【期末·压轴题】北师大版数学八年级上册满分攻略：第4章 一次函数（压轴题专练）

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第4章 一次函数压轴题专练

一、单选题
1．（2020·湖南·耒阳市冠湘中学八年级月考）如图所示，直线l：y＝x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1＝OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2＝B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…，则S8等于（　　）

A．28 B．213 C．216 D．218
【答案】B
【分析】根据已知条件得到△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3是等腰直角三角形，根据直线的解析式得到A1（0，1），求得B1（1，0），得到OB1＝OA1＝1，根据三角形的面积公式得到S1＝×1×1＝×12，同理S2＝×2×2＝×22，S3＝×4×4＝×42；…得到Sn＝×22n−2＝22n−3，于是得到结论．
【详解】解：∵OB1＝OA1, A2B1⊥x轴，B1B2＝B1A2；A3B2⊥x轴，B2B3＝B2A3；…
∴△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3是等腰直角三角形，
∵y＝x＋1交y轴于点A1，
∴A1（0，1），
∴B1（1，0），
∴OB1＝OA1＝1，
∴S1＝×1×1＝×12，
同理S2＝×2×2＝×22，S3＝×4×4＝×42；…
∴Sn＝×22n−2＝22n−3，
∴S8＝22×8−3＝213，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2020·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校八年级月考）在平面直角坐标系中，函数 y＝|x﹣a|（其中 a 为常量），当自变量﹣3≤x≤1 时，它的最小值为 a+4，则满足条件的 a 的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题；
【详解】对于函数y＝|x−a|，最小值为a＋4．
情形1：a＋4＝0，
a＝−4，
∴y＝|x＋4|，此时x＝−4时，y有最小值，不符合题意．
情形2：x＝−3时，有最小值，此时函数y＝x−a，由题意：−3−a＝a＋4，得到a＝．
∴y＝|x＋|，符合题意．
情形3：当x＝1时，有最小值，此时函数y＝−x＋a，由题意：−1＋a＝a＋4，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，a＝．
故选：C．
【点睛】本题考查两直线相交或平行问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
3．（2021·江苏·八年级专题练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接AO，得出以下结论：
①点A和点B关于直线对称；
②当时，；
③；
④当时，，都随x的增大而增大．
其中正确的是

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【分析】①先求出点A、B的坐标，再利用直线与直线的关系及点到直线的距离公式即可验证；②由①中A、B的坐标和函数图象可知；③由三角形面积公式即可验证；④观察直角坐标系和函数图象可知．
【详解】①将两个函数解析式联立，解得：，
∴A(1,2)，B(−2,−1)，
∵AB所在直线的系数为1，直线的系数为﹣1，
∴1×（﹣1）＝﹣1即直线与直线垂直，
又点A到直线的距离为：
点B到直线的距离为：，
即点A、B到直线的距离相等，
∴A、B关于直线对称，故本项正确；
②由①中A、B的坐标和函数图象可知，当−21时，一次函数的图象在反比例函数的上面，则y1>y2，故本项正确；
③∵S△AOC==1，S△BOD==1，
∴S△BOD=S△AOC，故本项正确；
④当x>0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本项错误；
综上，正确的是①②③．
故选：A
【点睛】本题是一道考查一次函数与反比例函数图象及其性质的综合题，涉及到直线与直线的关系、点到直线的距离公式、函数的单调性、三角形面积公式等知识，解题的关键是结合函数的性质与函数图象，熟练掌握所学知识．
4．（2020·山东·寿光市实验中学八年级期中）如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，接着写出直线AC与直线l的函数解析式，联立得到关于P点坐标x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到P点坐标．　
【详解】解：如图，由题意可建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，

由图可写出l的函数解析式为y=-1，
设直线AC的函数为y=kx+b，则把A、C坐标代入可得：，
解之可得：k=-1，b=1，
∴直线AC的函数为y=-x+1，
∴有，解之得：x=2，y=-1，
∴P点坐标为（2，-1），
故选B ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练求解一次函数的解析式并结合二元一次方程组求直线的交点是解题关键．
5．（2020·河北景县·八年级期末）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点，…和点，…分别在直线和轴上．则点的纵坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质确定点A1，A 2，A3，A4，A5进而确定C1，C 2，C3，C4，C5的坐标并总结出点Cn的纵坐标的规律为2n-1（n为正整数），将n=2030代入即可解答．
【详解】解：由题意可知，A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8， A1和C1，A2和C2，A3和C3，A4和C4的纵坐标相同，
∴C1，C2，C3，C4，,C5,…Cn的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n-1
∴的纵坐标为22020-1=22019．
故答案为B．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及找规律，找出Cn点纵坐标的规律为2n-1（n为正整数）是解答本题的关键．
6．（2019·浙江绍兴·八年级期中）我们把三个数的中位数记作Z{a，b，c}．例如Z{1，3，2}=2．函数y=|2x+b|的图象为C1，函数y=Z{x+1，-x+1，3}的图象为C2．图象C1在图象C2的下方点的横坐标x满足-3 A．03或b<0 C．0≤b≤3 D．1 【答案】C
【分析】画出函数图象，利用图象法，取特殊点求出b的值即可解决问题．
【详解】解：如图，图象、如图所示．

对于函数，当时，，当函数经过时，，
对于函数，当时，，当函数经过时，，
观察图象可知，当图象在图象的下方点的横坐标满足，则的取值范围为，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象、中位线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，解题时学会取特殊点解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2020·河北临漳·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在线段OB上，把△ABC沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（0，﹣） B．（0，） C．（0，3） D．（0，4）
【答案】B
【分析】设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝4，则DB＝5﹣4＝1，BC＝3﹣n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
【详解】解：设C（0，n），过C作CD⊥AB于D，如图，

