【期末全复习】人教版(2019)数学必修1-高一上学期期末:期末模拟测试卷(B 能力卷)
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2022-2023学年上学期 期末模拟测试卷(B卷 能力版)
高一数学
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.测试范围:人教A版2019 必修1(新教材)。
5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2021·重庆南开中学高一期末)已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】
分别化简集合与,再求交集即可.
【详解】
由得,由的
所以,,则
故选:A
2.(2021·全国·高一专题练习)函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
先判断的单调性,然后根据零点存在性定理判断出正确答案.
【详解】
的定义域为,且为定义域上的增函数,
,
,故零点所在区间是.
故选:B
3.(2021·重庆南开中学高一期末)已知扇形的周长为16cm,圆心角为2弧度,则此扇形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出.
【详解】
设此扇形半径为,扇形弧长为
则,,
∴扇形的面积为
故选:A.
4.(2021·重庆南开中学高一期末)设,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
利用“”分段法比较出三者的大小关系.
【详解】
,,
所以.
故选:C
5.(2021·重庆南开中学高一期末)已知函数(,,)的部分图象如图所示,则的解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】
结合图象,依次求得的值.
【详解】
由图象可知,,所以,
依题意,则,
,所以.
故选:D.
【点睛】
方法点睛:根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法:
(1)求、,;
(2)求出函数的最小正周期,进而得出;
(3)取特殊点代入函数可求得的值.
6.(2021·重庆南开中学高一期末)定义在R上的奇函数满足,且时,,则( )
A.2 B.1 C.0 D.
【答案】C
【分析】
由条件可得是以4为周期的周期函数,然后可求出答案.
【详解】
因为定义在R上的奇函数满足,所以
所以,所以是以4为周期的周期函数
所以
故选:C
7.(2021·全国·高一专题练习)已知函数在区间上的最大值为,最小值为则函数的最小值为( )
A. B.1 C. D.
【答案】D
【分析】
先利用平方差公式、同角三角函数关系以及二倍角公式将函数变形为,然后发现区间长度刚好是四分之一个周期,从而利用余弦函数的对称性,得到当区间,关于的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小,求出此时的最大值和最小值,即可得到答案.
【详解】
函数,
所以函数的周期为,区间的区间长度刚好是函数的四分之一个周期,
因为在区间上的最大值为,最小值为,由函数的对称性可知,当区间,关于的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小,即函数取最小值,
区间,的中点为,此时取得最值±1,
不妨取得最大值,
则有,解得,所以
所以,
故取最小值为.
故选:D.
【点睛】
关键点睛:本题考查了三角函数的最值,涉及了二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用、三角函数的周期性、对称性的应用,解题的关键是分析出当区间关于的对称轴对称时,此时最大值与最小值的差值最小.
8.(2021·天津·静海一中高一期末)设函数,若在区间上是单调函数,则
A. B. C. D.或
【答案】B
【分析】
因为在单调递增,所以在也是单调递增,且,解不等式组,即可得到本题答案.
【详解】
当时,,所以此时函数在区间上单调递增,因为在区间上是单调函数,所以在区间上单调递增,当时,对称轴,此时在上单调递增,且需满足,得;当时,,符合题意;当时,对称轴,此时在上单调递增,且需满足,得;综上得,.
故选:B
【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性问题,涉及到分类讨论的方法.
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
9.(2021·广东·高一单元测试)下列函数中,既为奇函数又在定义域内单调递增的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【分析】
分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性,对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.
【详解】
四个函数的定义域为,定义域关于原点对称
A:记,所以,所以函数是奇函数,又因为是增函数,是减函数,所以是增函数,符合题意;B:记,则,所以函数是偶函数,不符合题意;C:记,则,所以函数是奇函数,根据幂函数的性质,函数是增函数,符合题意;D:记,则,所以函数为偶函数.
故选:AC
10.(2021·河北·石家庄外国语学校高一期中)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数的单调递增区间是
B.函数的值域是R
C.函数的图象关于对称
D.不等式的解集是
【答案】BCD
【分析】
根据对数函数相关的复合函数的单调性,值域,对称性,及解对数不等式,依次判断即可得出结果.
