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【期末押题复习】2022-2023学年 人教版数学七年级上学期-第03讲 《 一元一次方程 》专题
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这是一份【期末押题复习】2022-2023学年 人教版数学七年级上学期-第03讲 《 一元一次方程 》专题，共26页。试卷主要包含了等式，等式的性质，移项，下列解方程去分母正确的是等内容，欢迎下载使用。
第03讲：《 一元一次方程 》专题
考点梳理
考点一：等式和等式的性质
1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.
2．等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.
考点二：方程的定义和解
1．方程：含未知数的等式，叫方程.
2．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！
3．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
考点三:一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
考点四：解一元一次方程
解方程： 化简方程----------分数基本性质
去 分母----------同乘（不漏乘）最简公分母 （等式性质2）
去 括号----------注意符号变化 （去括号法则）
移 项----------变号（留下靠前） （等式性质1）
合并同类项--------合并后符号 （合并同类项法则）
系数化为1---------除前面 （等式性质2）
考点五：方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
实际问题的常见类型：
行程问题：路程=时间×速度，时间=，速度=
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）
工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
利润问题：利润=售价-进价，利润率=，售价=标价×（1-折扣）
等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率
考点题型归纳
题型一：等式的性质
1．（2021·湖南娄星·七年级期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若a＝b，则
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3
2．（2021·河南安阳·七年级期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·内蒙古莫力达瓦·七年级期末）根据等式的性质，下列变形正确的是( )
A．如果 ，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
题型二：方程的定义和解
4．（2021·江西寻乌·七年级期末）对于等式：，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程 B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2
5．（2021·河北献县·七年级期末）若关于x的方程的解是，则a的值等于（ ）．
A． B．0 C．2 D．8
6．（2021·山东鱼台·七年级期末）若x＝﹣1是关于x的方程2x﹣m﹣5＝0的解，则m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣1 D．1
题型三：一元一次方程的定义
7．（2021·云南砚山·七年级期末）①x﹣2=；②0.3x=1；③=5x﹣1；④x2﹣4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0；⑦7a+=﹣a，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2021·湖南岳阳·七年级期末）已知 是关于x的一元一次方程，则( )
A．m=2 B．m =-3 C．m =±3 D．m =l
9．（2021·陕西陇县·七年级期末）已知方程（m﹣1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．±1 B．1 C．0或1 D．﹣1
题型四：解一元一次方程
10．（2021·浙江越城·七年级期末）下列解方程去分母正确的是( )
A．由，得2x﹣1＝3﹣3x B．由，得2x﹣2﹣x＝﹣4
C．由，得2y-15=3y D．由，得3(y+1)＝2y+6
11．（2021·黑龙江密山·七年级期末）下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得
C．方程，系数化为1，得 D．方程，整理得
12．（2021·山东金乡·七年级期末）下列方程的变形正确的是（ ）．
A．由移项，得 B．由去括号，得
C．由系数化为1，得 D．由去分母，得
题型五：一元一次方程在实际问题的应用
13．（2021·内蒙古鄂尔多斯·七年级期末）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( )
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
14．（2021·甘肃·兰州市第三十六中学七年级期末）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
15．（2021·江苏如皋·七年级期末）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则 （ ）
A． B． C．D．
考点强化训练
一、单选题
16．（2021·全国·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
17．（2021·海南海口·七年级期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·湖北·汉川市实验中学七年级期末）如果关于的方程与的解相同，则求为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．不确定
19．（2021·河北献县·七年级期末）在解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2021·四川旌阳·七年级期末）如图，宽为30cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的长为（ ）
A．10cm B．18 cm C．20cm D．24cm
21．（2021·湖北监利·七年级期末）长江上有A、B两个港口，一艘轮船从A到B顺水航行要用时2小时，从B到A（航线相同）逆水航行要用时3.5小时．已知水流的速度为15千米/时，求轮船在静水中的航行速度是多少？若设轮船在静水中的航行速度为则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·黑龙江道里·七年级期末）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打（ ）
A．五折 B．六折 C．七折 D．八折
23．（2021·全国·七年级期末）已知关于x的方程的解是，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．
24．（2021·浙江温州·七年级期末）若代数式的值如下表，则一元一次方程的解在数轴上对应的点是（ ）
…
0
2
…
…
2
…
A． B． C． D．
25．（2021·浙江温州·七年级期末）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．的值为6
B．为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．的值小于3
二、填空题
26．（2021·黑龙江道里·七年级期末）当x＝___时，的值是2
27．（2021·全国·七年级期末）若是方程的解，则的值为_________．
28．（2021·福建省漳州第一中学七年级期末）我国古代著作《九章算术》中提到“以绳测井”问题：若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？题目大意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．则井深__________尺．
29．（2021·河北玉田·七年级期末）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算x的值应该是___．