对于直线y＝﹣x+3，
当x＝0，得y＝3；
当y＝0，x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD＝CO＝n，则BC＝3﹣n，
∴DA＝OA＝4，
∴DB＝5﹣4＝1，
在Rt△BCD中，DC2+BD2＝BC2，
∴n2+12＝（3﹣n）2，解得n＝，
∴点C的坐标为（0，）．
故选：B．
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
8．（2020·广东金平·八年级期末）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；······，按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据所给一次函数判断出直线与轴夹角是30°，在含有30°角的直角三角形中依次得到线段长度，表示出A、A1、A2…及B、B1、B2…的坐标，找到规律后求出A2020的坐标，再根据A2020的坐标与B2020的纵坐标相同即可得出结论．
【详解】解：∵直线l的解析式为：，
∴直线l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1（0，4），B1（，4），
同理可得B2（，16），
…
∴A2020纵坐标为：，
∴A2020（0，），
∴B2020（，），
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题应用，从可求得的坐标中寻找规律，得出结论，解决本题的关键是判断出直线与轴的夹角．
9．（2021·全国·八年级课时练习）如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（ ）．

A． B．C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时对应的的面积，判断函数图像，选出正确答案即可．
【详解】由点M是CD中点可得：CM=，
（1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，

y==x；
（2）如图：当点P位于线段BC上时，即1
BP=x－1，CP=2－x，
y===；
（3）如图：当点P位于线段MC上时，即2
MP=，
y===．
综上所述：
．
根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将分别表示为一次函数的形式是解题关键．
10．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）甲乙两人在同一条笔直的公路上步行从A地去往B地，已知甲、乙两人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲乙两人的距离（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图像如图所示，下列说法：
①乙的速度为千米/时；
②乙到终点时甲、乙相距千米；
③当乙追上甲时，两人距地千米；
④两地距离为千米．
其中错误的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①由函数图象数据可以求出甲的速度，再由追击问题的数量关系建立方程就可以求出乙的速度；
②由函数图象的数据由乙到达终点时走的路程-甲走的路程就可以求出结论；
③乙或甲行驶的路程就是乙追上甲时，两人距A地的距离；
④求出乙到达终点的路程就是A，B两地距离．
【详解】解：①由题意，得
甲的速度为：12÷4=3千米/时；
设乙的速度为a千米/时，由题意，得
（7-4）a=3×7，
解得：a=7．
即乙的速度为7千米/时，
故①正确；
②乙到终点时甲、乙相距的距离为：
（9-4）×7-9×3=8千米，
故②正确；
③当乙追上甲时，两人距A地距离为：
7×3=21千米．
故③正确；
④A，B两地距离为：
7×（9-4）=35千米，
故④错误．
综上所述：错误的只有④．
故选：A．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，行程问题的追击题型的等量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时分析清楚函数图象的数据之间的关系是关键．
二、填空题
11．（2020·江西高安·八年级期末）在平面直角坐标系中，，，，直线与分别交于点，若为四边形边上一点（不与点重合），且，则点的坐标为__________．
【答案】(-3，8)或(-4，7)或(-4，1)
【分析】如图，画出符合题意的图形，先求解函数与坐标轴的交点坐标，由的坐标证明轴，轴，再求解的长，以为圆心，为半径画弧，确定的位置，再利用直角三角形与等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，画出符合题意的图形，
由，令 则

令 则






轴，



过作于


轴，
轴，





综上：符合条件的点有：
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
12．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，，，…，都在直线上，点，，…都在直线上，在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；再以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；…如此做下去，则的面积用含有的代数式表示为__________．

【答案】
【分析】根据点A，，，…，都在直线上先求出，再根据点，，…都在直线上，求出，由在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，得到的横坐标为2，同理依次类推，得出 ，，，最后算出面积即可．
【详解】解：当x=0时，，，
∴，
∵，
∴的横坐标为2，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∴，，，
∴ ，，，
∴=，
S△AnBnCn=12AnBnAnCn
=
=,
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出规律．关键在于点在直线上，计算点的坐标和找出规律．
13．（2021·湖南·衡阳市船山实验中学八年级月考）如图①，四边形中，，，从点出发，以每秒2个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，的面积为，关于的函数图象如图②所示，当运动到中点时，的面积为__________．

【答案】20
【分析】如图（见解析），先根据函数图象、三角形的面积得出，，，，再根据梯形的中位线得出PQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得．
【详解】由图象可知，，

由题意知，当点P运动到点C时，的面积S取得最大值，最大值为32
此时，即
解得
由图象可知，当点P运动到点B时，的面积
此时，即
解得
如图，过点P作于点Q


又

当点运动到中点时，PQ为梯形ABCD的中位线

则此时的面积为
故答案为：20．

【点睛】本题考查了函数图象、梯形的中位线等知识点，从函数图象正确获取信息是解题关键．
14．（2020·河南上蔡·八年级期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，点在轴上且不同于点，点在是平面直角坐标系中的第一象限内任意一点．如果以，，，为顶点的四边形是菱形，那么满足条件的点的坐标是_________．

【答案】或
【分析】由直线解析式求出A、B两点的坐标，求出AB的长度，在平面直角坐标系中，以点A为圆心，AB长为半径作圆，与轴的两个交点即为点M的可能位置；再以点B为圆心，AB长为半径作圆，与轴的两个交点也为点M的可能位置；最后一种情况为AB为对角线时，点M在OA之间，即为点M的坐标．
【详解】令,则；令，则
点B坐标为（0，3），点A坐标为（4，0）

以点A为圆心，AB长为半径作圆，如下图
此时点坐标为，即不符合点N在第一象限
点坐标为，即

以点B为圆心，AB长为半径作圆，如下图，此时不符合题意

当AB为菱形对角线时，此时点M在OA之间，设点M坐标为（m,0）
,
菱形的四条边相等

即
解得：
此时点M的坐标为；

综上所述，点M的坐标为：或
故答案为：或
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，结合图形找到M点的位置是解题的关键，注意不要漏掉．
15．（2020·重庆一中八年级期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是________．

【答案】
【分析】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题．
【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．