【详解】
对于A:因为为增函数,所以求的单调递增区间即求的单调递增区间,即.又对数函数的定义域有,解得.故函数的单调递增区间是.A错误;
对于B:,由对数函数的定义域解得:,则,由于,所以,即函数的值域是,B正确;
对于C: ,关于对称,所以函数的图象关于对称,故C正确;
对于D: ,即,解得:,故D正确;
故选:BCD.
11.(2021·重庆南开中学高一期末)已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数的初相为
B.若函数在上单调递增,则
C.若函数关于点对称,则可以为
D.将函数的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数,则可以为2023
【答案】AB
【分析】
根据选项条件一一判断即可得结果.
【详解】
A选项:函数的初相为,正确;
B选项:若函数在上单调递增,则,,,所以,,又因为,则,正确;
C选项:若函数关于点对称,则,所以
故不可以为,错误;
D选项:将函数的图象向左平移一个单位得到是偶函数,则,所以故不是整数,则不可以为2023,错误;
故选:AB
【点睛】
掌握三角函数图象与性质是解题的关键.
12.(2021·重庆南开中学高三阶段练习)已知函数,若关于的方程有四个不等实根,,,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.的最小值为10
【答案】ACD
【分析】
画出的图象,结合图象求得的取值范围,利用特殊值确定B选项错误,利用基本不等式确定CD选项正确.
【详解】
画出的图象如下图所示,
由于关于的方程有四个不等实根,,,,
由图可知,故A选项正确.
由图可知关于直线对称,故,
由解得或,
所以,
,当时,,所以B选项错误.
令,,,
,是此方程的解,
所以,或,
故
,
当且仅当时等号成立,故D选项正确.
由图象可知,
,,,
由,解得或,
由,解得或,
所以,
①.
令或,
所以①的等号不成立,即,故C选项正确.
故选:ACD
【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题,可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题,可考虑利用基本不等式来求解
第Ⅱ卷
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2021·重庆南开中学高一期末)___________.
【答案】
【分析】
结合指数运算、对数运算,化简求得表达的值.
【详解】
原式
.
故答案为:
14.(2021·天津·静海一中高一期末)用长为的铁丝围成半径为的扇形,则扇形的中心角为__________弧度.
【答案】1
【分析】
扇形周长为两个半径长度与弧长的和,利用已知求出弧长,再利用弧度数即中心角为弧长除以半径,计算得出结果.
【详解】
因为半径为,扇形周长为,所以弧长为,因此弧度数为: 1.
故答案为:1.
【点睛】
本题考查扇形弧长公式的应用,考查学生计算能力,属于基础题.
15.(2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第九中学高一阶段练习)若正数x,y满足,则的最小值是__________.
【答案】5
【分析】
先由条件得,再利用1的代换以及基本不等式求最值.
【详解】
由条件,两边同时除以,得到,
那么
等号成立的条件是,即,即.
所以的最小值是5,
故答案为: 5 .
【点睛】
易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方,这时改用勾型函数的单调性求最值.
16.(2021·天津·静海一中高一期末)已知函数,若函数在上有两个零点,则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
可得时,有一个零点,所以只需要当时,有一个根,利用“分离参数法”求解即可.
【详解】
因为函数,
当时,有一个零点,
所以只需要当时,有一个根即可,即有一根,
当时,且单调递增,所以,即,
故答案为.
【点睛】
方法点睛:已知函数有零点(方程有根),求参数取值范围的三种常用的方法:(1)直接法,直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(2021·重庆南开中学高一期末)已知,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)或;(2).
【分析】
(1)解一元二次方程,结合角的范围求解;
(2)利用诱导公式化简后,弦化切即可求解.
【详解】
(1)由题意可得:,
或,
又,,
,
(2)原式.
18.(2021·湖南·明达中学高一期末)若,.
(Ⅰ)若的解集为,求的值;
(Ⅱ)求关于的不等式的解集.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案见解析.
【分析】
(Ⅰ),1为方程的两个根,用韦达定理构建方程解出来即可.
(Ⅱ),分、、、和五种情况讨论即可
【详解】
(Ⅰ)的解集为,,1是的解.
.