30．（2021·山东沂南·七年级期末）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数﹣4，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在线段AB上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是________．
三、解答题
31．（2021·湖北监利·七年级期末）解下列方程：
（1）； （2）
32．（2021·河北献县·七年级期末）目前节能灯已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下图所示：
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时恰好获利30%，此时利润为多少元？
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
33．（2021·河南川汇·七年级期末）先化简，再求值：
（1），其中，．
（2）定义新运算：对于任意实数m，n，都有，若，求x的值．
34．（2021·全国·七年级期末）2020年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机．”一时间，地摊兴起．小淘决定到甲、乙两个批发店采购同一种苹果到商场附近地摊经营．在甲批发店，不论一次购买数量多少，价格均为6元/kg；在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg，一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．
设小淘在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（）．
（1）根据题意填表：
一次购买数量/kg
40
50
150
…
甲批发店花费元
300
…
乙批发店花费/元
350
…
（2）请用含x的式子分别表示在甲批发店购买苹果的花费和在乙批发店购买苹果的花费．
（3）根据题意解决下列问题：
①若小淘在同一批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在哪个批发店购买花费少？
②若小淘在同一批发店一次购买苹果的花费为360元，则他在哪个批发店购买数量多？
35．（2021·辽宁西丰·七年级期末）某大型商业中心开业，为吸引顾客，特在一指定区域放置一批按摩休闲椅，供顾客有偿体验，根据如图收费标准解答以下问题：
（1）若在此按摩椅上连续休息了1小时，则需要支付 元．
（2）小李在该椅上一次性消费20元，那么他在该椅子上最多休息了多久？
（3）张先生到该商场会见一名客人，结果客人告知临时有事，预计3.5小时后才能到来；如果张先生要在该休闲椅上休息直至客人到来，他至少需要支付多少钱？
36．（2021·全国·七年级期末）（探索新知）
如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若，求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．
（深入研究）
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．
（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；
（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．
参考答案
1．A
【分析】
通过等式的基本性质判断即可；
【详解】
解：∵若a＝b，只有c≠0时，成立，
∴选项A符合题意；
∵若a＝b，则ac＝bc，
∴选项B不符合题意；
∵若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b，
∴选项C不符合题意；
∵若x＝y，则x﹣3＝y﹣3，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质，准确计算是解题的关键．
2．C
【分析】
根据等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】
解：A．若，根据等式的性质，等式左右两边同时减去5，则3a-5=2b，故A选项成立，不符合题意；
B．若，根据等式的性质，等式左右两边同时加上1，则3a+1=2b+6，故B选项成立，不符合题意；
C．若，根据等式的性质，等式左右两边同时乘以c，则3ac=2bc+5c，故C选项不一定成立，符合题意；
D．若，根据等式的性质，等式左右两边同时除以3，则，故D选项成立，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等式的性质，解决本题的关键是掌握等式的性质．
3．D
【分析】
直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．
【详解】
解：A、如果2x=3，那么，（a≠0），故此选项错误；
B、如果x=y，那么，故此选项错误；
C、如果，那么，故此选项错误；
D、如果x=y，那么-2x=-2y，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
4．D
【分析】
根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】
解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．
5．D
【分析】
将代入方程得到关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值．
【详解】
将代入原方程得：，
解得：
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．B
【分析】
把x=-1代入方程计算求出m的值，即可确定出m-1的值．
【详解】
解：把x=−1代入方程得：
解得：
故选:B
【点睛】
考查方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.
7．B
【分析】
根据一元一次方程的定义解答．
【详解】
①x﹣2=属于分式方程，故错误；
②0.3x=1、③=5x﹣1、⑤x=6、⑦7a+=﹣a符合一元一次方程的定义，故正确；
④x2﹣4x=3属于一元二次方程，故错误；
⑥x+2y=0属于二元一次方程，故错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．
8．B
【分析】
根据一元一次方程的概念列式求解即可.
【详解】
由此可得，
由|m|−2=1，解得m=3或者m=−3，由m−3≠0，解得m≠3，故m=−3.
故选B
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程.
9．D
【分析】
根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】
∵方程（m﹣1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，
∴ ,
解得：m=-1
故选D．
【点睛】
考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义.
10．D
【分析】
根据等式的性质2，A方程的两边都乘以6，B方程的两边都乘以4，C方程的两边都乘以15，D方程的两边都乘以6，去分母后判断即可．
【详解】
A．由，得：2x﹣6＝3﹣3x，此选项错误；
B．由，得：2x﹣4﹣x＝﹣4，此选项错误；
C．由，得：5y﹣15＝3y，此选项错误；
D．由，得：3（ y+1）＝2y+6，此选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
11．D
【分析】
根据解方程的步骤逐一对选项进行分析即可．
【详解】
A． 方程，移项，得，故A选项错误；
B． 方程，去括号，得，故B选项错误；
C． 方程，系数化为1，得，故C选项错误；
D． 方程，去分母得，去括号，移项，合并同类项得：，故D选项正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
12．D
【分析】
根据一元一次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】
由移项，得，故选项A错误；
由去括号，得，故选项B错误；
由系数化为1，得，故选项C错误；
由去分母，得，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
13．C
【分析】
设这种衬衫的原价是x元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，
解得：x=200．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．C
【分析】
试题分析：此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数.据此设未知数列出方程即可
【详解】
.故选C.
