【备战中考】2022-2023学年中考数学真题汇编专题01 有理数-【题型方法解密】

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有理数

【知识要点】
知识点一 有理数基础概念
n 有理数
正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。
【易错点】
1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。
2）-a可能是正数、负数或0。(①当a是正数时，-a是负数；
②当a是负数时，-a是正数；
③当a=0时，-a=0， 0不分正负。)
3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。
【如何判断一组词是否具有相反意义的量】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
热考题型一 理解正数与负数
【解题思路】1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。
2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
典例1．（2022·云南·中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（    ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
变式1-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（    ）
A．(−1)2 B．|−3| C．−(−5) D．3−8
变式1-2．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
有理数的分类：

【易错点】
1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333….等）
2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：π)
3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。
4）最小的正整数 _____1_______。最大的负整数 ______-1______。最小的自然数 ______0______。
热考题型二 理解有理数
【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例2．（2021·广西来宾·中考真题）下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1．（2021·山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零 D．非正数
变式2-2．（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数
变式2-3．（2019·四川乐山·中考真题）一定是（ ）
A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确
n 数轴
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。
【易错点】
1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。
2）数轴的三要素缺一不可。
3）同一数轴上的单位长度要统一。
4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。
5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。
利用数轴比较两个数大小：
依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。
热考题型三 用数轴上的点表示有理数
【解题思路】任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　）

A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．3
变式3-1．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2−x2−4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是(   )

A．① B．② C．③ D．①或②
变式3-2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（   ）

A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
变式3-3．（2020·江苏盐城·中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
变式3-4．（2020·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）

A．2 B．-1 C．-2 D．-3
变式3-5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负
【解题思路】数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例4．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（　　）

A．−2 B．−1 C．0 D．2
变式4-1．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）

A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
变式4-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（    ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
变式4-3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ）

A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2 n 相反数
概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
【注意事项】
1）特别注意，0的相反数是0。
2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同。
意义：任何一个数都有且只有一个相反数。（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.）
几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a。
【注意事项】
1）通常a与-a互为相反数；
2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数。
4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0。
5）相反数等于它本身的数只有0。
多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。
热考题型五 相反数的判定
【解题思路】理解相反数的概念。
典例5．（2022·河南·中考真题）−12的相反数是（　　）
A．−2 B．2 C．−12 D．12
变式5-1．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（    ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③12022的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
变式5-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b−4c的值为（    ）
A．−8 B．−5 C．−1 D．16
变式5-3．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（    ）

A．2 B．－2 C．12 D．−12
变式5-4．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（    ）

