【中考冲刺】初三数学培优专题 13 旋转变换（含答案）（难）

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旋转变换
阅读与思考
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．
旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；
（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．
例题与求解
【例1】如图，边长为1的正△A1B1C1的中心为O，将正△A1B1C1绕中心O旋转到△A2B2C2，使得A2B2丄B1C1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为＿＿．
（“新知杯”上海市竞赛试题）
解题思路：S六边形ABCDEF＝，解题的关键是寻找CB1，CB2，CD，C1D之间的关系．



【例2】如图，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分别为AB，CB，CD，AD的中点．
求证：四边形NMQP为正方形．
解题思路：连结BD，AC，并延长AC交于点E，则△OAC可以看作是由△OBD绕点O逆时针旋转90°得到的，且∠AED＝90°，这是证明本例的关键．




【例3】如图，巳知在△ABC中，AB＝AC，P为形内一点，且∠APB＜∠APC．
求证：PB＞PC． （北京市竞赛试题）
解题思路：以A为中心，将△APB旋转一个∠BAC，使AB边与AC边重合，这时△APB到了△AP'C的位置．

【例4】点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE，BD交于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝＿＿＿＿；
（2）如图3，若∠BAC＝，则∠AFB＝＿＿＿＿（用含的式子表示）；
（3）将图3中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A，B重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB与∠的数量关系是＿＿＿．
请你任选其中一个结论证明． （武汉市中考试题）

图1
图2
图3
图4
图5

解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC∽△EDC，△BCD∽△ACE，这是解本例的关键．







【例5】如图，已知凸五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．
求证：∠ABC＝60°． （北京市竞赛试题）
解题思路：将△ABE以B为旋转中心顺时针旋转∠ABC，使得AB与BC重合，落在△CBE'位置，则△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．

【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为，求此正
方形的边长． （广东省竞赛试题）
解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA，EB，EC连结起来．


能力训练
A级
1．如图，巳知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为＿＿＿＿． （上海市中考试题）

第1题
第2题
第3题

2．如图，P是正△ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与点P'之间的距离为＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．
（青岛市中考试题）
3．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．将CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，则△ADE的面积是＿＿＿＿．
4．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转（0＜＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么＝＿＿＿＿．
（上海市中考试题）
第4题
第5题
第6题

5．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60°至AB'C'D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．
（全国初中数学联赛试题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜边BC上距离点B6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为＿＿＿．
（黄冈市竞赛试题）
7．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为（，），则点A的坐标为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
（河南省中考试题）
第7题
第8题
第9题

8．如图，已知P是等边△ABC内部一点，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（　　）
A．2︰3︰4 B．3︰4︰5 C．4︰5︰6 D．不能确定
（全国初中数学通讯赛试题）
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，P是△ABC内一点，则（　　）
A．PA＋PB＋PC＜AB＋AC
B．PA＋PB＋PC＞AB＋AC
C．PA＋PB＋PC＝AB＋AC
D．PA＋RB＋PC与AB＋AC的大小关系不确定
（武汉市竞赛试题）


10．已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD．连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转角得到△F′OE′（如图2）．
图1
图2

（1）探究A'E与BF′的数量关系，并给予证明；
（2）当＝30°时，求证：△AOE'为直角三角形．
（南通市中考试题）







11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝，点M，N分别是BE，CF的中点．
（1）若点A与点D重合，点E，F分别在AB，AC上（如图1），则AM与AN的数量关系是＿＿＿＿，∠MAN与的数量关系是＿＿＿＿；
（2）将图1中的△DEF绕点A（D）旋转（如图2），第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
图1
图2







B级
1．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，∠MDN＝60°，则△AMN的周长＝＿＿＿＿．
（重庆市竞赛试题）
第1题
第2题
第3题

2．如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN＝45°，记AM＝，MN＝，BN＝，则以线段，，为边长的三角形的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随，，的变化而变化
（安徽省竞赛试题）
3．如图，直线＝与轴，轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B′的坐标是（　　）
A．（3，4） B．（4，5） C．（7，4） D．（7，3）
（丽水市中考试题）
4．如图，正方形ABCD中，已知AB＝，点分别在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积．
（“希望杯”邀请赛试题）
第4题
图①
图②
第5题

