【小升初数学专项训练】07方阵问题（含答案）

这是一份【小升初数学专项训练】07方阵问题（含答案），共61页。试卷主要包含了人参加入场式，学校大楼前摆放了一个方阵花坛等内容，欢迎下载使用。

第7讲 方阵问题
A 较易
【例1】 1．四年级的同学参加“六一”儿童节的团体操表演，每横排人数同样多，每竖排人数也同样多．王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人，从前数第9人，从后数第7人．则参加表演的同学有（）人．
A．272 B．255 C．245 D．210
【考点】N6：方阵问题．
【分析】由“王箐的位置是从左数第10人，从右数第8人”条件，得知王箐所在的这一横排中有10+8﹣1=17人（10、8两个数字中都包括了王箐），即每横排有17人；同理得，每竖排有9+7﹣1=15人，这样用17×15即可求出问题的答案了．
【解答】解：10+8﹣1=17（人）
9+7﹣1=15（人）
17×15=255（人）
故选：B．

【例2】 2．一个正方形池塘的边长是12米，要在池塘四周每隔2米栽一棵树，四个顶点各栽一棵，一共要栽（）棵树．
A．30 B．28 C．26 D．24
【考点】N6：方阵问题．
【专题】455：植树问题．
【分析】（1）先求出12里面有几个2，再加1就是每边最多栽的棵数；
（2）再用每边栽的棵数×4﹣4即可解答．
【解答】解：12÷2+1=7（棵），
7×4﹣4=24（盆），
答：一共要栽24棵树．
故选：D．

【例3】 3．（2015•创新杯）三（2）班学生排成每行人数相同的队伍（正方形方阵），参加学校运动会入场式，梅红的位置从前数是第5个，从后数是第3个；从左数是第3个，从右数是第5个，那么该班有（）人参加入场式．
A．64 B．63 C．56 D．49
【考点】N6：方阵问题．
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？5+3=8个，这时候梅红加了两次，所以每行应该有5+3﹣1人；
二：队伍的行数？用同样的方法，共有5+3﹣1（人），
最后用每行人数×行数，即可．
【解答】解：（5+3﹣1）×（5+3﹣1）[来源:学科网ZXXK]
=7×7
=49（人）
答：该班有49人参加入场式．
故选：D．

【例4】 4．（2014•迎春杯）如图是由15个点组成的三角形点阵，在右图中至少去掉（）个点，就不会再出现以图中的点为顶点的正三角形了．

A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】

设最小正三角形的边长为1，即两个相邻格点的距离为1，要使不会再出现以图中的点为顶点的正三角形，就必须使任何三个点都不能组成正三角形，并且为使最少，尽量去掉公共点，据此解答即可．
【解答】解：设最小正三角形的边长为1，如图1所示，以A为顶点可以组成边长为4、3、2、1的等边三角形，所以A点必须去掉，同理B、C也必须去掉．
如图2所示（空白表示必须去掉的点），围成了四个边长为2的等边三角形和若干个边长为1的等边三角形，所以必须去掉O、D、E、F．
因此共去掉了7个点．
故选：B．

【例5】 5．（2017•中环杯）小明所在学校举办运动会，所有学生站成了一个12×12的实心方阵，这个方阵的最外层有44人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】所有学生站成了一个12×12的实心方阵，说明这个方阵的最外层每边有12人，然后根据最外层人数=每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
【解答】解：12×4﹣4
=48﹣4
=44（人）
答：这个方阵的最外层有 44人．
故答案为：44．

【例6】 6．（2015•迎春杯）小鱼老师站在一个9行9列的正方形队列中，她发现自己正前方有2个人；全体右转后，小鱼老师发现自己正前方变成了4个人；如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有6人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】对于小鱼老师来说，她连续向右转后，就相当于小鱼老师直接向后转，这样问题就简化为，小鱼老师后面有2个人，去掉小鱼老师自己，根据方阵问题的特点还有9﹣2﹣1=6人；据此解答即可．
【解答】解：9﹣2﹣1=6（人）
答：如果再全体右转，小鱼老师将发现自己正前方有 6人．
故答案为：6．