A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c
n 绝对值
概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。
几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的表示方法：
【扩展】
1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a。
2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a。
3) 一个数的绝对值不可能为负数。
4) 一个负数的绝对值是它的相反数。
性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0。
2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0。（扩展：绝对值最小的数是0）
3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|。
4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b。
5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a。
6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0。
7）若aa=1，则a>0, 若aa=−1，则a<0。
利用绝对值比较两个有理数的方法：
1）两个负数比较，绝对值大的反而小。
2）两个正数比较，绝对值大数越大。
对含有字母的绝对值化简求值（重点难点）：
步骤：1）首先判断这个数是正数、负数还是0.
2）再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号。
例1：化简|x-4|
第一步：取0点：令x-4=0，得x=4；
第二步：取范围：x≤4和x≻4或x≺4和x≥4；
第三步：在各范围内化简：
②当x≤4时，x-4≤0，∴|x-4|=-(x-4)=-x+4
③当x≻4时，x-4≻0，∴|x-4|=x-4.
例2：求|x﹣1|+|x+2|的最小值
解：由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，
∵要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值。
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3
热考题型六 求一个数的绝对值
【解题思路】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
典例6．（2022·广东·中考真题）|−2|的值等于（ ）
A．2 B．−12 C．12 D．﹣2
变式6-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）﹣2022的绝对值是（　　）
A．12022 B．−12022 C．2022 D．﹣2022
变式6-2．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（    ）
A．−(+5) B．+(−5) C．−(−5) D．−|−5|
变式6-3．（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（    ）
A．−2 B．−2 C．2−1 D．(−2)0
变式6-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若x=−3，则x的值为__________.
热考题型七 绝对值非负性的应用
【解题思路】一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。典例7．（2022·四川泸州·中考真题）若(a−2)2+|b+3|=0，则ab=________．
变式7-1．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，则3m+n=__________．
变式7-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y−52+x+2y+4=0，则x−y的值是________．
变式7-3．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
变式7-3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
热考题型八 比较有理数大小
【解题思路】熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键。
典例8．（2022·湖南郴州·中考真题）有理数−2，−12，0，32中，绝对值最大的数是（    ）
A．−2 B．−12 C．0 D．32
变式8-1．（2022·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比3大的数是（    ）
A．5 B．1 C．0 D．－2
变式8-2（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2_______________30．（选填＞，＝，＜）
变式8-3．（2022·江苏泰州·中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
变式8-4．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法
有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算）
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
若a>0,b>0,则a+b=+|a|+|b|；若a<0,b<0,则a+b=−|a|+|b|；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b=+|a|−|b|
若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b=+|b|−|a|
3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
若a>0,b<0,且|a|=|b|,则a+b=0
4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a
有理数的加法运算律：
1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a；
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。
热考题型九 有理数加法
【解题思路】解题的关键是熟知有理数的加法运算法则
典例9．（2022·天津·中考真题）计算(−3)+(−2)的结果等于（    ）
A．−5 B．−1 C．5 D．1
变式9-1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算5+−3正确的是（    ）
A．2 B．−2 C．8 D．−8
变式9-2．（2022·吉林·中考真题）要使算式(−1)□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ）
A．+ B．- C．× D．÷
变式9-3．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（    ）

A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
n 有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a−b=a+(−b)。
【易错点】：两个变化：减号变成加号，减数变成它的相反数，再按照有理数加法的运算步骤进行计算。
热考题型十 有理数减法
【解题思路】熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键
典例10．（2022·山东滨州·中考真题）某市冬季中的一天，中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，那么当天18时的气温是（    ）
A．10℃ B．−10℃ C．4℃ D．−4℃
变式10-1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算−3−2的结果是（    ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
变式10-2．（2021·江苏南京·中考真题）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）
A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00
变式10-3．（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__．
n 有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算。
用式子表示为：用式子表示为： a−b+c−d=a+(−b)+c+(−d),
步骤： 1）减法化加法；2）省略括号和加号；3）运用加法运算律使计算简便；4）运用有理数加法法则进行计算。
扩展：运用加法运算律时，可按如下步骤进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
热考题型十一 有理数加减法混合运算
【解题思路】解题关键是熟练掌握有理数混合运算和添括号的法则
典例11．（2022·河北·中考真题）与−312相等的是（    ）
A．−3−12 B．3−12 C．−3+12 D．3+12
变式11-1．（2020·浙江杭州·中考真题）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
变式11-2．（2021·台湾·模拟预测）已知，，，判断下列各式之值何者最大？（ ）
A． B． C． D．
变式11-3．嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（ ）
A． B．
C． D．
n 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数a（a≠0）的倒数是）
【注意事项】1）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。
2）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。
如何求一个数的倒数:
1) 求一个数a的倒数，即
2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母交换一下位置即可。
3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数再求其倒数。
4、求一个小数的倒数，先将小数化成分数，然后再求倒数。
5、求一个数的负倒数，先求这个数的倒数，再求倒数的相反数即可。
多个有理数相乘的法则及规律：
1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0。
【注意】带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
n 有理数的除法
有理数除法法则：
1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3）0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行乘法计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
n 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
热考题型十二 有理数乘除法
【解题思路】熟练掌握有理数的乘法、除法运算法则是解题的关键
典例12．（2022·山东泰安·中考真题）计算−6×−12的结果是（    ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
变式12-1．（2022·山东淄博·中考真题）下列分数中，和π最接近的是（    ）
A．355113 B．22371 C．15750 D．227
变式12-2．（2022·湖北随州·中考真题）计算：3×−1+−3=______．
变式12-3．（2022·广西玉林·中考真题）计算：2÷(−2)=_____________．
知识点三 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，即a•a•a•...an个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
注意：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。2）计算结果的绝对值。
有理数的混合运算运算顺序：
1）先乘方，再乘除，最后加减；
2）同级运算,从左到右进行；
3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
热考题型十三 有理数的乘方
【解题思路】解题的关键是牢记乘方概念和计算公式，明白乘方的意义是求n个相同因数积的运算即可．
典例13．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ）