解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得
1000（26-x）=2×800x，故C答案正确，考点：一元一次方程.
15．D
【分析】
先设男生x人，根据题意可得.
【详解】
设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：，故选D.
【点睛】
本题考查列一元一次方程，解题的关键是读懂题意，得出一元一次方程.
16．D
【分析】
直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．等式基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式基本性质2：等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
【详解】
解：A、若，则，满足等式基本性质1，正确；
B、若，则，满足等式基本性质2，正确；
C、若，则，满足等式基本性质1，正确；
D、若，则只有当时，故此选项错误．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了等式的性质，正确把握相关性质是解题关键．
17．D
【分析】
根据一元一次方程的定义：(1)整式方程；(2)方程只含有一个未知数；(3)含未知数的项的次数为1，逐个判断得结论．
【详解】
A. 是分式方程，故不符合题意；
B. 含有两个未知数，故不符合题意；
C. 含有两个未知数且有二次项，故不符合题意；
D. 符合一元一次方程的定义，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键．
18．A
【分析】
求出第一个方程的解得到x的值，代入第一个方程计算即可求出k的值．
【详解】
解：解方程得：x=-5，
代入中，
得：，
解得：k=2，
故选A．
【点睛】
此题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程．
19．D
【分析】
根据方程两边都乘以分母的最小公倍数6即可选择答案．
【详解】
解：
方程两边都乘以分母的最小公倍数6，得
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
20．D
【分析】
设小长方形的长为，则根据图示可知小长方形的宽为．根据图示列出一元一次方程即可求解．
【详解】
解：设小长方形的长为，则根据图示可知小长方形的宽为．
根据图示可以看出2个小长方形的长等于1个小长方形的长和4个小长方形的宽．
所以可得．
解得．
所以小长方形的长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意并列出方程是解题关键．
21．D
【分析】
设轮船在静水中的航行速度为xkm/h，则轮船顺水航行的速度为（x+15）km/h，轮船逆水航行的速度为（x-15）km/h，由路程=速度×时间结合A，B两个港口之间距离不变，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】
解：设轮船在静水中的航行速度为xkm/h，则轮船顺水航行的速度为（x+15）km/h，轮船逆水航行的速度为（x-15）km/h，
依题意，得：2（x+15）=3.5（x-15），
故选D．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．D
【分析】
设商店应打x折，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设商店应打x折，
依题意得：180×0.1x﹣120＝120×20%，
解得：x＝8．
故商店应打八折．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．A
【分析】
方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．
【详解】
解：根据题意得：3（a-1）+2a-2=0，
解得a=1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了方程解的定义，已知a-1是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．
24．C
【分析】
由表格可知的解为，的解为，的解在0—2之间，由此即可得到答案．
【详解】
解：由表格可知的解为，的解为，
∴的解在0—2之间，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的解，用数轴表示有理数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．D
【分析】
利用“铺地锦”格子，进行计算并列出方程求解即可判断．
【详解】
解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格，
可得b=4+2=6，故A正确，不符合题意；
5a-10=6-1，解得，a=3，故B正确，不符合题意；故D不正确，符合题意；
乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b-1=；故C正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法和一元一次方程解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．7
【分析】
首先根据题意，可得：＝2，然后去分母、移项、合并同类项，求出方程的解是多少即可．
【详解】
解：根据题意，可得：＝2，
去分母，可得：x﹣1＝6，
移项，可得：x＝6+1，
合并同类项，可得：x＝7．
故答案为：7．
【点评】
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
27．-2
【分析】
直接把代入方程，即可求出的值．
【详解】
解：根据题意，
把代入方程，则
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解题的关键是掌握解方程的方法进行解题．
28．11
【分析】
用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】
解：设井深为x尺，则绳长为：3（x+5），依题意得：
3（x+5）=4（x+1）．
解得x=11，
则4（x+1）=48尺．
答：井深为11尺，绳长48尺，
故答案为：11．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
29．0
【分析】
根据题意列方程，解方程即可求解x值．
【详解】
解：由题意得5+x＝1+4，解得x＝0，
故答案为：0．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程，根据题意列方程是解题的关键．
30．5或﹣1
【分析】
设点M表示的数是 ，从而 MA＝x+4；BM＝8﹣x，根据新定义可得MA＝3BM或BM＝3MA，从而得到关于 的方程，解出即可．
【详解】
解：设点M表示的数是 ，
∴MA＝x﹣（﹣4）＝x+4；BM＝8﹣x，
∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”，
∴MA＝3BM或BM＝3MA，
∴x+4＝3（8﹣x）或8﹣x＝3（x+4），
解得：x＝5或x＝﹣1．
故答案为：5或﹣1．
【点睛】
