠加场中的运动

本专题主要考查带电粒子在叠加场中的运动问题。高考常常结合速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元件等电磁仪器进行综合考查。主要涉及到电场与磁场的叠加，电场、磁场、重力场叠加两大类问题的处理，同时考查到学生对于平衡条件、圆周运动等知识的掌握程度，对于学生的分析推理能力、利用数学方法解决物理学问题的能力要求较高。

探究1电场与磁场叠加

典例1：（2022·全国甲卷）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（xOy平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（　　）

A． B．

C． D．

训练1：（2022广东期中）如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为＋q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法错误的是（　　）

A．粒子偏离入射方向的最大距离为

B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为

C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为－4mv2

D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的

探究2  电场、磁场与重力场叠加

典例2:（2020江苏省月考）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，沿与x轴正方向的夹角为45°的初速度进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A（l，l）时，电场方向突然变为竖直向上（不计电场变化的时间），粒子继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：

（1）电场强度E的大小；

（2）磁感应强度B的大小；

（3）微粒在复合场中的运动时间。

训练2：（2022合肥模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内有竖直向下的、电场强度大小为E1的匀强电场，虚线是第二、四象限的角平分线，虚线的右上方有垂直纸面向里的、磁感应强度大小为B的匀强磁场；第三、四象限有水平向左的、电场强度大小为E2的匀强电场，且E1＝E2。现有一电荷量为q、质量为m的带电微粒由x轴上的P点（，0），以大小为v0、方向与x轴正方向成45°角的速度射入第二象限，微粒沿直线运动到虚线上的Q点，然后进入磁场，再从坐标原点O进入第三象限，最后打在y轴上的N点，已知重力加速度为g。求：

（1）电场强度E1的大小和磁感应强度B的大小；

（2）N点的位置坐标和微粒通过N点的速度大小；

（3）微粒从P点运动到N点经历的时间。

带电粒子在叠加场中的运动答案解析

典例1：关键信息：空间存在着匀强磁场和匀强电场 → 叠加场问题

带正电的粒子、从坐标原点O由静止开始运动 → 结合电场与磁场的方向，根据电场力和洛伦兹力的性质可以判断粒子的受力情况

解题思路：因为正电荷所受电场力方向与场强方向相同，所受洛伦兹力方向可以由左手定则判定，再根据带电粒子的受力情况判断粒子的运动轨迹。

AC．在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电粒子受到沿y轴正方向的电场力，所以开始时粒子会向y轴正方向运动。又因为磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子会向x轴负方向偏转。AC错误；

BD．运动的过程中粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，所以不做功，只有电场力对带电粒子做功，粒子速度大小会发生变化，由于匀强电场方向是沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，根据动能定理可知，带电粒子再次回到x轴时的速度为0，随后带电粒子受电场力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B正确，D错误。

故选B。

训练1：

A．根据题意E＝Bv得：Eq＝Bqv

将粒子以速度v水平向左抛入复合场中，根据“配速法”，粒子的初速度可以等效为一个水平向左的2v和一个水平向右的v，向右的速度v会产生一竖直向上的洛伦兹力

F1＝qvB

由于Eq＝qvB，则粒子的一个分运动为水平向右的匀速直线运动，另一个分运动是水平向左沿逆时针方向的匀速圆周运动，速度大小为2v

Bq2v＝

解得：R＝

粒子偏离入射方向的最大距离为2R＝，A错误；

B．粒子在轨迹最低点速度大小为3v，方向水平向右

Bq3v－Eq＝

解得：r＝

即轨迹最低点的曲率半径为，B正确；

C．粒子从抛出到最低点的过程中电场力做正功，电势能减小，电势能的变化量为

－Eq×2R＝－4mv2，C正确；

D．粒子在复合场中运动过程中只有电场力做功，所以粒子的动能和电势能的总和是守恒的，D正确。

本题选错误的，故选A。

典例2：关键信息：正交的匀强电场和匀强磁场、微粒 → 电场、磁场与重力场叠加问题

正好做直线运动 → 重力、电场力、洛伦兹力三力合力为零

解题思路：对物体受力分析，带电粒子在电场、磁场与重力场的复合场中做直线运动且受到洛伦兹的作用下，一定为匀速直线运动，所以三力合力为零，结合共点力平衡可以得到电场力、洛伦兹力、重力大小关系。

（1）微粒到达A（l，l）之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲所示：

所以，Eq＝mg，得：E＝

（2）由平衡条件：qvB＝mg

电场方向变化后，微粒所受重力与电场力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图乙：qvB＝

由几何知识可得：r＝l

联立解得：v＝，B＝；

（3）微粒做匀速直线运动的时间：t1＝＝

微粒做匀速圆周运动的时间：t2＝＝

微粒在复合场中的运动时间：t＝t1＋t2＝(＋1)

训练2：

（1）由带电微粒沿PQ做直线运动，可知qE1＝mg

解得E1＝

带电微粒从Q到O的过程，做匀速圆周运动，如图：

轨道半径r＝OPsin 45°

又qv0B＝m

代入已知条件OP＝L

解得：B＝

（2）带电微粒从O点垂直虚线射入第三象限，因为E1＝E2，则沿x轴方向：初速度vx＝v0sin 45°＝v0，受向右的电场力qE2＝mg，则带电微粒沿x轴方向的加速度为g，所以微粒从O到N的时间tON＝，

微粒到达N点时x方向的速度大小vNx＝vx，方向沿x轴正方向。

沿y轴方向：初速度vy＝v0cos 45°＝v0，受重力mg，

则微粒到达N点时y方向的速度大小vNy＝vy＋gtON，方向沿y轴负方向；

N点的纵坐标绝对值y＝vytON＋gtON2

微粒通过N点时的速度vN＝

综上解得：tON＝，vN＝v0，y＝

所以N点的位置坐标为（0，）。

（3）带电微粒沿PQ做直线运动的时间：tPQ＝

带电微粒从Q到O做匀速圆周运动的时间：tQO＝＝

微粒从P点运动到N点经历的时间：t＝tPQ＋tQO＋tON＝＋＋。