A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
变式13-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（    ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式13-2．（2022·湖南娄底·中考真题）若10x=N，则称x是以10为底N的对数．记作：x=lgN．例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1．对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（    ）
A．5 B．2 C．1 D．0
变式13-3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
热考题型十四 有理数混合运算
【解题思路】掌握有理数的混合运算运算顺序
典例14．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．

变式14-1．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．

变式14-2．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：−1−−32=________．
变式14-3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算：9−(−2022)0+2−1．
变式14-4．（2022·广西·中考真题）计算：(−1+2)×3+22+−4．
变式14-5．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
变式14-5．（2022·山东临沂·中考真题）计算：
(1)−23÷49×16−13；(2)1x+1−1x−1．
n 科学记数法
形式一：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（注意：用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。）
形式二：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
【易错点（表示小于1的数）】
n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
【解题小技巧】科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数。
n 近似数和有效数字
在实际问题中，有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而需用有理数近似地表示出来，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0。）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
热考题型十五 科学记数法与近似数
【解题思路】熟记科学记数法和近似数的定义
典例15．（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（    ）
A．14.126×108 B．1.4126×109 C．1.4126×108 D．0.14126×1010
变式15-1（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
变式15-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（    ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
变式15-3．（2022·广东深圳·中考真题）某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（    ）
A．0.15×1013 B．1.5×1012 C．1.5×1013 D．15×1012
变式15-4．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02


专题01 有理数
【题型汇总】

【知识要点】
知识点一 有理数基础概念
n 有理数
正数：大于0的数叫做正数。根据需要，有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。负数前面的负号“-”不能省略。
【易错点】
1）0既不是正数，也不是负数，也可以说0是正数和负数的分界线。
2）-a可能是正数、负数或0。(①当a是正数时，-a是负数；
②当a是负数时，-a是正数；
③当a=0时，-a=0， 0不分正负。)
3）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
常见的表示相反意义的量（举例）：上升与下降，增长与减小等。
【如何判断一组词是否具有相反意义的量】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
热考题型一 理解正数与负数
【解题思路】1）大于0的数叫做正数。小于0的数叫做负数。
2）正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。
典例1．（2022·云南·中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（    ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
【详解】解：若零上10°C记作+10°C，则零下10°C可记作：−10°C．故选：C．
变式1-1．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）下列各数是负数的是（    ）
A．(−1)2 B．|−3| C．−(−5) D．3−8
【详解】解：(−1)2=1，是正数，故 A 选项不符合题意；
|−3|=3，是正数，故 B 选项不符合题意；
−(−5)=5，是正数，故 C 选项不符合题意；
3−8=−2，是负数，故 D 选项符合题意．
变式1-2．（2022·江苏镇江·中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降0.6°C．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6°C，则此时山顶的气温约为_________°C．
【详解】解：山顶的气温约为6−2350−350÷100×0.6=−6故答案：－6或零下6．

