高三物理总复习知识讲解行星的运动与万有引力定律提高

物理总复习：行星的运动与万有引力定律

编稿：李传安       审稿：张金虎

【考纲要求】

      1、了解开普勒关于行星运动的描述；

      2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；

      3、掌握万有引力定律并能应用；

      4、理解三种宇宙速度及其区别。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、开普勒行星运动定律
1、开普勒第一定律
　　所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。
2、开普勒第二定律
　　对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律，又称面积定律。
3、开普勒第三定律
　　所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第三定律，又称周期定律。若用表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则（是一个与行星无关的常量）。
要点诠释：由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道   ，而值只与太阳有关，与行星无关。
开普勒定律的应用
　　（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为 ；（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为，这时由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时，中的值是不同的。（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力的关系来解决。
　　

例、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：（　 ）
　　A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
　　B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处
　　C．离太阳越近的行星的运动周期越长
　　D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
　【答案】D
　【解析】所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在一个焦点上，但并非在同一个椭圆上，故A、B错。由第三定律知离太阳越近的行星运动周期越小，故C错、D正确。
 

考点二、万有引力定律

　  1、公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
　　，为万有引力常量，  。
    2、适用条件：公式适用于质点间万有引力大小的计算。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算，只不过r应是两球心间的距离。
    3、万有引力的特点（1）普适性：（2）相互性：（3）宏观性：
要点诠释：重力和万有引力的联系和区别
　　重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力。如图所示，产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。由于，随纬度的增大而减小，所以

物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大；

但一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等，

即     常用来计算星球表面的重力加速度。

在地球同一纬度处，g随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小，即。
　　例、对于质量为和的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是：（　 ）
　　A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的
　　B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
　　C． 和所受引力大小总是相等的
　　D．两个物体间的引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力
【答案】AC
【解析】　由基本概念、万有引力定律及其适用条件逐项判断。引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确。万有引力表达式只适用于质点间的作用，当r趋于零时任何物体都不能再视为质点，公式不成立，此时两物体间的作用力并非无穷大，故B错误。两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确、D错误。

考点三、应用万有引力定律分析天体的运动
　　  1、基本方法
　　把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

公式为    
解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。
    2、天体质量M、密度的计算
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径和周期T，由

得       (为中心天体的半径）
当卫星沿中心天体表面绕天体运动时，，则。
    3、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系
　　（1）由  得，所以越大，越小；
　　（2）由  得，所以越大，越小；
　　（3）由 得，所以越大，T越大。
   4、黄金代换式
　 在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为，且有。对其它行星也适用，不过是行星表面的重力加速度，R是行星的半径，M是行星的质量。

例、如图，卫星从远地点B向近地点A运动,则下列说法正确的是（  ）

A. 卫星的速度越来越大

B. 卫星的机械能越来越大

C. 卫星受到的万有引力越来越大

D. 卫星与地球连线单位时间扫过的面积越来越大

【答案】A C

【解析】卫星从远地点B向近地点A运动，轨道半径变小，因此速度越来越大，A对。卫星与地球组成的系统，只有引力做功，机械能守恒，B错。由万有引力公式，万有引力越来越大，C对。由开普勒第二定律知，在相等的时间内扫过相等的面积，D错。故选A C。

5、天体质量的几种计算方法（以地球质量M为例）

（1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径。

由     得  。
　　（2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和半径。

由   得    。
　　（3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度和周期T。

由  及      得。
　　（4）若已知地球半径R及表面的重力加速度g。

由  得。

【典型例题】

类型一、天体质量、密度的计算

例1、从地球上观测到太阳的直径对地球的张角为，引力恒量

，每年按365天计算，试求：
　　（1）估算出太阳的平均密度；
　　（2）如果太阳密度与地球密度之比为0.3，估算地球的半径。
【答案】（1）   （2）

【解析】 （1）根据万有引力定律    

太阳的质量为  ，    又∵  

太阳的直径对地球的张角为  得 

公转周期    

太阳的平均密度 
　（2）地球表面物体重力近似等于万有引力 ， 

地球的密度   联立方程并将    代入

得地球的半径

【总结升华】只能求中心天体的质量。密度公式中，求太阳的密度，质量是太阳的，体积也是太阳的。把天体都看成球体，要用太阳半径。

举一反三

【变式1】已知地球的半径为，地球表面的重力加速度为，万有引力常量为如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度表达式为________。