本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示有理数，解一元一次方程，理解定义，得到等量关系是解题的关键．
31．（1），（2）．
【分析】
（1）方程去括号，去移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】
解：（1）
去括号：
移项得：，
合并同类项得: ，
系数化1得：；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化1得：；
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解本题的关键．
32．（1）购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；（2）商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时利润为13500元
【分析】
（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200−x）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200-a）只，根据题意列出一元一次方程即可求解．
【详解】
解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200-x）只，由题意得：
25x+45(1200-x)=46000
解得：x=400．
购进乙型节能灯1200-400=800（只），
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200-a）只，由题意，得：
（30-25）a+（60-45）（1200-a）=[25a+45（1200-a）]×30%．
解得：a=450．
购进乙型节能灯1200-450=750只．
5 a+15（1200-a）=13500元．
答：商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时利润为13500元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
33．（1），；（2）1
【分析】
（1）先去括号，然后合并同类项将整式化为最简，再将x和y的值代入即可得出答案．
（2）利用新定义运算法则列出方程，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=
将，代入，
原式==；
（2）∵，
∴，
解得：x=1．
【点睛】
本题考查整式的加减—化简求值，新定义运算，解一元一次方程，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大．
34．（1）见解析；（2）甲店花费：6x元．乙店：当时，花费7x元；当时，花费元．（3）①到乙店花费少；②在甲店购买的数量多．
【分析】
（1）根据题意，甲批发店花费：6×购买数量x（千克）；6×40=240，6×150=900；而乙批发店花费：当一次购买数量不超过50kg时， 7×40=280元；一次购买数量超过50kg时， 7×50+5（150-50）=850元；
（2）根据题意，甲批发店花费：6×购买数量x（千克）；而乙批发店花费 ：在一次购买数量不超过50kg时，7×购买数量x（千克）；一次购买数量超过50kg时， 7×50+5（x-50）；
（3）①求出在x=120时，分别求得在各店的花费，比较即可；
②利用（2）的结论，列方程求解即可．
【详解】
解：（1）甲批发店：6×40=240元，6×150=900元；
乙批发店：7×40=280元，7×50+5（150-50）=850元．
故填表如下：
一次购买数量/kg
40
50
150
…
甲批发店花费元
240
900
…
乙批发店花费/元
280
850
…
（2）甲店花费：6x元；
乙店：当时，花费7x元；
当时，花费元；
（3）①当时，
在甲店花费：（元），
在乙店花费：（元）．
∵720>700，
∴到乙店花费少；
②甲店：当时，，
乙店：当时，．
所以，在甲店购买的数量多．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
35．（1）16；（2）小80分钟；（3）55元
【分析】
（1）利用需要支付的费用＝10+超过30分钟的时间÷10×2，即可求出结论；
（2）求出在椅子上休息2小时所需费用，进而可得出小李在该椅子上休息时间超过0.5小时，不足2小时，设小李在该椅子上最多休息了x分钟，根据小李在该椅上一次性消费20元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）利用需要支付的费用＝28+超过2小时的时间÷10×2，即可求出结论．
【详解】
解：（1）10+×2＝16（元）．
故答案为：16．
（2）在椅子上休息2小时，需支付费用为10+×2＝28（元）．
∵10＜20＜28，
∴小李在该椅子上休息时间超过0.5小时，不足2小时，
设小李在该椅子上最多休息了x分钟，
依题意得：10+×2＝20，
解得：x＝80，
答：小李在该椅子上最多休息了80分钟．
（3）28+×3＝55（元）．
答：他至少需要支付55元钱．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据收费标准，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据收费标准，列式计算．
36．（1）AB的值为；（2）；（3）线段MN的长度为；（4）或或或．
【分析】
(1)根据线段之间的数量关系代入解答即可；
(2)根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；
(3)由题意可知，点C表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；
(4)根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，PC=πCQ；②点P在点C左侧，πPC=CQ；③点P在点C、点Q之间，且πPC=PQ；④点P在点C、点Q之间，且PC=πPQ．
【详解】
解：（1），，
，
；
（2）如图，，
当BD=AC时，BC=AD，
，
即点也是图1中线段的圆周率点，
与的数量关系是相等；
（3）由题意可知，点C表示的数是π+ 1，
若点M、N均为线段OC的圆周率点，
不妨设M点离O点近，且OM= x，
，
则x + πx = π+ 1
解得：x= 1，
，
MN = =π + 1 - 1 - 1 = π – 1；
（4）由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：
2t、π + 1、π + 1 +t，
当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，
有以下四种情况：
①如图①，点P在点C左侧，
PC= πCQ，
，
；
②如图②，点P在点C左侧，
πPC = CQ，
，
；
③如图③，点P在点C、点Q之间，
πPC= PQ，
，
；
④如图④，点P在点C、点Q之间，
PC =πPQ，
，
，
符合题意的有或或或．
第03讲：《 一元一次方程 》专题
考点梳理
考点一：等式和等式的性质
1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.
2．等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式.
考点二：方程的定义和解
1．方程：含未知数的等式，叫方程.