有理数的分类：

【易错点】
1）有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数。（例：0.53、1.333333….等）
2）无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数。(例如：π)
3）对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。
4）最小的正整数 _____1_______。最大的负整数 ______-1______。最小的自然数 ______0______。
热考题型二 理解有理数
【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。
典例2．（2021·广西来宾·中考真题）下列各数是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：四个选项的数中：，，是无理数， 0是有理数，故选项D符合题意．故选：D．
变式2-1．（2021·山东省诸城市三模）若，那么实数一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．零 D．非正数
【详解】解：由x＋|x|＝0得，|x|＝−x，
∵负数或零的绝对值等于它的相反数，∴x一定是负数或零，即非正数．故选：D．
变式2-2．（2019·湖北咸宁·中考真题）下列关于的说法正确的是（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是有理数 D．是无理数
【详解】既不是正数也不是负数，是有理数．故选C
变式2-3．（2019·四川乐山·中考真题）一定是（ ）
A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确
【详解】∵a可正、可负、也可能是0∴选D.
【名师点拨】本题考查有理数的分类，解本题的关键是掌握a不确定正负性，-a就无法确定.
n 数轴
概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
画数轴步骤：画直线-取原点-规定正方向-单位长度。
【易错点】
1）数轴是一条可向两段无限延伸直线。
2）数轴的三要素缺一不可。
3）同一数轴上的单位长度要统一。
4）在数轴上原点，正方向的选取（通常规定向右方向），单位长度的大小需根据实际情况而定。
5）任何有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，所以有理数与数轴上的点不是一一对应的，实数与数轴上的点一一对应。
利用数轴比较两个数大小：
依据：数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
方法：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大。
热考题型三 用数轴上的点表示有理数
【解题思路】任何有理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例3．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（　　）

A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．3
【详解】解：点A表示的数为﹣2，﹣2的相反数为2，故选：C．
变式3-1．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示2xx+2−x2−4(x+2)2的值的对应点落在下图数轴上的范围是(   )

A．① B．② C．③ D．①或②
【详解】解：2xx+2−x2−4(x+2)2=2xx+2x+22−x2−4(x+2)2=2x2+4x−x2+4x+22=x+22(x+2)2=1；故选B．
变式3-2．（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（   ）

A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【详解】解：由题意可得：点B表示的数是6，且B在原点的右侧，∴OB=6,
∵ OB=2OA，∴OA=3, ∵A在原点的左侧，∴A表示的数为−3, 故选B
变式3-3．（2020·江苏盐城·中考真题）实数在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
【详解】由图可得，故选C．
变式3-4．（2020·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）

A．2 B．-1 C．-2 D．-3
【详解】由数轴的定义得：
又到原点的距离一定小于2，观察四个选项，只有选项B符合故选：B．
变式3-5．（2020·内蒙古·中考真题）点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
【详解】解：由题意得：|2a+1|=3
当2a+1＞0时，有2a+1=3，解得a=1
当2a+1＜0时，有2a+1=-3，解得a=-2所以a的值为1或-2．故答案为A．
【名师点拨】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义列出绝对值方程并求解是解答本题的关键．
热考题型四 根据点在数轴的位置判断式子正负
【解题思路】数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数。
典例4．（2022·宁夏·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则aa+bb的值是（　　）

A．−2 B．−1 C．0 D．2
【详解】解：由数轴上点的位置可得a<0，b>0，∴aa+bb=a−a+bb=−1+1=0，
故选：C．
变式4-1．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　）

A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【详解】解：由题意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A选项的结论成立；
∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B选项的结论不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴1 ∴D选项的结论不成立．故选：A．
变式4-2．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a−1|的化简结果是（    ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1- a
=2．故选∶B．
变式4-3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（    ）

A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2 【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且a＜b，
∴a+b>0，∴A选项的结论不成立；
b−a>0，∴B选项的结论不成立；
2a<2b，∴C选项的结论不成立；
a+2 故选：D．
n 相反数
概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
【注意事项】
1）特别注意，0的相反数是0。
2）相反数是成对出现的，不能单独存在，并且这两个数除符号不同以外数字完全相同。
意义：任何一个数都有且只有一个相反数。（正数的相反数一定是负数；负数的相反数一定是正数；0的相反数仍是0.）
几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧；反之，位于原点两侧且到原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数。
表示方法：通常一个数a的相反数可以表示为-a。
【注意事项】
1）通常a与-a互为相反数；
2）a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
3）一个数的前面加上“-”号表示这个数的相反数。
4）解题关键，若两个数互为相反数，则它们的和为0。
5）相反数等于它本身的数只有0。
多重符号化简：当“-”号的个数为偶数时，化简结果为正；当“-”号个数为奇数时，化简结果为负。
热考题型五 相反数的判定
【解题思路】理解相反数的概念。
典例5．（2022·河南·中考真题）−12的相反数是（　　）
A．−2 B．2 C．−12 D．12
【详解】解：因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12．故选：D．
变式5-1．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（    ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③12022的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【详解】①－2022的相反数是2022，故此说法正确；
②－2022的绝对值是2022，故此说法正确；
③12022的倒数是2022，故此说法正确；
正确的个数共3个；故选：A．
变式5-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b−4c的值为（    ）
A．−8 B．−5 C．−1 D．16
【详解】∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∵c的倒数是4，∴c=14，∴3a+3b−4c =3a+b−4c =3×0−4×14=−1，故选：C
变式5-3．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，点A、B表示的实数互为相反数，则点B表示的实数是（    ）