与x轴交于点C，与y轴变于点A，
令x=0，y=，令y=0,得x=
∴A（0，），C（，0），
∴OA＝，OC＝，
∴AC==2OA，
∴∠ACO＝30°，
∵EH⊥OC，
∴EH＝EC，
∵BB′＝DE，BB′∥DE，
∴四边形DBB′E是平行四边形，
∴BD＝B′E，
∵BM∥AC，
∴∠BMC＝∠ACO＝30°，
∵∠BCM＝90°，BC＝，
∴BM＝2BC＝3，
∴B′M＝1＋3，
∵∠MFB′＝90°，
∴B′F＝MB′＝，
∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，
∴BD＋EC≥，
∴BD＋EC的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．（2020·浙江杭州·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段、上（点P不与点A、C重合），满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是_____．

【答案】（1，0），（−，0）
【分析】分三种情况考虑：当PQ＝PB时，可得△APQ≌△CBP，确定出此时P的坐标；当BQ＝BP时，利用外角性质判断不可能；当BQ＝PQ时，设OP=x，则AP＝4＋x，BP＝，进而求出此时P的坐标即可．
【详解】解：对于直线，
令x＝0，得到y＝3；令y＝0，得到x＝−4，
∴A（−4，0），B（0，3），即OB＝3，
∵A与C关于y轴对称，
∴C（4，0），即OC＝4，
则根据勾股定理得：BC＝BA=；
∵C点与A点关于y轴对称，
∴∠BAO=∠BCO，
∵，
∴∠BPQ=∠BCO，
又∵∠BCO+∠CBP=∠BPQ+∠APQ，
∴∠CBP=∠APQ，
（i）当PQ＝PB时，则△APQ≌△CBP，
∴AP=CB=5，
∴OP=1，
∴此时点P（1，0）；
（ii）当BQ＝BP时，∠BQP＝∠BPQ，
∵∠BQP是△APQ的外角，
∴∠BQP＞∠BAP，
又∵∠BPQ＝∠BAO，
∴这种情况不可能；
（iii）当BQ＝PQ时，∠QBP＝∠QPB，
又∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠QBP＝∠BAO，
∴AP＝BP，
设OP=x，则AP＝4＋x，BP＝，
∴4＋x＝，
解得：x＝−．
此时点P的坐标为：（−，0）．
综上，P的坐标为（1，0），（−，0）．
故答案是：（1，0），（−，0）．
【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．
17．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边分别在x轴，y轴的正半轴上．把正方形的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为整点．直线：，直线：经过直线上动点P．

（1）当时，请写出直线上的整点__________．
（2）在点P的移动过程中，与正方形围成的图形中有一个图形（包括边界）恰好有9个整点时，b的取值范围是_________．
【答案】（0，1），（2，2），（4，3）； ≤b≤或2＜b≤2.5或3.5≤b＜4
【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解；
（2）根据题意画出图形，分4种情况分别求解，即可．
【详解】（1）∵点在直线上，
∴，解得：b=1，
∴直线：，
∴直线上的整点有：（0，1），（2，2），（4，3），
故答案为：（0，1），（2，2），（4，3）；
（2）设直线与y轴交于点F，与AB交于点E，
①当四边形DBEP上恰好有9个整点时，直线需要满足2＜≤3，
解得：＜b≤；
②∵移动直线，观察当b=2.5时，四边形CDPF上恰好有9个整点，当b=2时，四边形CDPF上恰好有11个整点，
∴当四边形CDPF上恰好有9个整点时，2＜b≤2.5；
③ 当直线继续向上平移，在直线，与AB，BC围成的图形上恰好有9个整点时，3.5≤b＜4；
④当直线在b=0时，在直线上有3个整点，此时在直线，与OA，AB围成的图形上恰好有12个整点，当直线在b=时，此时在直线，与OA，AB围成的图形上恰好有9个整点，
∴在直线，与OA，AB围成的图形上恰好有9个整点时，≤b＜0．
综上所述，b的范围是≤b≤或2＜b≤2.5或3.5≤b＜4，
故答案为：≤b≤或2＜b≤2.5或3.5≤b＜4．

【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，根据题意，画出图形，掌握分类讨论的方法是解题的关键．
18．（2020·浙江浙江·八年级期末）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是_______．

【答案】
【分析】根据自变量与函数值得对应关系，可得A，C点坐标，根据勾股定理，可得AC的长度；根据全等三角形的判定与性质，可得CD，BD的长，可得B点坐标；首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．
【详解】解：当x=0时，y=2x+2=2，
∴A（0，2）；
当y=2x+2=0时，x=-1，
∴C（-1，0）．
∴OA=2，OC=1，
∴AC==，
如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，
∴∠CAO=∠BCD．
在△AOC和△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴CD=AO=2，DB=OC=1，
OD=OC+CD=3，
∴点B的坐标为（-3，1）．
如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=，
∴OE=CE=AC=，
∵BC⊥AC，BC=，
∴BE==，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=，
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为，
故答案为：．

【点睛】此题考查了一次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求AC长度的关键，又利用了勾股定理；求点B的坐标的关键是利用全等三角形的判定与性质得出CD，BD的长；求点B与原点O的最大距离的关键是直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
19．（2021·山东庆云·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推，按照图中反应的规律，第个正方形的边长是_______．

【答案】
【分析】通过计算可得第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为6，……，通过探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】解：由题意，，，
∴A1B1=2，
第一个正方形的边长为2，
，
，，
，
第二个正方形的边长为6，
，
，，即：， ，
，
第三个正方形的边长为18，
，，即：， ，