2．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！
3．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
注意：移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
考点三:一元一次方程的定义
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)
注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。
考点四：解一元一次方程
解方程： 化简方程----------分数基本性质
去 分母----------同乘（不漏乘）最简公分母 （等式性质2）
去 括号----------注意符号变化 （去括号法则）
移 项----------变号（留下靠前） （等式性质1）
合并同类项--------合并后符号 （合并同类项法则）
系数化为1---------除前面 （等式性质2）
考点五：方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤：审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写出答案。关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
实际问题的常见类型：
行程问题：路程=时间×速度，时间=，速度=
（单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）
工程问题：工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
利润问题：利润=售价-进价，利润率=，售价=标价×（1-折扣）
等积变形问题：长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造后的体积
利息问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率
考点题型归纳
题型一：等式的性质
1．（2021·湖南娄星·七年级期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A．若a＝b，则
B．若a＝b，则ac＝bc
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b
D．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3
2．（2021·河南安阳·七年级期末）已知等式，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·内蒙古莫力达瓦·七年级期末）根据等式的性质，下列变形正确的是( )
A．如果 ，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
题型二：方程的定义和解
4．（2021·江西寻乌·七年级期末）对于等式：，下列说法正确的是（ ）
A．不是方程 B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2
5．（2021·河北献县·七年级期末）若关于x的方程的解是，则a的值等于（ ）．
A． B．0 C．2 D．8
6．（2021·山东鱼台·七年级期末）若x＝﹣1是关于x的方程2x﹣m﹣5＝0的解，则m的值是（ ）
A．7 B．﹣7 C．﹣1 D．1
题型三：一元一次方程的定义
7．（2021·云南砚山·七年级期末）①x﹣2=；②0.3x=1；③=5x﹣1；④x2﹣4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0；⑦7a+=﹣a，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2021·湖南岳阳·七年级期末）已知 是关于x的一元一次方程，则( )
A．m=2 B．m =-3 C．m =±3 D．m =l
9．（2021·陕西陇县·七年级期末）已知方程（m﹣1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．±1 B．1 C．0或1 D．﹣1
题型四：解一元一次方程
10．（2021·浙江越城·七年级期末）下列解方程去分母正确的是( )
A．由，得2x﹣1＝3﹣3x B．由，得2x﹣2﹣x＝﹣4
C．由，得2y-15=3y D．由，得3(y+1)＝2y+6
11．（2021·黑龙江密山·七年级期末）下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得
C．方程，系数化为1，得 D．方程，整理得
12．（2021·山东金乡·七年级期末）下列方程的变形正确的是（ ）．
A．由移项，得 B．由去括号，得
C．由系数化为1，得 D．由去分母，得
题型五：一元一次方程在实际问题的应用
13．（2021·内蒙古鄂尔多斯·七年级期末）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( )
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
14．（2021·甘肃·兰州市第三十六中学七年级期末）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
15．（2021·江苏如皋·七年级期末）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则 （ ）
A． B． C．D．
考点强化训练
一、单选题
16．（2021·全国·七年级期末）下列运用等式的性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
17．（2021·海南海口·七年级期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·湖北·汉川市实验中学七年级期末）如果关于的方程与的解相同，则求为（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．不确定
19．（2021·河北献县·七年级期末）在解方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2021·四川旌阳·七年级期末）如图，宽为30cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的长为（ ）
A．10cm B．18 cm C．20cm D．24cm
21．（2021·湖北监利·七年级期末）长江上有A、B两个港口，一艘轮船从A到B顺水航行要用时2小时，从B到A（航线相同）逆水航行要用时3.5小时．已知水流的速度为15千米/时，求轮船在静水中的航行速度是多少？若设轮船在静水中的航行速度为则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·黑龙江道里·七年级期末）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打（ ）
A．五折 B．六折 C．七折 D．八折
23．（2021·全国·七年级期末）已知关于x的方程的解是，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．
24．（2021·浙江温州·七年级期末）若代数式的值如下表，则一元一次方程的解在数轴上对应的点是（ ）
…
0
2
…
…
2
…
A． B． C． D．
25．（2021·浙江温州·七年级期末）在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．的值为6
B．为奇数
C．乘积结果可以表示为
D．的值小于3
二、填空题
26．（2021·黑龙江道里·七年级期末）当x＝___时，的值是2
27．（2021·全国·七年级期末）若是方程的解，则的值为_________．
28．（2021·福建省漳州第一中学七年级期末）我国古代著作《九章算术》中提到“以绳测井”问题：若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？题目大意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．则井深__________尺．
29．（2021·河北玉田·七年级期末）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫格”的一部分，请你推算x的值应该是___．
30．（2021·山东沂南·七年级期末）有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数﹣4，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在线段AB上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是________．