A．2 B．－2 C．12 D．−12
【详解】解：因为数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是-2，
所以点B表示的数是2，故选：A．
变式5-4．（2022·湖北荆州·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，它们是（    ）

A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c
【详解】解：∵c,d分居原点的两旁，且到原点的距离相等，∴c,d互为相反数，故选C
n 绝对值
概念：一般数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。
几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的表示方法：
【扩展】
1）非负数的绝对值等于他本身，即a≥0⇔|a|=a。
2）非正数的绝对值等于它本身的相反数，即a≤0⇔|a|=-a。
3) 一个数的绝对值不可能为负数。
4) 一个负数的绝对值是它的相反数。
性质（解题思路）：1）任何一个数的绝对值总是正数或零（非负性），即：|a|≥0。
2）0的绝对值是0，即：a=0⇔|a|=0。（扩展：绝对值最小的数是0）
3）互为相反数的两个数绝对值相等，即：a+b=0或a=-b⇔|a|=|b|。
4）绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即：|a|=|b|⇒a=b或a=-b。
5）绝对值等于同一个整数的数有两个，它们互为相反数，即：|x|=a⇔x=±a。
6）若几个数的绝对值的和为0，则这几个数分别为0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0⇒a=b=c=...=m=0。
7）若aa=1，则a>0, 若aa=−1，则a<0。
利用绝对值比较两个有理数的方法：
1）两个负数比较，绝对值大的反而小。
2）两个正数比较，绝对值大数越大。
对含有字母的绝对值化简求值（重点难点）：
步骤：1）首先判断这个数是正数、负数还是0.
2）再根据绝对值的意义判断去掉绝对值的符号。
例1：化简|x-4|
第一步：取0点：令x-4=0，得x=4；
第二步：取范围：x≤4和x≻4或x≺4和x≥4；
第三步：在各范围内化简：
②当x≤4时，x-4≤0，∴|x-4|=-(x-4)=-x+4
③当x≻4时，x-4≻0，∴|x-4|=x-4.
例2：求|x﹣1|+|x+2|的最小值
解：由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，
∵要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值。
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3
热考题型六 求一个数的绝对值
【解题思路】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
典例6．（2022·广东·中考真题）|−2|的值等于（ ）
A．2 B．−12 C．12 D．﹣2
【详解】根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的绝对值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以|−2|=2，故选A．
变式6-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）﹣2022的绝对值是（　　）
A．12022 B．−12022 C．2022 D．﹣2022
【详解】解：−2022的绝对值是2022，故选：C．
变式6-2．（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（    ）
A．−(+5) B．+(−5) C．−(−5) D．−|−5|
【详解】解：A、-（+5）=-5，不符合题意；
B、+（-5）=-5，不符合题意；
C、-(-5)=5，符合题意；
D、−−5=−5，不符合题意；
故选：C．
变式6-3．（2022·浙江衢州·中考真题）计算结果等于2的是（    ）
A．−2 B．−2 C．2−1 D．(−2)0
【详解】解：A、−2=2，则此项符合题意；
B、−2=−2，则此项不符合题意；
C、2−1=12，则此项不符合题意；
D、−20=1，则此项不符合题意；
故选：A．
变式6-4．（2022·江苏泰州·中考真题）若x=−3，则x的值为__________.
【详解】解：由题意可知：当x=−3时，x=−3=3，故答案为：3．
热考题型七 绝对值非负性的应用
【解题思路】一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。
典例7．（2022·四川泸州·中考真题）若(a−2)2+|b+3|=0，则ab=________．
【详解】∵(a−2)2+|b+3|=0，∴a−2=0，b+3=0，
∴a=2，b=−3，∴ab=2×−3=−6.故答案为-6.
变式7-1．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，则3m+n=__________．
【详解】解：由题意知，m，n满足∣m−n−5∣+2m+n−4=0，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，
∴m=3，n=-2，
∴3m+n=9−2=7，
故答案为：7．
变式7-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若2x+y−52+x+2y+4=0，则x−y的值是________．
【详解】∵2x+y−52≥0x+2y+4≥0，2x+y−52+x+2y+4=0
∴2x+y−5=0x+2y+4=0解得：x=143y=−133，x−y=143−(−133)=273=9故答案为：9
变式7-3．（2021·广东·中考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．9
