专题02 尺规作图与最短路径-八年级数学秘籍之三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

专题02 尺规作图与最短路径

几何中，用（无刻度）的直尺和圆规作图为尺规作图.

一. 五种基本作图

1. 作一条线段等于已知线段

2. 作一个角等于已知角

3. 作已知角的平分线（理论依据：SSS）

4. 过一点（直线上或外）作已知直线的垂线

5. 作已知线段的垂直平分线

二. 尺规综合作图

1. 已知三边作三角形

2. 已知两边及夹角作三角形

3. 已知两角及夹边作三角形

三. 最短路径

1. 单动点（P为直线l上一动点，PA+PB最小）

2. 双动点（B、C为直线OM，ON上的动点，△ABC周长最小）

其中，∠O=90°－∠BAC. △ABC周长为A’A’’的长.

3. 造桥选址

【典例解析】

【例1-1】（2020·庆云县月考）某地有两条相交叉的公路， 计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）

【例1-2】（2019·舞钢市月考）小安的一张地图上有A，B，C3三个城市，地图上的C城市被墨污染了（如图），但知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺规作图帮他在下图中确定C城市的具体位置吗？（不作法，保留作图痕迹）

【变式1-1】（2020·丽水市莲都区教研室期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【变式1-2】（2019·河北南宫期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容：如图，已知，求作：，使．

作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；

（2）作射线，并以点为圆心，长为半径画弧交于点；

（3）以点为圆心，长为半径画弧交（2）步中所画弧于点；

（4）作，即为所求作的角．

A．表示点 B．表示

C．表示 D．表示射线

【变式1-3】（2020·山东青岛期中）如图，AB是某条河上的一座桥，现要在河的下游点C处再建一座与AB平行的桥CD，请用直尺和圆规画出CD的方向．

【变式1-4】（2020·广州月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（      ）

A．S．S．S B．S．A．S C．A．S．A D．A．A．S

【例2-1】（2020·曲阜月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（    ）

A．15 B．30 C．45 D．60

【例2-2】（2020·广东广州月考）如图，△ABC中，，AC=BC．

（1）用直尺和圆规作的平分线交BC于点D（保留作图痕迹）

（2）过点D画△ABD的边AB上的高DE，交线段AB于点E，若△BDE的周长是5cm，求AB的长．

【变式2-1】（2020·山东博山二模）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（　　）

A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°

【变式2-2】（2020·广东）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．

（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．

【变式2-3】（2020·山东省陵城区月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=________．

【变式2-4】（2020·长春月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算（    ）

A． B． C． D．

【例3】（2020·禹城市期末）如图，等边中，D为边中点，是的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（1）作的平分线；

（2）作，且交于点E；

（3）在（1），（2）的条件下，可判断与的数量关系是__________；请说明理由．

【变式3-1】（2020·福建学业考试）如图，为一钝角三角形，且

（1）分别以，为底向外作等腰和等腰 （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）已知为上一动点，通过尺规作图的方式找出一点，连接，，使得 并证明．

【变式3-2】（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，则下列说法中：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【例4-1】（2020·长沙月考）在△ABC中，∠A=50°，点O为△ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当△OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为______度．

【例4-2】（2020·重庆期末）如图，在中，，，，是的角平分线，点，点分别是，边上的动点，点在上，且，则的最小值为___________．

【变式4-1】（2020·江苏无锡二模）如图，一面镜子斜固定在地面上，且点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为___________．

【变式4-2】（2020·宜兴市月考）如图，P为内一定点，M，N分别是射线上的点，当周长最小时，，则_________．

【习题专练】

1. （2020·南京月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有_________________个．

2.（2020·江阴市月考）在正方形网格中，的位置如图所示，且顶点在格点上，在内部有、、、四个格点，到三个顶点距离相等的点是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点

3.（2020·洛阳市二模）如图，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则MAN的周长为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．13

4.（2020·河南一模）如图，在平行四边形中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，则的长为_______．

5．（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC中，AB＞AC．按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD的周长为       ．

6.（2020·商城县第二中学月考）如图，已知∠AOB

（1）尺规作图：作出∠AOB的角平分线OP，补充完整作图步骤，（保留作图痕迹）

①____________________________分别交OA、OB于F，E两点；

②____________________________，两条圆弧交于点P；

③____________________________即为所求．

（2）过点F作FD∥OB交OP于点D，FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD．

7．（2019·广东阳山期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．

8．（2020·陕西清涧期末）如图，直线与相交于点，是直线上一点，请用尺规求作一点，使直线，且点到，两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

9．（2020·北京月考）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：

已知：如图，直线l和直线l外一点A

求作：直线AP，使得AP∥l

作法：如图

①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．

②连接AC，AB，延长BA到点D；

③作∠DAC的平分线AP．

所以直线AP就是所求作的直线

根据小星同学设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB　   　（填推理的依据）

∵∠DAC是△ABC的外角，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB　   　（填推理的依据）

∴∠DAC＝2∠ABC

∵AP平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠DAP

∴∠DAP＝∠ABC

∴AP∥l　   　（填推理的依据）

10．（2020·辽宁昌图期末）已知三角形的两角及夹边，求作这个三角形（保留痕迹，不写作法）

已知： ， 线段c，求作，使

11．（2020·北京期末）尺规作图之旅

下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．

尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．

（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．

（1）过一点作一条直线．(　　　)

（2）过两点作一条直线．(　　　)

（3）画一条长为3㎝的线段．(　　　)

（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．(　　　)

（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．

已知：∠AOB．

求作：使

作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；

（3）以点为圆心，____________________；

（4）过点画射线，则．

说理：由作法得已知：

求证：

证明：

(　　　)

所以(　　　)

（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．

已知：直线与直线外一点A．

求作：过点A的直线，使得．

（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．

12．（2020·山东安丘月考）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，点关于轴的对称点的坐标为．

（1）求，的值；

（2）画出，并求出它的面积；

（3）画出与关于轴成轴对称的图形，并写出各个顶点的坐标．

（4）在轴上找一点，使最小（不写作法，保留作图痕迹）

13.（2020·宜兴市月考）现有三个村庄A，B，C，位置如图所示，线段AB，BC，AC分别是连通两个村庄之间的公路．现要修一个水站P，使水站不仅到村庄A，C的距离相等，并且到公路AB，AC的距离也相等，请在图中作出水站P的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）

14.（2020·滨州渤海中学月考）尺规作图：如图，某地有两个工厂M、N和两条相交又的公路a，b现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个工厂的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．(保留作图痕迹)．

15.（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，已知（），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）；

（1）如图1，在边上寻找一点，使；

（2）如图2，在边上寻找一点，使得．

16.如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．

（1）若，则的度数是          ；

（2）连接，若，的周长是．

①求的长；

②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．