，
可得，，，，
第2020个正方形的边长为．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数图像上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
20．（2021·重庆巴蜀中学八年级期末）习近平总书记提出：“绿水青山就是金山银山！”全国上下各行各业都把环境保护放在了首位．重庆某汽车厂在新能源汽车的研究上下足功夫，取得了瞩目的成绩！现该汽车厂对一款新车在三条不同的线路上进行测试，每条测试线路都分为高速和非高速两种路段，测试车在出厂时设定了固定不变的高速路段和非高速路段的速度（途中车辆从一种路段变为另一种路段时的加、减速以及车辆出发、停车时的速度变化都忽略不计），其中高速路段车速不低于，非高速路段车速不高于，测试时，测试车都直接从出发地驶向目的地，途中不掉头、不停留．测试记录表上显示，三次测试的时间分别是10小时、16小时、26小时（每条测试线路高速路段和非高速路段各自用去的时间都是整数），并且三条测试线路的路程都是，那么该测试车设定的高速路段速度是______．
【答案】63或72或81．
【分析】根据题意，找出题目的等量关系，列出方程组，然后解方程组，结合高速路段车速不低于，非高速路段车速不高于，以及时间都是整数，进行讨论分析，即可得到答案．
【详解】解：设测试车在高速路段上的速度为，则；在低速路段上的速度为，；
测试车三次行驶在高速路段上的时间为：，，；则三次行驶在低速路路段上的时间为：，，，（，，均为整数）；则
，
整理得：，
由①②，得：，
由②③，得：，
∵，，均为整数，
∴与成正比例函数，
设
∵，，，，均为整数，
∴，（k只能取正整数）
把代入②，得：，
∴，
∵，
∴，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时或28；
当时，，此时或36；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，无解；
当时，，不符合题意；
∵，
∴满足题意的有：
①，，此时；
②，，此时；
③，，此时；
∴那么该测试车设定的高速路段速度是：63千米/小时或72千米/小时或81千米/小时；
故答案为：63或72或81．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数的应用——行程问题，解方程组的拓展问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程组进行解题，注意运用分类讨论的思想，以及整体思想进行分析．
三、解答题
21．（2021·广东三水·八年级期末）如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0）．
①求△CGF的面积；
②点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中的点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＜0），点E在x轴上运动，当m取何值时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值．

【答案】（1）点C的坐标为（-3，7），直线AB的解析式为y=x+10；（2）①；②存在，最大值为；（3）当m取-13或-10或-3时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等．
【分析】（1）先求得点C的坐标（-3，7），再将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，即可得到直线AB的解析式；
（2）①先求得点G、F的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
②由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，据此求解即可；
（3）需要分情况进行讨论，画出图形，依据全等三角形的对应顶点的位置，即可得到m的值．
【详解】解：（1）将点C（a，7）代入y=x，可得a=-3，
∴点C的坐标为（-3，7），
将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得
，解得，
∴直线AB的解析式为y=x+10；
（2）①∵点E的坐标是（﹣15，0）．
∴当时，y=和y=-15+10=-5，
∴点F的坐标为（-15，35），点G的坐标为（-15，-5），
∴；
②存在，理由如下：
由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM﹣PC的值最大，
令，则y=10，
∴点B的坐标为（0，10），
∵点M为y轴上OB的中点，
∴点M的坐标为（0，5），
设直线MC的解析式为y=ax+5，
将C（-3，7）代入得：7=-3a+5，
解得，，
∴直线MC的解析式为y=x+5，
当时，y=，
∴点P的坐标为（-15，15），
∴PM﹣PC=CM=；
（3）∵B（0，10），A（-10，0），
∴OA=OB=10，则∠CAO=∠ABO=45°，
分三种情况讨论：
①当△OAC≌△QCA，如图：

∴∠CAO=∠QCA=45°，
∴QC⊥OA，即CQ∥轴，
∴CQ经过点E，
∴m=-3；
②当△ACO≌△ACQ，

∴∠CAO=∠CAQ=45°，
∴QA⊥OA，即QA经过点E，
∴即点E、点A重合，
∴m=-10；
③当△ACO≌△CAQ，

∴∠CAO=∠ACQ=45°，AO=CQ，
∴CQ∥轴，
∴四边形AOCQ是平行四边形，CQ=AO=10，AE=3，
∴m=-13；
综上，当m取-13或-10或-3时，直线l上存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．
22．（2021·湖北蔡甸·八年级期末）如图1，直线与轴、轴分别交于、两点，点为轴负半轴上一点，且．

（1）求直线的解析式；
（2）如图2，直线交直线于点，交直线于点，当时，求的值；
（3）如图3，点为直线上一点，若，请直接写出点的坐标：______．
【答案】（1）y=x-4；（2）-2；（3）（，）
【分析】（1）由，解得，进而求解；
（2）由，得到，则，进而求解；
（3）证明，求出点的坐标为，进而求解．
【详解】解：（1）对于，令，解得，令，则，
故点、的坐标分别为、，
则，
则，解得，
故点，
则设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，解得，
故直线的表达式为；
（2）由（1）知，，
，即，
即，即，则，
设点的坐标为，则点的坐标为，
将点的坐标代入得：，
解得，
故点的坐标为，，
将点的坐标代入得：，
解得；
（3）过点作于点，过点作轴，交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，

，则为等腰直角三角形，则，，
，，
，
，，
，
，，
故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
联立和并解得，
故点的坐标为，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），证明是本题解题的关键．
23．（2021·重庆南开中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与x轴，y轴分别交于点A，D，直线l2与直线平行，交x轴于点B（7，0），交l1于点C．
（1）直线l2的解析式为 　 　，点C的坐标为 　 　；
（2）若点P是线段BC上一动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且MN＝2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，将OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，点E是y轴上的一个动点，点F是直线l1上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）、、
【分析】（1）根据直线的关系，设直线l2的解析式为，代入点的坐标即可求得，联立直线l1与直线l2，即可求得点的坐标；
（2）求出点P坐标，将四边形DMNP周长转化为线段的长度，构造等量线段，进行求解即可；
（3）分别以为边或对角线进行讨论，根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】解：（1）直线l2与直线平行，设直线l2解析式为，
将B（7，0）代入得：，
解析式为
联立直线l1与直线l2得：
，解得
点C的坐标为
（2）设点P，
由得：
解得：，
则点P
由题意可知，
作点D关于x轴的对称点E，再将E向右平移两个单位，得到点F，连接ME，EF，NF，如下图：