三、解答题
31．（2021·湖北监利·七年级期末）解下列方程：
（1）； （2）
32．（2021·河北献县·七年级期末）目前节能灯已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下图所示：
（1）如何进货，进货款恰好为46000元？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时恰好获利30%，此时利润为多少元？
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
33．（2021·河南川汇·七年级期末）先化简，再求值：
（1），其中，．
（2）定义新运算：对于任意实数m，n，都有，若，求x的值．
34．（2021·全国·七年级期末）2020年6月，国务院总理李克强表示：“地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，是中国的生机．”一时间，地摊兴起．小淘决定到甲、乙两个批发店采购同一种苹果到商场附近地摊经营．在甲批发店，不论一次购买数量多少，价格均为6元/kg；在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg，一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg．
设小淘在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（）．
（1）根据题意填表：
一次购买数量/kg
40
50
150
…
甲批发店花费元
300
…
乙批发店花费/元
350
…
（2）请用含x的式子分别表示在甲批发店购买苹果的花费和在乙批发店购买苹果的花费．
（3）根据题意解决下列问题：
①若小淘在同一批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在哪个批发店购买花费少？
②若小淘在同一批发店一次购买苹果的花费为360元，则他在哪个批发店购买数量多？
35．（2021·辽宁西丰·七年级期末）某大型商业中心开业，为吸引顾客，特在一指定区域放置一批按摩休闲椅，供顾客有偿体验，根据如图收费标准解答以下问题：
（1）若在此按摩椅上连续休息了1小时，则需要支付 元．
（2）小李在该椅上一次性消费20元，那么他在该椅子上最多休息了多久？
（3）张先生到该商场会见一名客人，结果客人告知临时有事，预计3.5小时后才能到来；如果张先生要在该休闲椅上休息直至客人到来，他至少需要支付多少钱？
36．（2021·全国·七年级期末）（探索新知）
如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若，求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．
（深入研究）
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．
（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；
（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．
参考答案
1．A
【分析】
通过等式的基本性质判断即可；
【详解】
解：∵若a＝b，只有c≠0时，成立，
∴选项A符合题意；
∵若a＝b，则ac＝bc，
∴选项B不符合题意；
∵若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b，
∴选项C不符合题意；
∵若x＝y，则x﹣3＝y﹣3，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质，准确计算是解题的关键．
2．C
【分析】
根据等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】
解：A．若，根据等式的性质，等式左右两边同时减去5，则3a-5=2b，故A选项成立，不符合题意；
B．若，根据等式的性质，等式左右两边同时加上1，则3a+1=2b+6，故B选项成立，不符合题意；
C．若，根据等式的性质，等式左右两边同时乘以c，则3ac=2bc+5c，故C选项不一定成立，符合题意；
D．若，根据等式的性质，等式左右两边同时除以3，则，故D选项成立，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等式的性质，解决本题的关键是掌握等式的性质．
3．D
【分析】
直接利用等式的基本性质分别分析得出答案．
【详解】
解：A、如果2x=3，那么，（a≠0），故此选项错误；
B、如果x=y，那么，故此选项错误；
C、如果，那么，故此选项错误；
D、如果x=y，那么-2x=-2y，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．
4．D
【分析】
根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】
解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程，
（1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2；
（2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解．
5．D
【分析】
将代入方程得到关于a的一元一次方程，解方程即可得到a的值．
【详解】
将代入原方程得：，
解得：
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．B
【分析】
把x=-1代入方程计算求出m的值，即可确定出m-1的值．
【详解】
解：把x=−1代入方程得：
解得：
故选:B
【点睛】
考查方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解.
7．B
【分析】
根据一元一次方程的定义解答．
【详解】
①x﹣2=属于分式方程，故错误；
②0.3x=1、③=5x﹣1、⑤x=6、⑦7a+=﹣a符合一元一次方程的定义，故正确；
④x2﹣4x=3属于一元二次方程，故错误；
⑥x+2y=0属于二元一次方程，故错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．
8．B
【分析】
根据一元一次方程的概念列式求解即可.
【详解】
由此可得，
由|m|−2=1，解得m=3或者m=−3，由m−3≠0，解得m≠3，故m=−3.
故选B
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程.
9．D
【分析】
根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【详解】
∵方程（m﹣1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，
∴ ,
解得：m=-1
故选D．
【点睛】
考查一元一次方程的定义，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义.
10．D
【分析】
根据等式的性质2，A方程的两边都乘以6，B方程的两边都乘以4，C方程的两边都乘以15，D方程的两边都乘以6，去分母后判断即可．
【详解】
A．由，得：2x﹣6＝3﹣3x，此选项错误；
B．由，得：2x﹣4﹣x＝﹣4，此选项错误；
C．由，得：5y﹣15＝3y，此选项错误；
D．由，得：3（ y+1）＝2y+6，此选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
11．D
【分析】
根据解方程的步骤逐一对选项进行分析即可．
【详解】
A． 方程，移项，得，故A选项错误；
B． 方程，去括号，得，故B选项错误；
C． 方程，系数化为1，得，故C选项错误；
D． 方程，去分母得，去括号，移项，合并同类项得：，故D选项正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
12．D
【分析】
根据一元一次方程的性质分析，即可得到答案．
【详解】
由移项，得，故选项A错误；
由去括号，得，故选项B错误；
由系数化为1，得，故选项C错误；
由去分母，得，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．
13．C
【分析】
设这种衬衫的原价是x元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，
解得：x=200．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．C
【分析】
试题分析：此题等量关系为：2×螺钉总数=螺母总数.据此设未知数列出方程即可
【详解】
.故选C.
