【期末知识专练】人教版数学七年级上学期 期末备考-专题2.02：巧算问题 技巧提升

专题2.02  巧算问题技巧提升（原卷版）

学习目标                                                                       

清楚计算中的中上等难度题型，并清楚其处理方法，做到见题知类，解题方法手到拈来。

考点整合                                                                        

【考点1】   凑整法                          【考点 4】  捆绑法

【考点2】   逆向法（ 乘法分配率逆用）       【考点 5】  裂项相消法

【考点3】   拆项法                          【考点6 】  错位相消法

触类旁通                                                                         

【考点1】   凑整法     

自我解读：①将能够凑成整数的部分先运算。

          ②也可将分数拆成整式加减某个数，如99.75可以拆成100-0.25进行运算。

【例1】（﹣1.75）﹣（﹣2）+（﹣3）﹣（﹣1）

【自我解读】先化简符号，然后-0.75与可以凑成整数，同理与- 进行计算。

【解题过程】

原式＝（﹣1.75+2）+（﹣3）+1

＝1﹣2

＝﹣1．

【变式1-1】（2022·江苏·射阳外国语学校七年级阶段练习）计算题：

【变式1-2】（2022·江苏·宿迁市洋河新区初级中学七年级期中）计算

(1)

(2)．

【变式1-3】（2022·浙江·佛堂镇中学七年级阶段练习）简便计算

(1)；

(2)．

【考点2】   逆向法（ 乘法分配率逆用）

自我解读：①多次出现相同数字或整式时，使用此方法。

【例2】计算：

【自我解读】有俩个单项式出现了-13，俩个动向是出现了0.34，因此分别运用逆向法

【解题过程】

解：

＝﹣13×（）﹣0.34×（）

＝﹣13﹣0.34

＝﹣13.34

【变式2-1】计算：

【变式2-2】

计算：；

【变式2-3】（2019·安徽·宣城市宣州区古泉中心初级中学七年级阶段练习）

【考点3】   拆项法

自我解读：将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.

【例3】阅读下面的计算过程，体会“拆项法”

计算：﹣5．

解：原式0

启发应用

用上面的方法完成下列计算：

【自我解读】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（），再根据有理数的加减运算法则计算可得．

【解题过程】

解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（）

＝﹣4+（）

＝﹣4．

【变式3-1】计算：

【变式3-2】

【变式3-3】

【考点 4】   捆绑法

自我解读：①找出规律，进行捆绑处理，从而方便运算。  

【例4】 计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99

【自我解读】把原式写成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一个有25个﹣2，据此计算即可．

【解题过程】

解：原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50．

【变式4-1】（2020·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）计算值为（  ）

A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020

【变式4-2】（2019·安徽·宣城市宣州区古泉中心初级中学七年级阶段练习）（1—2）×（3—4）×（5—6）×…×（2017—2018）=_________.

【变式4-3】（2021·四川·安岳县李家初级中学七年级阶段练习）计算：结果为__________．

【考点 5】  裂项相消法

自我解读：① 将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.

【例5】阅读材料，回答下列问题．

通过计算容易发现：

①；②；③

（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：　　；

（2）通过观察，计算的值．

（3）探究上述的运算规律，试计算的值．

【自我解读】①观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；

②根据上述规律得原式＝1，计算即可得出答案；

③所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以，则可以用裂项法进行计算．

【解题过程】

解：（1）；

故答案为：；

（2）

＝1

＝1

；

（3）的值．

（1）

（1）

．

【变式5-1】（2020·安徽铜陵·七年级期末）计算的值为__________________．

【变式5-2】（2019·广东茂名·七年级阶段练习）观察下列各式：

，，，…

（1）请依据以上得式子填空：

①　　；

②　　（n是正整数）.

（2）根据上面各式所归纳的规律计算下题：

….

【变式5-3】（2022·四川·安岳县兴隆初级中学八年级阶段练习）我们经过探索知道，，，，若已知，则_______（用含的代数式表示，其中为正整数）．

【考点6】  错位相消法

自我解读：①将整式求解的式子看成一个整体，然后给他进行放大或者缩小，然后作差进行求值.