则，，，
由题意可知：
∴四边形为平行四边形
∴
四边形DMNP周长为
∵定长
∴四边形DMNP周长最小，即最小，也就是最小
得到：P、N、F三点共线时最小，设：所在直线的解析式为
将、代入得
，解得
，令，解得，即
∴
（3），OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，过点作于点，如下图：

则，
∴
∴，
G点坐标为，则，
∴
以为边时，则，如下图：

又∵，F是直线l1上的一个动点
∴点E为直线l1上，即点E与点D重合，
点M到点G是向上平移个单位，再向右平移一个单位，则将点E向上平移个单位，再向右平移一个单位，即得点F，坐标为
以为边时，如下图：

由上述可得，点E为直线l1上，即点E与点D重合，
点G到点M是向下平移个单位，再向左平移一个单位，则将点E向下平移个单位，再向左平移一个单位，即得点F，坐标为
以为对角线时，则的中点，设，
由平行四边形的性质可得：点E、F关于点N对称，
则，解得
点F的坐标为

综上所述、点F的坐标为、、
【点睛】此题主要考查了一次函数与几何的综合应用，熟练掌握一次函数、平行四边形等有关性质是解题的关键．
24．（2021·北京·八年级期中）阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M，将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题．
参考小明同学的想法，解答问题：
（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为　 　；
（2）请你在图3中，解决原问题：
（3）如图4，在四边形AOCD中，A（0，1），C（4，0），D（4，3），点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）作图见解析，
【分析】（1）证明从而，重叠部分（即阴影部分）的面积为，且，即可得到答案；
（2）连接、交于，作直线交、于、，过作，交、于、，直线、即为满足条件的直线；
（3）连接并延长交延长线于，在上取，使，连接，则直线即为所求直线，求出、坐标，即可得解析式．
【详解】解：（1）如图：

四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
重叠部分（即阴影部分）的面积为，
而正方形的边长为，
，
重叠部分（即阴影部分）的面积为，
故答案为：；
（2）连接、交于，作直线交、于、，过作，交、于、，如图：

由（1）知，
同理可得，
，
直线、即为满足条件的直线；
（3）连接并延长交延长线于，在上取，使，连接，则直线即为所求直线，如图：

过作于，于，
，，，点是的中点，
，，①，
②，
设直线解析式为，将代入得：
，解得，
直线解析式为，
令得，
，
，
③，
由①②③可得：，
，
，
点是的中点，
，
，，于，于，
，
又，
，
，
，
所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，
，，
，
设直线解析式为，将，代入得：
，解得，
解析式为．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定、性质，一次函数解析式等知识，解题的关键是掌握正方形的中心对称性．
25．（2021·辽宁本溪·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的面积；
（2）点是直线上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为点，，若，请求出点的坐标；
（3）点在直线上，坐标轴上存在动点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．

【答案】（1）6；（2）或；（3）点的坐标为或或
【分析】（1）利用一次函数的解析式分别求解的坐标，再利用三角形的面积公式即可得到答案；
（2）设，再分别表示，，利用列方程解方程可得答案；
（3）分三种情况讨论，当在轴上时，设 当在轴上时，设 当在轴上时，设 再分别利用勾股定理列方程解方程即可得到答案.
【详解】（1）解：∵
∴当时，，即，
当时，，即，
∴
（2）设
由题意得，，，


∴或
∴或
∴或．
（3）如图，当在轴上时，设

则 而

解得：

如图，当在轴上时，设

同理可得：
解得：

当在轴上时，设
同理可得：

解得：

综上：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查的一次函数的图象与性质，坐标与图形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.
26．（2021·福建南安·八年级期末）如图1，直线分别交轴、轴于，两点．
（1）直接写出、两点的坐标；
（2）如图2，已知直线，无论k取何值，它都经过第一象限内的一个定点，分别连结、，其中交轴于点．
① 求的面积；
② 连接，在直线上是否存在着点，使得？若存在，请直接写出点的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-3，0），B（0，6）；（2）①；②（，）或（，），理由见解析
【分析】（1）根据直线的解析式求解；
（2）①根据直线解析式求得点的坐标；然后利用待定系数法确定直线的解析式．从而求得点坐标为；最后依据三角形的面积公式求解；
②首先利用分割法求得的面积；然后根据推知点到直线的距离是点到直线距离的，所以点位于与直线平行的直线上．
【详解】解：（1）如图1，

令，则．
解得，即，
令，则，即．
（2）①，
当时，，
即直线过定点
如图，设直线为，
把，代入，得，
解得，
直线为：．
的坐标为．
．
②点坐标为或．
理由如下：如图2，过点作轴于点，

，
由①知．
设直线为，
把代入得：，解得，
直线为．
ⅰ如图3，过点作，交直线于点，

．
又直线，且的坐标为，
直线为．
由解得点的坐标为．
ⅱ在轴上，点关于点的对称点为，
如图3，过点作，交于点，
，
由解得点的坐标为．
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建一次函数，确定直线与坐标轴的交点坐标，考查了学生计算能力，难度稍大．
27．（2021·福建安溪·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b分别与x轴、y轴相交于点A、B．现将直线l绕原点O顺时针旋转90°，得到的直线称为直线l的“顺旋转垂线”．
（1）若点A、B的坐标分别为A(2，0)、B(0，2)，则直线l的“顺旋转垂线”的关系式为　．
（2）若直线l＝k1x+b1（k1＜0，b1≠0）的“顺旋转垂线”为：y＝k2x+b2.求证：k1•k2＝﹣1．
（3）已知直线l的“顺旋转垂线”为l'：yx+2，点C是直线l与x轴、y轴交点A、B的中点，动点M的坐标为(0，m)．问当m为何值时，MA+MC取得最小值，并求出该最小值．