解得:
(Ⅱ)当时,不等式的解为,解集为
当时,分解因式
的根为,.
当时,,不等式的解为或;解集为.
当时,,不等式的解为;解集为.
当时,,不等式的解为;等式的解集为.
当时,原不等式为,不等式的解集为.
综上:当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
19.(2021·重庆南开中学高一期末)先将函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图像.
(1)求函数的解析式;
(2)若,满足,且,设,求函数在上的最大值.
【答案】(1);(2).
【分析】
(1)先对函数化简变形可得,再由三角函数图像变换规律可求出的解析式;
(2)由已知条件可得,,则可得,然后令,则,从而可求出其最值
【详解】
(1)原函数化简得到,
将图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),可得,再将的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到
所以.
(2)由题意知,
因为
所以,
解得,则有:
.
令,,
则对称轴为.所以.
【点睛】
关键点点睛:此题考查三角恒等变换公式的应用,考查三角函数图像变换规律,考查数学转化思想,解题的关键是由求出,再对两边取余弦化简可求出,从而可对化简可得,再利用换元法可求得结果,属于中档题
20.(2021·全国·高一课时练习)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在上的单调递增区间;
(Ⅲ)若是函数的一个零点,求实数的值及函数在上的值域.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【分析】
利用三角恒等变换公式化简函数解析式,(1)利用周期公式求解;(2)利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间;(3)利用换元法求判断函数单调性,并求值域.
【详解】
解:(Ⅰ)
,
;
(Ⅱ)法一:
令;则.
,的单调增区间为.
,解得.
函数在上的单调递增区间.
法二:
,
,
画数轴与所有区间取交集可知:.
函数在上的单调递增区间;
(Ⅲ)是函数的一个零点
.
解得:.
.
,,当单调递减区间为.
,解得
在区间上为减函数.
函数在上的单调递增区间,单调递减区间
,,.
函数在上的值域为.
【点睛】
对于三角函数,求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ω x+φ)的形式,则最小正周期为,最大值为,最小值为;奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asin ωx或y=Acos ωx的形式.
21.(2020·天津西青·高一期末)已知函数过定点,函数的定义域为.
(Ⅰ)求定点并证明函数的奇偶性;
(Ⅱ)判断并证明函数在上的单调性;
(Ⅲ)解不等式.
【答案】(Ⅰ)定点为,奇函数,证明见解析;(Ⅱ)在上单调递增,证明见解析;(Ⅲ).
【分析】
(Ⅰ)根据解析式可求得定点为,即可得的解析式,根据奇函数的定义,即可得证;
(Ⅱ)利用定义法即可证明的单调性;
(Ⅲ)根据的单调性和奇偶性,化简整理,可得,根据函数的定义域,列出不等式组,即可求得答案.
【详解】
(Ⅰ)函数过定点,定点为,
,定义域为,
.
函数为奇函数.
(Ⅱ)在上单调递增.
证明:任取,且,
则.
,,
,,
,即,
函数在区间上是增函数.
(Ⅲ),即,
函数为奇函数
在上为单调递增函数,
, ,解得:.
故不等式的解集为:
【点睛】
解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义,并灵活应用,在处理单调性、奇偶性综合问题时,需要注意函数所有的自变量都要在定义域内,方可求得正确答案.
22.(2021·重庆南开中学高一期末)2020年12月17日凌晨,经过23天的月球采样旅行,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域,我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功,成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家,标志着我国探月工程“绕,落,回”圆满收官.近年来,得益于我国先进的运载火箭技术,我国在航天领域取得了巨大成就.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式计算火箭的最大速度,其中是喷流相对速度,是火箭(除推进剂外)的质量,是推进剂与火箭质量的总和,从称为“总质比”,已知A型火箭的喷流相对速度为.
(1)当总质比为200时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据:,.
【答案】(1);(2)在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.
【分析】
(1)代入公式中直接计算即可
(2)由题意得,,则,求出的范围即可
【详解】
(1),
(2),.
因为要使火箭的最大速度至少增加,
所以,
即:,
所以,
即,所以,
因为,所以.
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.
【点睛】
此题考查了函数的实际运用,考查运算求解能力,解题的关键是正确理解题意,列出不等式,属于中档题
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