解：设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得
1000（26-x）=2×800x，故C答案正确，考点：一元一次方程.
15．D
【分析】
先设男生x人，根据题意可得.
【详解】
设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：，故选D.
【点睛】
本题考查列一元一次方程，解题的关键是读懂题意，得出一元一次方程.
16．D
【分析】
直接利用等式的基本性质进而判断得出即可．等式基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式基本性质2：等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
【详解】
解：A、若，则，满足等式基本性质1，正确；
B、若，则，满足等式基本性质2，正确；
C、若，则，满足等式基本性质1，正确；
D、若，则只有当时，故此选项错误．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了等式的性质，正确把握相关性质是解题关键．
17．D
【分析】
根据一元一次方程的定义：(1)整式方程；(2)方程只含有一个未知数；(3)含未知数的项的次数为1，逐个判断得结论．
【详解】
A. 是分式方程，故不符合题意；
B. 含有两个未知数，故不符合题意；
C. 含有两个未知数且有二次项，故不符合题意；
D. 符合一元一次方程的定义，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键．
18．A
【分析】
求出第一个方程的解得到x的值，代入第一个方程计算即可求出k的值．
【详解】
解：解方程得：x=-5，
代入中，
得：，
解得：k=2，
故选A．
【点睛】
此题考查了同解方程，同解方程即为两个方程解相同的方程．
19．D
【分析】
根据方程两边都乘以分母的最小公倍数6即可选择答案．
【详解】
解：
方程两边都乘以分母的最小公倍数6，得
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
20．D
【分析】
设小长方形的长为，则根据图示可知小长方形的宽为．根据图示列出一元一次方程即可求解．
【详解】
解：设小长方形的长为，则根据图示可知小长方形的宽为．
根据图示可以看出2个小长方形的长等于1个小长方形的长和4个小长方形的宽．
所以可得．
解得．
所以小长方形的长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意并列出方程是解题关键．
21．D
【分析】
设轮船在静水中的航行速度为xkm/h，则轮船顺水航行的速度为（x+15）km/h，轮船逆水航行的速度为（x-15）km/h，由路程=速度×时间结合A，B两个港口之间距离不变，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】
解：设轮船在静水中的航行速度为xkm/h，则轮船顺水航行的速度为（x+15）km/h，轮船逆水航行的速度为（x-15）km/h，
依题意，得：2（x+15）=3.5（x-15），
故选D．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．D
【分析】
设商店应打x折，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设商店应打x折，
依题意得：180×0.1x﹣120＝120×20%，
解得：x＝8．
故商店应打八折．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．A
【分析】
方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．
【详解】
解：根据题意得：3（a-1）+2a-2=0，
解得a=1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了方程解的定义，已知a-1是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．
24．C
【分析】
由表格可知的解为，的解为，的解在0—2之间，由此即可得到答案．
【详解】
解：由表格可知的解为，的解为，
∴的解在0—2之间，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的解，用数轴表示有理数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．D
【分析】
利用“铺地锦”格子，进行计算并列出方程求解即可判断．
【详解】
解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格，
可得b=4+2=6，故A正确，不符合题意；
5a-10=6-1，解得，a=3，故B正确，不符合题意；故D不正确，符合题意；
乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b-1=；故C正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法和一元一次方程解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．7
【分析】
首先根据题意，可得：＝2，然后去分母、移项、合并同类项，求出方程的解是多少即可．
【详解】
解：根据题意，可得：＝2，
去分母，可得：x﹣1＝6，
移项，可得：x＝6+1，
合并同类项，可得：x＝7．
故答案为：7．
【点评】
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
27．-2
【分析】
直接把代入方程，即可求出的值．
【详解】
解：根据题意，
把代入方程，则
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解题的关键是掌握解方程的方法进行解题．
28．11
【分析】
用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】
解：设井深为x尺，则绳长为：3（x+5），依题意得：
3（x+5）=4（x+1）．
解得x=11，
则4（x+1）=48尺．
答：井深为11尺，绳长48尺，
故答案为：11．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
29．0
【分析】
根据题意列方程，解方程即可求解x值．
【详解】
解：由题意得5+x＝1+4，解得x＝0，
故答案为：0．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程，根据题意列方程是解题的关键．
30．5或﹣1
【分析】
设点M表示的数是 ，从而 MA＝x+4；BM＝8﹣x，根据新定义可得MA＝3BM或BM＝3MA，从而得到关于 的方程，解出即可．
【详解】
解：设点M表示的数是 ，
∴MA＝x﹣（﹣4）＝x+4；BM＝8﹣x，
∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”，
∴MA＝3BM或BM＝3MA，
∴x+4＝3（8﹣x）或8﹣x＝3（x+4），
解得：x＝5或x＝﹣1．
故答案为：5或﹣1．
【点睛】