【答案】（1）y=x-2；（2）见解析；（3）m=，最小值为5
【分析】（1）将点和点绕原点顺时针旋转，得到，点坐标，用待定系数法求解析式即可；
（2）设直线，分别与轴、轴相交于点、，则“顺旋转垂线” 分别与轴、轴相交于点、，则得，，即可得出结论；
（3）先求出点和点的坐标，求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，求出该值即可．
【详解】解：（1）由题知，点旋转后的坐标为，点旋转后的坐标为，
即直线的“顺旋转垂线” 过点和点，
设直线的“顺旋转垂线” 的解析式为，
，
解得，
即直线的“顺旋转垂线” 的解析式为，
故答案为：；
（2）设直线，分别与轴、轴相交于点、，
则“顺旋转垂线” 分别与轴、轴相交于点、，
将、点代入直线的解析式，得
，
解得，
将、点代入直线的解析式，得
，
解得，
；
（3）由题知直线的“顺旋转垂线” 与轴，轴的交点分别为，，
，，
，
作点关于轴的对称点，即，
连接交轴于，
此时的值最小，即为，
，
即的值最小为5，
设直线的解析式为，
代入点，点的坐标，得
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
即时，的值最小为5．

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式，正确理解“顺旋转垂线”是解题的关键．
28．（2021·四川·成都市树德实验中学八年级期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣3与x轴交于点B，与l1相交于点C．
（1）请直接写出点A、点B、点C的坐标：A　　，B　　，C　　．
（2）如图2，动直线x＝t分别与直线l1，l2交于P，Q两点．
①若PQ＝2，求t的值．
②若存在S△AQC＝2S△ABC，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t＝1或3；②存在，（0，﹣3）或（4，9）．
【分析】（1）对于直线，令解得x＝1，故点B（1，0），对于l1：y＝x+1，同理可得：点A（﹣1，0），然后联立即可求出C点坐标；
（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t﹣3），则PQ＝|t+1﹣3t+3|＝2，由此求解即可；
②当点Q在x轴下方时，在y轴负半轴取点M使NM＝2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，由此求解即可；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），由此求解即可.
【详解】解：（1）对于直线l2：y＝3x﹣3，
令y＝3x﹣3＝0，解得x＝1，故点B（1，0），
对于l1：y＝x+1，同理可得：点A（﹣1，0），
则，解得，
故点C的坐标为（2，3），
故答案为：（﹣1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l1上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t﹣3），
则PQ＝|t+1﹣3t+3|＝2，
解得t＝1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，设直线l1交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，在y轴负半轴取点M使NM＝2NK，过点M作直线m∥AC交l2于点Q，则点Q为所求点，
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，则S△MAC＝S△QAC，同理S△NAC＝S△BAC，
而MN＝2KN，则m、l1之间的距离等于2倍n、l1之间的距离，故S△AQC＝2S△ABC，
由直线l1的表达式知点K（0，1），
设直线n的表达式为y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得b＝﹣1，故点N（0，﹣1），
则NK＝1﹣（﹣1）＝2，则MN＝NK＝2，
故点M（0，﹣3），
在直线m的表达式为y＝x﹣3，
联立并解得，故点Q（0，﹣3）；
当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y＝x+5，
联立并解得，故点Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，﹣3）或（4，9）．

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，平行线的性质，绝对值的应用，面积的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
29．（2021·湖北黄梅·八年级期末）已知：如图，直线：分别交，轴于、两点．以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，；直线经过点与点，且与直线在轴下方相交于点．

（1）请求出直线的函数关系式；
（2）求出的面积；
（3）在直线上不同于点，是否存在一点，使得与面积相等，如若存在，请求出点的坐标；如若不存在，请说明理由；
（4）在坐标轴上是否存在点，使的面积与四边形的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点坐标为；（4）存在，坐标为或或．
【分析】（1）先求得A、B两点坐标，然后过点C作CM⊥x轴于点M，利用AAS可证明△BOA≌△AMC，确定点C的坐标，再用待定系数法求函数解析式；
（2）联立方程组求得点E的坐标，利用三角形面积公式即可求得面积；
（3）结合两个三角形的面积相等的特点，当两个三角形等高时面积相等，从而求得结果；
（4）易求得四边形ABCD的面积，分点F在x轴或y轴上两种情况，在x轴上又分三种情况，设点F的坐标，结合三角形和四边形面积相等列方程求解．
【详解】（1）∵直线分别交轴，轴于，两点，

令，则，
∴．
令，则，
∴．
过点作轴于点M，
则∠AOB=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAM=90°，
∴∠BAO=∠ACM
∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°
∴AB=AC
在△BOA与△AMC中
，
∴，
∴，，
∴OM=OA+AM=3+4=7，
∴，
又∵，
设直线的解析式为，则有
解得：
∴直线的解析式为：．
（2）联立方程组，
解得：，
∴．
∴．
（3）存在．
∵与面积相等，且底AD相等，
∴底边AD上的高相等，
∴P点的纵坐标为，
∴在中，令，则，
∴，
∴点坐标为．
（4）存在．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
，
，
=14．
①当点F在y轴上时，设F点坐标为(0，y) ，如图，
∵的面积与四边形的面积相等，
∴，
解得：y=8或y=0，
∴坐标为或；

②当点F在x轴上时，设F点坐标为(m，0) ，
若F点在O点左侧，则m<0，如图，
则 ，
∴ ，
解得：m=0(不合题意，舍去)