【例7】 7．（2015•学而思杯）为纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利70周年，2015年9月3日在天安门广场举行了盛大的阅兵式．受阅部队中有10个英模部队方队，已知每个英模部队方队有14排，每排25人．那么，受阅的10个英模方队共有3500人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】每个英模部队方队有14排，每排25人，每个方队就有14个25人，用25乘上14求出每个方队的人数，再乘10，即可求出10个方队一共有多少人．
【解答】解：25×14×10[来源:Z.xx.k.Com]
=350×10
=3500（人）
答：受阅的10个英模方队共有 3500人．
故答案为：3500．

【例8】 8．（2014•迎春杯）同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有81人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】小海的前后左右都是第5个，包括他自己在内，每行每列都是5+5﹣1=9人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有9个人，根据实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得：
5+5﹣1=9（人）
9×9=81（人）
答：参加广播操表演的共有81人．
故答案为：81．

【例9】 9．（2014•育苗杯）学校大楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆了10盆花，那么这个花坛最外层共摆了36盆花．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】这个方阵花坛的最外层每边有花盆10盆，可以看做每边点数为10的方阵问题，根据最外层四周的总点数=每边点数×4﹣4，即可解决问题．
【解答】解：10×4﹣4
=40﹣4
=36（盆），
答：最外层一共摆了36盆．
故答案为：36．

【例10】 10．（2011•走美杯）运动会入场式要求运动员排成9行9列的正方形方阵．如果去掉2行2列，每个方阵减少32名运动员．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】9行9列，共有9×9=81人，如果去掉2行2列，还剩9﹣2=7行，9﹣2=7列，还剩7×7=49（人），然后用总人数减去剩下的人数就是减少的人数．
【解答】解：9﹣2=7（人），
9×9=81（人），
7×7=49（人），
81﹣49=32（人）；
答：每个方阵减少 32名运动员．

【例11】 11．（2006•希望杯）希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图中实线所示，从第1行第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵．小明的编号是28，他排在第3行第4列，则运动员共有144人．

【考点】N6：方阵问题．
【分析】由题意知小明排在28号，在第3行第4列，那么前两行共有28﹣4=24人，每行有24÷2=12人，又前两行人数相同，则各为12人，又是方阵，则共有12×12=144人．
【解答】解：28号在第3行第4列，那么前两行共有28﹣4=24人，每行有24÷2=12人，又是方阵，则总人数为12×12=144（人）．
故答案为：144．

【例12】 12．军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】由题意知，我们直接利用“方阵问题”的基本公式即可解答．
【解答】解：7×2﹣1=13（人）
故：此空为13．

【例13】 13．（2016•其他杯赛）要在一个正方形的花园四周的边上种树，每边都种10棵，并且四个角上都有种1棵，一共要准备36棵树苗．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据方阵问题的公式：四周点数=（每边点数﹣1）×4，代入数据解答即可．
【解答】解：（10﹣1）×4
=9×4
=36（棵）
答：一共要准备36棵树苗．
故答案为：36．

【例14】 14．（2016•学而思杯）一群学生组成了一个两层空心方阵，在原有方阵的最外层再增加一层，增加 后的总人数为原来人数的两倍．如果想让这个三层空心方阵变成一个实心方阵，至少还需要再补充1名学生．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】由题意，新增加最外层人数和原来两层人数和相等，根据最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
【解答】解：在原有方阵的最外层再增加一层，增加后的总人数为原来人数的两倍，则新增加最外层人数和原来两层人数和相等，
因为最外层和第二层相差8，所以最内层为8名学生，则要想变成一个实心方阵，至少需要在中间补充1名学生．
故答案为1．

【例15】 15．（2015•陈省身杯）阳光小学的学生在操场上排成一个实心正方形方阵．已知方阵最外面一圈都是男生，向内相邻一圈都是女生，然后再向内相邻一圈都是男生…如此下去直到最里面一圈．如果男生总数比女生总数多28人，那么整个方阵共有学生196 人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据方阵知识可知，相邻每边的人数相差2，所以相邻的内外圈相差2×4=8人，28÷8=3…4人，所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2=6圈，所以最外圈有4+6×8=52人，然后根据等差数列公式即可求出总人数．
【解答】解：相邻的内外圈相差：2×4=8（人）
因为28÷8=3…4（人），所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有3×2=6圈，
所以最外圈有：4+6×8=52（人）
（4+52）×（6+1）÷2
=56×7×2
=196（人）
故答案为196．