【答案】

【解析】由地球表面物体重力近似等于万有引力   得        

地球的体积   地球的密度

【变式2】一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上，飞船上备有以下实验器材料：

A.精确秒表一个          B.已知质量为m的物体一个

C.弹簧测力计一个      D.天平一台（附砝码）

已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径R和行星密度。（已知万有引力常量为G）

（1）两次测量所选用的器材分别为         、        （用序号表示）

（2）两次测量的物理量分别是              、                  （写出物理量名称和表示的字母）

（3）用该数据推出半径R、密度的表达式：R=             ，=            。

【答案】（1）A；BC（2）周期T；物体的重力F（3）   

【解析】靠近行星表面运动时，万有引力提供向心力，轨道半径为行星半径 

  （1）

在行星表面用弹簧测力计测出物体的重力为，

在行星表面物体重力近似等于万有引力   （2） 

由（1）、（2）得      

所以               

又             所以 密度 

【总结升华】密度 是推导出来的，当然具有普遍意义，可以得出结论：当卫星绕行星表面附近（轨道半径等于行星的半径）运行时，行星的密度只与卫星的周期有关，与卫星周期的平方成反比。

【变式3】相距甚远的两颗行星A与B的表面附近各发射一颗卫星a和b，测得卫星a绕行星A的周期为，卫星b绕行星B的周期为，这两颗行星的密度之比__________。

【答案】根据 可知 

类型二、求行星表面的重力加速度

（1）根据在行星表面物体重力近似等于万有引力

例2、已知火星的半径是地球半径的1/2，火星的质量是地球的质量为1/10。如果地球上质量为60kg的人到火星上去，在火星表面由于火星的引力产生的加速度大小为         。（地球表面重力加速度为）

【答案】

【解析】火星的物理量加一撇表示         

火星表面     地球表面 

两式相除（或认为与星球质量成正比，与半径的平方成反比）

   所以 

【总结升华】这类题的特点就是根据在行星表面物体重力近似等于万有引力，在地球表面物体重力近似等于万有引力，采用比例求解，位置不能用错，半径有平方不能丢掉。

举一反三

【变式1】（2016 四川卷）国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(　　)

A．a2＞a1＞a3

B．a3＞a2＞a1

C．a3＞a1＞a2

D．a1＞a2＞a3

【答案】D

【解析】 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，可得：a＝ω2r，由于r2>r3，则可以得出：a2>a3；又由万有引力定律有：，且r1<r2，则得出a2<a1，故选项ABC错，D正确。

    故选D。

【高清课堂：行星的运动与万有引力定律例3】

【变式2】1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球的半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为多少?              

【答案】

【解析】因为小行星密度与地球相同

由密度公式     小行星:    地球: 

     得出     (1)

又根据任何行星表面的重力近似等于万有引力  

小行星:       地球:

两式相比：        (2)         

把 (1)代入 (2)得         

所以，这个小行星表面的重力加速度

（2）根据在行星表面物体的运动规律求该行星表面的重力加速度

例3、（2015  福建卷）如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1 、 v2。则   （   ）

【答案】：A

【解析】由题意知，两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据，得：，所以，故A正确；B、C、D错误。

举一反三

【变式】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
【答案】

【解析】 根据平抛运动信息及规律，可得在该星球上物体的重力加速度，由重力与万有引力的关系可确定星球质量。

设抛出点的高度为，第一次平抛的水平射程为,抛出点与落地点之间的距离为L

则    （1）

由平抛运动规律得知，当初速度增大到时，其水平射程也增大到，（一定，一定，）可得：      （2）

由（1）、（2）解得 

设该星球上的重力加速度为，由平抛运动规律：   有 （3）

行星表面的重力近似等于万有引力：    (4)

联立各式解得：

类型三、与万有引力相关的临界问题

【高清课堂：行星的运动与万有引力定律例4】

例4、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测的它的自转周期为T=1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持位于赤道处的物体的稳定，不至因自转而瓦解。（星体可视为均匀球体，引力常量）

【答案】

【解析】考虑中子是赤道处一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的

向心力时，中子星才不会瓦解。

   设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小块物

质质量为m，则有

       ①      ②         ③ 

由以上各式得     ④      代入数据解得  .

【总结升华】因“自转而瓦解”的意思是：万有引力不足以提供星球做匀速圆周运动所需的向心力，就是自转的最大角速度或最小周期。

举一反三

【变式1】某行星一昼夜时间T = 6h，若弹簧秤在其“赤道”上比在两极处测同一物体的重量时，读数小10%。设想该行星自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体会自动飘起来，这时行星的自转角速度为多大？

【答案】；    

【解析】设该星球质量为M，半径为R，物体质量为m；若“赤道”上物体“漂浮”时星球自转周期为，则有     

解①②可得：     所以  

【变式2】一个球形天体的自转周期为T（s），在它两极处用弹簧秤称得某物体的重力为P（N），在赤道处称得该物体的重力为0.9P（N）。则该天体的平均密度为__________。

【答案】     

【解析】设被测物体的质量为m，天体的质量为M,半径为R,因在两极处时物体所受重力等于天体对物体的万有引力，故有 。在赤道上，物体因天体自转而绕天体的自转轴做匀速圆周运动，天体对物体的万有引力和弹簧秤对物体拉力的合力提供向心力，

根据牛顿第二定律  

可以求出天体的质量为      又天体的体积   ,

则天体的密度