若点F在线段OM上（包括两个端点），即0≤m≤7，如图，
则，
∴ ，
解得：m=0
∴点坐标为；

若点F位于点M的右侧，则m>7，如图，
则，
∴，
解得：m=6（不合题意），
此时点F不存在；

或，
∴ ，
解得：m=56
∴点坐标为；
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
【点睛】本题是一次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，理解一次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键．
30．（2021·重庆实验外国语学校八年级开学考试）已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．
（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．
（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x﹣3，点A的坐标为（﹣3，0）；（2），P点坐标为（，）；（3）存在，点M的坐标为（﹣8，8）或（，﹣）．
【分析】（1）利用点C是两条直线的交点，求出C点坐标，代入直线l1，可求出直线l1的解析式，进而求出点A的坐标；
（2）利用平移求出l3的解析式，构造点B关于l3的对称点Q，利用两点之间线段最短找到点P的坐标，利用两点间距离公式，求出△ABP的周长；
（3）构造全等三角形，利用全等边相等，列出关系式，进而求出M的坐标．
【详解】解：（1）将x=1代入直线y=x-，得y=×1-=-4，
故点C的坐标为（1，-4），
将C的坐标（1，-4）代入直线y=-x+b得，
-4=-1+b，
解得b=-3，
∴直线l1：y=-x-3，
令y=0，则-x-3=0，解得x=-3，
故点A的坐标为（-3，0）；
（2）直线l3为l1向上平移9个单位所得，故直线l3的解析式为：y=-x+6，
令x=0，得y=6，令y=0，得x=6，
故点E，点F的坐标分别为（6，0），（0，6），
直线l2：y=x-与x轴交于点B，
令y=0，得x=4，故B点的坐标为（4，0），
取点B关于l3的对称点Q，设点Q的坐标为（a，b），
则线段BQ的中点坐标为（，）在直线l3，
∴①
且即②
联立①②得
，
解得：，
∴Q（6，2），
直线AQ的解析式：，
当△ABP的周长最小时，即AP+BP最小，
连接AQ，交直线l3于点P，

此时AP+BP最小，
最小值为，
∵AB=7，
此时△ABP的周长为7+，
由解得，
∴P点坐标为，
（3）设l4的解析式：y=mx+n，
将C（1，-4），G（-2，0），代入y=mx+n得，
，解得，
∴l4的解析式为：，
1°：当点M在直线l4的上方时，
设点N（n，-4），点M（s，），
过点N，B分别作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，三条直线分别交于R，S两点，如图

则R，S的坐标分别为，
∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=，
∵∠NMB=90°，
∴∠NMR+∠SMB=90°，
∵∠BMS+∠MBS=90°，
∴∠NMR=∠MBS，
∵∠S=∠R=90°，MB=MN，
∴△MNR≌△BMS（AAS），
∴RM=SB，RN=SM，
即s-n=，，
解得s=-8，n=-16，
∴点M的坐标为（-8，8），
2°：当点M在直线l4的下方时，
设点N（n，-4），点M（s，），
过点N，B分别作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，三条直线分别交于R，S两点，如图

则R，S的坐标分别为（n，），（4，），
∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=，
∵∠NMB=90°，
∴∠NMR+∠SMB=90°，
∵∠BMS+∠MBS=90°，
∴∠NMR=∠MBS，
∵∠S=∠R=90°，MB=MN，
∴△MNR≌△BMS（AAS），
∴RM=SB，RN=SM，
即s-n=，，
解得s=，n=，
∴点M的坐标为（，），
综上点M的坐标为（-8，8）或（，）．
【点睛】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的，求点的坐标；利用对称点，求周长最小值；两点之间距离公式等，需要有解决一次函数的综合能力．
31．（2021·北京市师达中学八年级月考）在平面在角坐标系中，对于与坐标轴不平行的直线和点．给出如下定义：过点作轴，轴的垂线，分别交直线于点，特，若，则称点为直线的近距点，特别地，直线上所有的点都是直线的近距点．已知点，，

（1）当直线的表达式为时，
①在点，、中，直线的近距点______．
②若以为边的矩形有上所有的点都是直线的近距点．求点的纵坐标的取值范围；
（2）当直线的表达式为时，若点是直线的近距点，直接写出的取值范围．（提示：当或时，；当或时，）
【答案】（1）①A、B；②−2≤n≤−+2，且n≠0；（2）.
【分析】（1）①由题意根据P为直线l的近距点的定义即可判断；
②当PM+PN=4时，可知点P在直线l1：y=x+2，直线l2：y=x-2上．所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点．如图1，EF在OA上方，当点E在直线l1上时，n的值最大，为−+2． 如图2，EF在OA下方，当点F在直线l2上时，n的值最小，为-2． 当n=0时，EF与AO重合，矩形不存在．由此即可判断；
（2）如图3中，过点C作CE⊥x轴交直线y=kx于E或M，作CF⊥y轴交直线y=kx于F或N．根据CE+CF=4或CM+CN=4构建方程即可解决问题；
【详解】解：（1）①点，，，根据直线l的近距点定义可知,

,,,
A，B是直线y=x的近距点．
故答案为：A、B．
②当PM+PN=4时，可知点P在直线l1：y=x+2，直线l2：y=x-2上．
所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点．
如图1，EF在OA上方，当点E在直线l1上时，n的值最大，为−+2．

如图2，EF在OA下方，当点F在直线l2上时，n的值最小，为-2．

当n=0时，EF与AO重合，矩形不存在．
综上所述，n的取值范围是−2≤n≤−+2，且n≠0．
（2）如图3中，过点C作CE⊥x轴交直线y=kx于E或M，作CF⊥y轴交直线y=kx于F或N．

由题意可得，，
则有，
当时，，
解得或（舍去），
当时，
解得或（舍去），
观察图象可知，满足条件的k的值为：.
【点睛】本题考查一次函数综合题、P为直线l的近距点的定义等知识，解题的关键是理解题意并正确画出图形，利用特殊位置解决问题．
32．（2021·福建·大同中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点B（0，b）在y轴的正半轴上，点C在直线y＝x（x＞0）上．
（1）若点C（a，3a-4），求点C的坐标；
（2）连接BC，若点B，∠BCO＝75°，求BC的长；
（3）过点A（m，n）（0＜m＜n＜b）作AM⊥x 轴于点M，且交直线y＝x（x＞0）于点D．若BA⊥CA，BA＝CA，AD＝，当1≤CD≤2时，求n的取值范围．
【答案】（1）点的坐标是；（2）；（3）．
【分析】（1）把点C的坐标代入直线y=x，求得a的值；
（2）如图，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，构造直角△BEC，利用勾股定理求得BE的长度，然后由列出关于t的方程，通过解方程得到答案；
（3）点D的坐标为（m，m），AM=n．推知Rt△OMD是等腰直角三角形，故DM=AM-AD，即m=n- ①如图2，当点C在点D左侧时，过点B，点C分别作BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分别为点E，点F，构造全等三角形：△ABE≌△CAF．结合全等三角形的性质知DF=BE-AD=m-．在Rt△DCF中，利用勾股定理求得，根据题意列出不等式并解答；②如图3，当点C在点D右侧时，同理可求，DF=m+，CD=m+2，由1≤CD≤2，得到不等式并解答．
【详解】解：（1）把代入，得， 解得．
∴点的坐标是．
（2）点在直线上，不妨设点的坐标为．