【例6】（2022·江苏·七年级专题练习）【阅读】求值1＋2＋22＋23＋24＋…＋210

解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210①

将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋211②

由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1

即：S＝1＋2＝22＋23＋24＋…＋210＝211﹣1

【运用】仿照此法计算：

(1)1＋3＋32＋33＋34＋…＋350；

(2)

(3)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022

完成下列问题：

①小正方形S2022的面积等于    ；

②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．

【自我解读】（1）设S=1+3+32+33+34+…+350，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+351，两等式相减得到2S=351﹣1，得到S=，即得；

（2）设S=1++++…+，两边都乘以得：S=++++…+，两等式相减得到﹣S=﹣1，推出S=2（1﹣）=2﹣，即得；

（3）①根据，，，…，可得；

②设S=S1+S2+S3+…+S2022=+++…+，两边都乘以得到S=++ +…+，两等式相减得到S=﹣，推出S=（﹣）= ，即得．

【解题过程】

（1）

设S=1+3+32+33+34+…+350 ①，

①×3，得：3S=3+32+33+34+35+…+351 ②，

②﹣①，得：2S=351﹣1，

则S=，

即1+3+32+33+34+…+350=；

（2）

设S=1++++…+①，

①×，得：S=++++…+②，

②﹣①，得：﹣S=﹣1，

∴S=2（1﹣）=2﹣，

即1++++…+=2﹣；

（3）

∵S1=（）2=，S2=S1=，S3=S2=，…，

∴S2022=，

故答案为：；

②设S=S1+S2+S3+…+S2022=+++…+①，

①×，得：S=+++…+②，

①﹣②，得：S=﹣，

∴S=（﹣）= ，

即S1+S2+S3+…+S2022= ．

【变式6-1】（2022·北京市朝阳区陈经纶中学分校实验学校九年级阶段练习）观察下列解题过程：

计算：的值

解：设①，

则②，

由②－①，得.即原式

通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：

【变式6-2】（2022·陕西·无七年级期中）观察算式，找规律：

；

；

；

；

……

(1)由以上算式可知：__________ ；

(2)计算：．

【变式6-3】（2022·广东·深圳市福田区外国语学校七年级期中）（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么__________，_________；

②为了求的值，可以这么做；

令，

则，

因此，所以，即．

仿照以上推理：

（2）计算的值．

（3）计算．

综合巩固                                                                       

1．（2019·安徽·宣城市宣州区古泉中心初级中学七年级阶段练习）

2．（2022·重庆·忠县花桥镇初级中学校七年级阶段练习）计算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

3．（2022·福建省南安市侨光中学七年级期中）若记，并且表示当时y的值，即，表示当时y的值，即，则（    ）．

A．2023 B． C．2022.5 D．2023.5

4．（2022·全国·七年级）a不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（    ）

A． B． C．4 D．

5.（2022·全国·七年级课时练习）计算

=_____________.

6．（2022·贵州·测试·编辑教研五七年级阶段练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明仔细思考了一番用了如下方法解决了这个问题．

小明的解法：原式的倒数为，

所以．

请你运用小明的解法解答下面的问题．

计算：．

7.（2022·河南安阳·七年级阶段练习）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决．

(1)计算：

(2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程

解：原式的倒数为：

．

故原式

请你根据对小明的方法的理解，计算

8．（2022·江苏·南京市第十二初级中学七年级阶段练习）概率学习

规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”．

初步探究

(1)直接写出计算结果：　　、　　；

(2)关于除方，下列说法错误的是             ．

A．任何非零数的圈2次方都等于1；

B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；

C．；

D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．

深入思考：

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算

(3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．

的圈4次方　　；

的圈6次方　　；

(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝        ；

(5)算一算：．

9．（2022·江苏无锡·七年级阶段练习）观察下列等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

第4个等式：．

…

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：＝   ＝   ；

(2)用含有n的代数式表示第n个等式：＝   （n为正整数）；

(3)求 的值．

10．（上海市久隆模范中学七年级期中）求