本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示有理数，解一元一次方程，理解定义，得到等量关系是解题的关键．
31．（1），（2）．
【分析】
（1）方程去括号，去移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】
解：（1）
去括号：
移项得：，
合并同类项得: ，
系数化1得：；
（2）
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化1得：；
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解本题的关键．
32．（1）购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；（2）商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时利润为13500元
【分析】
（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200−x）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200-a）只，根据题意列出一元一次方程即可求解．
【详解】
解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200-x）只，由题意得：
25x+45(1200-x)=46000
解得：x=400．
购进乙型节能灯1200-400=800（只），
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200-a）只，由题意，得：
（30-25）a+（60-45）（1200-a）=[25a+45（1200-a）]×30%．
解得：a=450．
购进乙型节能灯1200-450=750只．
5 a+15（1200-a）=13500元．
答：商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时利润为13500元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出方程．
33．（1），；（2）1
【分析】
（1）先去括号，然后合并同类项将整式化为最简，再将x和y的值代入即可得出答案．
（2）利用新定义运算法则列出方程，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=
将，代入，
原式==；
（2）∵，
∴，
解得：x=1．
【点睛】
本题考查整式的加减—化简求值，新定义运算，解一元一次方程，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大．
34．（1）见解析；（2）甲店花费：6x元．乙店：当时，花费7x元；当时，花费元．（3）①到乙店花费少；②在甲店购买的数量多．
【分析】
（1）根据题意，甲批发店花费：6×购买数量x（千克）；6×40=240，6×150=900；而乙批发店花费：当一次购买数量不超过50kg时， 7×40=280元；一次购买数量超过50kg时， 7×50+5（150-50）=850元；
（2）根据题意，甲批发店花费：6×购买数量x（千克）；而乙批发店花费 ：在一次购买数量不超过50kg时，7×购买数量x（千克）；一次购买数量超过50kg时， 7×50+5（x-50）；
（3）①求出在x=120时，分别求得在各店的花费，比较即可；
②利用（2）的结论，列方程求解即可．
【详解】
解：（1）甲批发店：6×40=240元，6×150=900元；
乙批发店：7×40=280元，7×50+5（150-50）=850元．
故填表如下：
一次购买数量/kg
40
50
150
…
甲批发店花费元
240
900
…
乙批发店花费/元
280
850
…
（2）甲店花费：6x元；
乙店：当时，花费7x元；
当时，花费元；
（3）①当时，
在甲店花费：（元），
在乙店花费：（元）．
∵720>700，
∴到乙店花费少；
②甲店：当时，，
乙店：当时，．
所以，在甲店购买的数量多．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
35．（1）16；（2）小80分钟；（3）55元
【分析】
（1）利用需要支付的费用＝10+超过30分钟的时间÷10×2，即可求出结论；
（2）求出在椅子上休息2小时所需费用，进而可得出小李在该椅子上休息时间超过0.5小时，不足2小时，设小李在该椅子上最多休息了x分钟，根据小李在该椅上一次性消费20元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）利用需要支付的费用＝28+超过2小时的时间÷10×2，即可求出结论．
【详解】
解：（1）10+×2＝16（元）．
故答案为：16．
（2）在椅子上休息2小时，需支付费用为10+×2＝28（元）．
∵10＜20＜28，
∴小李在该椅子上休息时间超过0.5小时，不足2小时，
设小李在该椅子上最多休息了x分钟，
依题意得：10+×2＝20，
解得：x＝80，
答：小李在该椅子上最多休息了80分钟．
（3）28+×3＝55（元）．
答：他至少需要支付55元钱．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据收费标准，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据收费标准，列式计算．
36．（1）AB的值为；（2）；（3）线段MN的长度为；（4）或或或．
【分析】
(1)根据线段之间的数量关系代入解答即可；
(2)根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；
(3)由题意可知，点C表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；
(4)根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，PC=πCQ；②点P在点C左侧，πPC=CQ；③点P在点C、点Q之间，且πPC=PQ；④点P在点C、点Q之间，且PC=πPQ．
【详解】
解：（1），，
，
；
（2）如图，，
当BD=AC时，BC=AD，
，
即点也是图1中线段的圆周率点，
与的数量关系是相等；
（3）由题意可知，点C表示的数是π+ 1，
若点M、N均为线段OC的圆周率点，
不妨设M点离O点近，且OM= x，
，
则x + πx = π+ 1
解得：x= 1，
，
MN = =π + 1 - 1 - 1 = π – 1；
（4）由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：
2t、π + 1、π + 1 +t，
当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，
有以下四种情况：
①如图①，点P在点C左侧，
PC= πCQ，
，
；
②如图②，点P在点C左侧，
πPC = CQ，
，
；
③如图③，点P在点C、点Q之间，
πPC= PQ，
，
；
④如图④，点P在点C、点Q之间，
PC =πPQ，
，
，
符合题意的有或或或．
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