【详解】∵，，且
∴，即，且∴， ∴故选：B．
【名师点拨】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，一般地，几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零．
变式7-3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A． B．若取最小值，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】解：A．当时，，故该项错误；
B．∵，∴当时取最小值，故该项错误；
C．∵，∴，，∴，故该项错误；
D．∵且，∴，∴，故该项正确；故选：D．
【名师点拨】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．
热考题型八 比较有理数大小
【解题思路】熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键。
典例8．（2022·湖南郴州·中考真题）有理数−2，−12，0，32中，绝对值最大的数是（    ）
A．−2 B．−12 C．0 D．32
【详解】−2=2，−12=12，0的绝对值为0，32=32，
∵0＜12＜32＜2，∴绝对值最大的数为-2，故选：A．
变式8-1．（2022·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比3大的数是（    ）
A．5 B．1 C．0 D．－2
【详解】解：因为－2＜0＜1＜3＜5，所以比3大的数是5，故选：A．
变式8-2（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2_______________30．（选填＞，＝，＜）
【详解】解：2−2=14，30=1，∵14<1，∴2−2<30，故答案为：<．
变式8-3．（2022·江苏泰州·中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2n2,c=m2−n2(m≠n) 用“＜”表示a、b、c的大小关系为________.
【详解】解：由题意可知：a−b=(2m2−mn)−(mn−2n2)=(m2+n2−2mn)+m2+n2=(m−n)2+m2+n2，
∵m≠n，
∴(m−n)2+m2+n2>0，
∴b a−c=(2m2−mn)−(m2−n2)=m2−mn+n2=(m−n2)2+34n2，当且仅当m−n2=0且n=0时取等号，此时m=n=0与题意m≠n矛盾，
∴(m−n2)2+34n2>0
∴c c−b=(m2−n2)−(mn−2n2)=m2−mn+n2=(m−n2)2+34n2，同理b 故答案为：b 变式8-4．（2021·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（ ）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折
C．先提价，再降价 D．先提价，再降价
【详解】
设原件为x元，
∵先打九五折，再打九五折，
∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，
∵先提价，再打六折，
∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，
∵先提价，再降价，
∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，
∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x
故选B
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法
有理数的加法法则：（步骤：先确定符号，再确定绝对值，然后进行计算）
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
若a>0,b>0,则a+b=+|a|+|b|；若a<0,b<0,则a+b=−|a|+|b|；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b=+|a|−|b|
若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b=+|b|−|a|
3)互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
若a>0,b<0,且|a|=|b|,则a+b=0
4)一个数同0相加，仍得这个数。a+0=a
有理数的加法运算律：
1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a；
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即（a+b）+c=a+(b+c)。
热考题型九 有理数加法
【解题思路】解题的关键是熟知有理数的加法运算法则
典例9．（2022·天津·中考真题）计算(−3)+(−2)的结果等于（    ）
A．−5 B．−1 C．5 D．1
【详解】(−3)+(−2)=−3−2=−5故选：A．
变式9-1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）计算5+−3正确的是（    ）
A．2 B．−2 C．8 D．−8
【详解】解：5+−3 =2．故选：A．
变式9-2．（2022·吉林·中考真题）要使算式(−1)□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ）
A．+ B．- C．× D．÷
【详解】解：(−1)+3=2，
(−1)−3=−4，
(−1)×3=−3，
(−1)÷3=−13，
因为−4<−3<−13<2，
所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为+，故选：A．
变式9-3．（2022·浙江杭州·中考真题）圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（    ）