如图，过点作轴，垂足为点，
∴在中，，，
∴．
又∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
∴．
又∵，且点，
∴，
解得．∴，
∴．
（3）∵，，且，
∴点在直线上方．
∵轴于点，且交直线于点，，
∴点的坐标为，．
∴在中，，，
∴，
∵，，
∴，即．
如图2，当点在点左侧时，
过点，点分别作，，垂足分别为点，点，

∴，，．
∵，
∴，．
∵中，，
∴．
又∵，
∴（AAS）．
∴．
∵，且，
∴．
在中，，
∴，
∴


．
∵，即，
∴．
如图3，当点在点右侧时，
∴，，．
∵，
∴，．
∵中，，
∴．
又∵，
∴（AAS）．
∴．
∵，且，
∴．
∴


由，
∴
∴，不符合题意．
综上，．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、一元一次不等式以及待定系数法求一次函数的解析式．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
33．（2021·四川成都·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点（，）．

（1）若，，求直线的表达式；
（2）如图2，在（1）的条件下，直线：与直线交于点，点．直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线下方有一点，其横坐标为，连接，若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）存在，G（1，）或（−5，−）；（3）＜1．
【分析】（1）设直线l1的表达式为：y＝kx＋b，将A、B两点的坐标代入可得；
（2）联立l1，l2的关系式成二元一次方程组，求得C点的坐标，进而求出CD的表达式，求出与x轴的交点，计算出△ACD的面积，求得△CGD的面积，进而求得G点横坐标，代入l2即可；
（3）分m＋n＞0和m＋n＜0两种情形，适合条件的即可．
【详解】解：（1）由题意知：
A（−4，0），B（0，−2），
设直线l1的表达式为：y＝kx＋b，
，解得：，∴；
（2）如图1，

联立，解得：，∴C（−2，−1），
设直线CD的表达式是：y＝mx＋n，
∴，解得：，∴，
令y＝0，，解得：，∴E（，0），
∴AE＝4−＝，
∴S△ACD＝AE•DF＝××3＝4，
∵，
∴S△CDG＝3，
设G（x，x），
∴OD•|x＋2|＝3，
即×2•|x＋2|＝3，
∴x1＝1，x2＝−5，
∴G（1，）或（−5，−）；
（3）如图2，

①当m＋n＜0时，即，
在AO 的延长线上截取OC＝OA，
∵OB⊥AC，
∴AB＝BC，
∴∠BCO＝∠BAO，
∴∠APB＝∠BAO＋∠BCO＝2∠BAO，
∴P点在CB的延长线上，
故存在l1 下方有一点P，满足∠PBA＝2∠BAO，
如图3，

②在AO 的延长线上截取OC＝OA，
当m＋n＞0时，即：1，
由①知：∠ABE＝2∠BAO，
∴∠PBA＝∠ABE＋∠PBE，
∴∠PBA＞∠ABE，
∴∠PBA≠2∠BAO，
综上所述：＜1．
【点睛】本题考查了一次函数表达式和图象之间的关系，主要是由点的坐标求函数关系式，由表达式求点的坐标以及结合等腰三角形求满足条件的式子的范围，解决问题的关键是正确的分类．
34．（2021·辽宁甘井子·八年级期末）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）-5；（2）；（3），
【分析】（1）将代入解析式求解即可；
（2）根据一次函数的图像的性质，分类讨论①当时，②当时，③当时，根据一次函数的定义分别求得最大和最小值，再求其差为，从而求得m的值；
（3）设,，分类讨论①当经过点时，求得的最小值， ②当经过点时，③当与线段有交点时，④当经过点的时，⑤如图，当经过点时，分别判断图象G与的交点个数，得出符合题意的m的取值范围．
【详解】解：（1）当时，函数
∵点在图像G上
∴当时，．
（2）①当时，即时，对于函数，随着x的增大y也增大．
∴当时，函数有最小值．
当时，函数有最大值．
∴．
∴当时，不存在m值使最大值与最小值的差为．
②当时，即时，对于函数，随着x的增大，y反而减小．
∴当时，函数有最小值．
当时，函数有最大值．
∴，故当时，不存在m值使最大值与最小值的差为．
③当时，即时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，再减小，当时有最大值．
当时，，当时，．
ⅰ当时，．
ⅱ当时，．
∴时，当时，函数最大值与最小值的差为．
综上述：．
（3）设,
①如图，当经过点时，

图象G与有一个公共点，
将代入，得：

解得
②当经过点时，将点代入

解得
当时，当图象G与有两个公共点
如图，当时，即，也经过点

此时，当图象G与有两个公共点

③当与线段有交点时，
将点代入，得


此时与交于点
当继续增大时，图象G与有四个公共点，
分别与线段各有一个交点，与线段各有一个交点；
④如图，当经过点的时，将代入

解得：

此时分别与各有一个交点，此时图象G与有三个公共点
当继续增大时，图象G与有两个公共点
⑤如图，当经过点时，图象G与有一个公共点，此时可以求得的最大值

将代入，得：

解得：

综上所述，当图象G与有两个公共点时，或．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数图像与性质等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键．