5．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．
求证：BC＋DC＝AC；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝120°，求证：PA＋PD＋PC≥BD．
（江苏省竞赛试题）



6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，△ADE是正三角形，点D在边BC上，已知BD︰DC＝2︰3，当△ABC的面积是50cm2时，求△ADE的面积．
（日本数学奥林匹克试题）
第6题
第7题






7．如图，已知O是锐角三角形ABC内一点，∠AQB＝∠BOC＝∠COA＝120°，P是△ABC内任一点．求证：PA＋PB＋PC≥OA＋OB＋OC．
（杭州市竞赛试题）







8．（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B，C，G在同一条直线上，M为线段AE的中点．探究：线段MD，MF的关系；
（2）如图2，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，M为AE的中点．试问：第（1）问中探究的结论是否成立？
（大连市竞赛试题）
图1
图2
图3

9．已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE＝EF，∠BEF＝90°．按图1的位置，使点F在BC上，取DF的中点G，连结EG，CG．
（1）探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图中△BEF绕点B顺时针旋转45°，再连结DF，取DF中点G（如图2），第（1）问中的结论是否仍然成立？请你证明；
（3）将图1中△BEF绕点B转动任意角度（在0°～90°之间），再连结DF，取DF的中点G（如图3），第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明．
图3
图2
图1





10．在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4）．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为，∠ABO为．
（1）如图1，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（2）如图2，当旋转后满足BC∥轴时，求与之间的数量关系；
（3）当旋转后满足∠AOD＝时，求直线CD的解析式．
（天津市中考试题）
图1
图2
第10题
第11题

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AD，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．
（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）



专题13 旋转变换
例1 如图，连接OB1，OB2，B1B2，则OB1＝OB2，∠OB1B2＝∠OB2B1. 又∠OB1C＝30°＝∠OB2C，∴∠CB1B2＝∠CB2B1，故CB1＝CB2. 同理，B2D＝DC1. 设CB1＝x，则CB2＝x，CD＝x，DC1＝DB2＝2x，于是x＋x＋2x＝1，故＝＝.

例2 ∵N，M分别为线段AB，CB的中点，∴MN＝AC. 同理MQ＝BD，PQ＝AC，PN＝BD. ∵AC＝BD，∴MN＝MQ＝PQ＝PN，∴四边形NMQP为菱形. ∵MN∥AC，MQ∥BD，∴AC⊥BD，∴∠NMQ＝90°，∴菱形NMQP为正方形.
例3 ，，，. 连接，由得，而，即，∴，于是，即.
例4 （1）60° 45° （2）90°－ （3）∠AFB＝90°－ ∠AFB＝90°＋ 对∠AFB＝90°－证明如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，得∠ACB＝∠ECD，，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE. ∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝.
例5 ∵，∴. 连接. ∵，，，∴，得，∴为正三角形，＝60°，又BC＝CD＝CE’，则＝30°. ∴.
例6 将△ABE绕B点逆时针旋转60°，得△FBG，连接GE，FC，则△BEG为等边三角形，GE＝BE，∴FC≤FG＋GE＋EC，即FC≤EA＋EB＋EC，∵FC为定长，∴当E点落在FC上时，FC＝EA＋EB＋EC为最小值. ∵∠FBC＝150°，FB＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝15°，而∠GEB＝60°，∴∠EBC＝45°，即E在正方形ABCD的对角线BD上. 作FH⊥BC交CB延长线于H，设BC＝x，则FB＝x，FH＝，HB＝，在Rt△FHC中，由，得x＝2或x＝－2（舍去），即正方形的边长为2.
例6题图

A级
1. 1或5 2. 6 150° 3. 1 4 . 80或120 5. 2- 提示:如图,过B'作MN//AD，分别AB,CD于M,N,点B’C’交CD于K，则B’M=AB’sin60°=,B’N=1-,AM=,Rt△AKB≌Rt△AKD,∠KAB’=∠KAD=15°,∠ADB’=75°,△ADK∽△DN B’,
,DK=2-,重叠部分面积=2S△AKD =