A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8．故选：D．
n 有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即a−b=a+(−b)。
【易错点】：两个变化：减号变成加号，减数变成它的相反数，再按照有理数加法的运算步骤进行计算。
热考题型十 有理数减法
【解题思路】熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键
典例10．（2022·山东滨州·中考真题）某市冬季中的一天，中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，那么当天18时的气温是（    ）
A．10℃ B．−10℃ C．4℃ D．−4℃
【详解】解: ∵中午12时的气温是−3℃，经过6小时气温下降了7℃，
∴当天18时的气温是−3−7=−10℃．故选B．
变式10-1．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算−3−2的结果是（    ）
A．−1 B．1 C．−5 D．5
【详解】解：−3−2=−3+(−2)=−5．故选：C．
变式10-2．（2021·江苏南京·中考真题）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）
A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00
【提示】根据北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即可求解．
【详解】解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，
所以A. 当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意；
B. 当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意；
C. 当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意；
D. 当北京时间是18：00时，不合题意．故选：C
变式10-3．（2022·江苏扬州·中考真题）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__．
【详解】用最高温度减去最低温度即可得当天的日温差：6－(－2)＝6＋2＝8℃．
n 有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算。
用式子表示为：用式子表示为： a−b+c−d=a+(−b)+c+(−d),
步骤： 1）减法化加法；2）省略括号和加号；3）运用加法运算律使计算简便；4）运用有理数加法法则进行计算。
扩展：运用加法运算律时，可按如下步骤进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
热考题型十一 有理数加减法混合运算
【解题思路】解题关键是熟练掌握有理数混合运算和添括号的法则
典例11．（2022·河北·中考真题）与−312相等的是（    ）
A．−3−12 B．3−12 C．−3+12 D．3+12
【详解】A、−3−12=−72，故此选项符合题意；
B、3−12=52，故此选项不符合题意；
C、−3+12=−52，故此选项不符合题意；
D、3+12=72，故此选项不符合题意；
故选：A．
变式11-1．（2020·浙江杭州·中考真题）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元．圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（　　）
A．17元 B．19元 C．21元 D．23元
【详解】由题意得：（元）即需要付费19元故选：B．
变式11-2．（2021·台湾·模拟预测）已知，，，判断下列各式之值何者最大？（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：，，，
∵是最小的，负的最多,相应的绝对值最大．故选：C．
变式11-3．嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】，故选：C．
n 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数a（a≠0）的倒数是）
【注意事项】1）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数。
2）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。
如何求一个数的倒数:
1) 求一个数a的倒数，即
2）求一个分数的倒数，只要将分子、分母交换一下位置即可。
3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数再求其倒数。
4、求一个小数的倒数，先将小数化成分数，然后再求倒数。
5、求一个数的负倒数，先求这个数的倒数，再求倒数的相反数即可。
多个有理数相乘的法则及规律：
1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0。
【注意】带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
n 有理数的除法
有理数除法法则：
1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3）0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行乘法计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
n 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
热考题型十二 有理数乘除法
【解题思路】熟练掌握有理数的乘法、除法运算法则是解题的关键
典例12．（2022·山东泰安·中考真题）计算−6×−12的结果是（    ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
【详解】−6×−12=6×12=3故选：B．
变式12-1．（2022·山东淄博·中考真题）下列分数中，和π最接近的是（    ）
A．355113 B．22371 C．15750 D．227
【详解】A. 355113≈3.1416;B. 22371≈3.1408;C. 15750≈3.14;D. 227≈3.1428;
因为π≈3.1416,故和π最接近的是355113，故选择:A
变式12-2．（2022·湖北随州·中考真题）计算：3×−1+−3=______．
【详解】解：3×−1+−3=−3+3=0，故答案为：0．
变式12-3．（2022·广西玉林·中考真题）计算：2÷(−2)=_____________．
【详解】解：原式=−2÷2=−1；故答案为-1．
知识点三 有理数的乘方
乘方的概念：一般地，个相同的因数相乘，即a•a•a•...an个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
注意：当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。2）计算结果的绝对值。
有理数的混合运算运算顺序：
1）先乘方，再乘除，最后加减；
2）同级运算,从左到右进行；
3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
热考题型十三 有理数的乘方
【解题思路】解题的关键是牢记乘方概念和计算公式，明白乘方的意义是求n个相同因数积的运算即可．
典例13．（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ）

A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【详解】解：绳结表示的数为5×70+3×7+3×72+1×73=5+21+49×3+73=516 故选B
变式13-1．（2022·湖北鄂州·中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（    ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．
故选：C．
变式13-2．（2022·湖南娄底·中考真题）若10x=N，则称x是以10为底N的对数．记作：x=lgN．例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1．对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（    ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【详解】解：∵ lgM+lgN=lg(MN)，
∴ (lg5)2+lg5×lg2+lg2
=lg5(lg5+lg2)+lg2
=lg5·lg10+lg2 =lg5+lg2=lg10=1.故选C
变式13-3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【详解】2200是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
2200=(2100)2≠2002，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32⋯，
∴2的乘方的个位数字4个一循环，
∵200÷4=50，
∴ 2200的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
∵2200=(210)20,1060=(103)20，210=1024, 103=1000，且210>103
∴2200>1060，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
热考题型十四 有理数混合运算
【解题思路】掌握有理数的混合运算运算顺序
典例14．（2022·山东烟台·中考真题）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．

【详解】解：当x=−5，y=3时，12x2+y0=12−52+30=12×26=13．故答案为：13．
变式14-1．（2022·山东烟台·中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．

【详解】解：由题意得：（5-3+2）×6＝24，故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．
变式14-2．（2022·湖北宜昌·中考真题）中国是世界上首先使用负数的国家．两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例．《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给出名为“正负术”的算法．请计算以下涉及“负数”的式子的值：−1−−32=________．
【详解】解：−1−(−3)2=−1−9=−10，故答案为：−10．
变式14-3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算：9−(−2022)0+2−1．
【详解】解：9−(−2022)0+2−1=3−1+12 =52．
变式14-4．（2022·广西·中考真题）计算：(−1+2)×3+22+−4．
【详解】解：原式=1×3+4-4=3+4-4=3．
变式14-5．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
【详解】解：原式＝﹣3+4+4＝5．
变式14-5．（2022·山东临沂·中考真题）计算：
(1)−23÷49×16−13；
(2)1x+1−1x−1．
(1)解：原式=−8×94×−16=−8×94×−16=3．
(2)解：原式=x−1x+1x−1−x+1x+1x−1=x−1−x−1x+1x−1=−2x2−1．
n 科学记数法
形式一：把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（注意：用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1。）
形式二：有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
【易错点（表示小于1的数）】
n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
【解题小技巧】科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数。
n 近似数和有效数字
在实际问题中，有的量不可能或者没有必要用准确数表示，而需用有理数近似地表示出来，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0。）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
热考题型十五 科学记数法与近似数
【解题思路】熟记科学记数法和近似数的定义
典例15．（2022·浙江杭州·中考真题）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用科学记数法可以表示为（    ）
A．14.126×108 B．1.4126×109 C．1.4126×108 D．0.14126×1010
【详解】解：1412600000=1.4126×109．故选：B．
变式15-1（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ）
A．108 B．1012 C．1016 D．1024
【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝104×104×108=1016，故选：C．
变式15-2．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为a×1012，则a的值是（    ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．
变式15-3．（2022·广东深圳·中考真题）某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示（    ）
A．0.15×1013 B．1.5×1012 C．1.5×1013 D．15×1012
【详解】解：1.5万亿=1500000000000=1.5×1012．故选：B．
变式15-4．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
【详解】解：0.0158≈0.016．故选：B．