6. 过P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可证明四边形PMGN为正方形,PM=,S重叠=S正方形PMGN=. 7. D 8. A 9. B 提示:将△CPA绕点A逆时针旋转60°到△C’AP’, 连结PP’, △APP’ 为等边三角形. PB+PP’+P’C=PA+PB+PC＞AB+AC’=AB+AC.
10. (1)AE’=BF’. (2) 证法较多，如取OE’中点G,连结AG. 11. (1)AM=AN,∠MAN=a. (2) 第(1)问的结论仍成立，理由如下:由△ABE≌△ACF得BE=CF,∠ABM=∠CAN,进一步可以证明△ABM≌△CAN.
B 级
1. 2 提示:MN=BM+CN 2. B 提示: △ACM≌△BCD. ∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又CN=CN,则△MNC≌△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又∠DBN=45°+45°=90°,故m2+n2=x2. 3. D 4. 提示:将△ADF'绕点A顺时针方向旋转90°,到△ABG.
的位置, 则△AEF≌△AEG. ∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=,
EF=EG=2(),S△AEF=S△ABG=EG·AB=.
5. (1)提示:延长BC至E,使CE=CD连结DE,证明△ACD≌△BED. (2)将△ABD绕点A旋转60°到△ACB’,连结B’D,B’P,则四边形AB’DP符合(1)的条件,于是B’P=PA+PD连结AC,则△ABD≌△ACB’. BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,从而BD≤PA+PD+PC.

6. 直接解题有困难, △ABC绕点A逆时针旋转120°,240°拼成正△MBC(如图),则正△ADE变为正△AD1E1和正△AD2E2易知,六边形DE D1E1 D2E2是正六边形, △DD1D2是正三角形, 其面积是△ADE面积的3倍. . 因此,设法由正△MBC面积为150求出△DD1D2的面积, 问题就解决了. 注意到BD:DC=CD1:D1M=MD2:D2B=2:3, 连结DM, 则S△ADE=S△ABD=36cm2,而=36cm2. 同理,可得=150-3×36=42cm2,故S△ADE==14cm2.

7. 如图,将BP,BO,BC绕点B沿顺时针方向旋转60°，变为BP'，BO’,BC’ 连结OO’,PP’,则
△BOO’, △BPP’ 都是正三角形. 因此OO’=OB,PP’=PB, 显然△BO’C’ ≌△BOC, △BP’C ≌△BPC, 由于∠BO’C=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A,O,O’,C’ 四点共线. 故AP+PP’+P’C≥AC’=AO+OO’+O’C, 即PA+PB+PC≥OA+OB+OC.

8. (1)提示:延长DM交EF于N,由△ADM ≌△ENM,得DM=MN,MF=DN,FD=FN,故MD丄MF. (2)延长DM交CE于N,连结DF,FN先证明△ADM ≌△ENM,再证明△CDF ≌△ENF.
第(1)问中的结论仍成立. (3)第(1)问中的结论仍成立,延长DM至N,使MN=DM,连结DF,FN,证法同上.
(9)提示:EG=CG,EG丄CG,B, E,D在一条直线上,(2)仍然成立，延长EG 交CD于H点△FEG ≌△DHG, △ECH,△ECG为等腰直角三角形. (3) 仍然成立.
10. (1) (2)a＝2b (3)如图1, △OAE ≌△DAE, △ABO≌△ABD,B,D,C,三点共线. 设D(a,b),则解得,∴,可得直线CD的解析式为. 如图2,同理可得, .

11. 提示:易证∠ACB=90°,如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°,得到△AQO,点D为AB的中点，连结PQ, 得到△APQ为等边三角形. 过点Q作QE丄AP,垂足为E,则∠AQE=30°,
QE=,AE=PE连结DE,则DE=BP=，于是DE2=()2=QE2+QD2,从而∠DQE=90°,
∠AQD=∠AQE+∠EQD=120°=∠APC. 过点C作CF丄AP交AP的延长线于点F，得到
∠CPF=60°,∵PC=2,∴PF=1,CF=,于是AC2=AF2+CF2=,
∴S△ABC=2S△ACD=