【例16】 16．（2015•走美杯）某小学三年级的部分学生排成一个实心正方形方阵，最外面3层有学生72人，这个方阵共有学生81人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】因为方阵中，从外向内每边的人数依次减少2人，所以依次相差：2×4=8人，8×2=16人，假设3层人数都和最外层人数相等，共有学生72+8+16=96人，所以最外层的人数是：96÷3=32人，则每边的人数是：32÷4+1=9人，然后根据“实心方阵：总人数=每边人数×每边人数”解答即可．
【解答】解：（72+2×4+2×4×2）÷3÷4+1
=96÷3÷4+1
=32÷4+1
=9（人）
9×9=81（人）
答：这个方阵共有学生 81人．
故答案为：81．

【例17】 17．（2015•学而思杯）一个四层的空心方阵，如果最外层人数是最内层人数的2倍，那么，这个空心方阵一共有144个人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】在方阵问题中，相邻的里外两层每边的人数相差2人，所以四层的空心方阵最外层每边人数比最内层每边人数多：2×（4﹣1）=6人，一共多6×4=24人，根据差倍公式可得最内层人数是：24÷（2﹣1）=24人，则最外层人数是：24×2=48人，最外层每边的人数是：（48+4）÷4=13人，然后再根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4”解答即可．
【解答】解：最外层比最内层多：2×（4﹣1）×4
=6×4
=24（人）
最内层人数是：24÷（2﹣1）=24（人）
最外层人数是：24×2=48（人）
最外层每边的人数是：（48+4）÷4=13（人）
总人数是：（13﹣4）×4×4
=9×16
=144（人）
答：这个空心方阵一共有 144个人．
故答案为：144．

【例18】 18．（2014•春蕾杯）有一队学生排成一个空心方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有160人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有52人，最内层有28人，则方阵的层数：（52﹣28）÷8+l=4（层）；最外层每边的人数52÷4+1=14人，共52人，由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：方阵的层数：（52﹣28）÷8+l
=3+1
=4（层）；
最外层每边的人数：52÷4+1
=13+1
=14（人）；
总人数：（14﹣4）×4×4
=10×16
=160（人）；
答：这一队学生共有160人．
故答案为：160．

【例19】 19．有若干盆鲜花摆成一个四层的中空方阵，最外层每边有12盆，一共摆了多少盆鲜花？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】由题意知，要求这个四层空心方阵一共摆了多少盆鲜花，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．
【解答】解：（12﹣4）×4×4
=8×16
=128（盆）
答：一共摆了128盆鲜花．

【例20】 20．一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】若干名运动员站成20行20列的方阵，现在去掉4行4列，现在是（20﹣4）行（20﹣4）列，然后根据“实心方阵：总人数=每边人数×每边人数”求出原来和现在的总人数，再相减即可．
【解答】解答：20﹣4=16（人）
20×20=400（人）
16×16=256（人）
400﹣256=144（人）
答：要减少144人．

【例21】 21．晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个．晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．
【解答】解：（14﹣3）×3×4
=11×3×4
=132（个）
答：晶晶摆这个方阵共用围棋子132个．

【例22】 22．做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人．问：原有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】当扩大方阵时，需补充10+15=25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13=169（人），去掉15人，就是原来人数．
【解答】解：扩大的方阵每边上有：（10+15+1）÷2=13（人）；
原来人数：13×13﹣15=154（人）；
答：原来有154人．

【例23】 23．棋子若干粒，恰好可排成每边8粒的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少粒？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】棋子排成每边8粒的正方形，即每排八粒，共八排，可见棋子总数是8个8粒，即8×8=64粒，最外层的棋子数可按公式：一周总点数=每边粒数×4﹣4求得．
【解答】解：8×8=64（粒）
8×4﹣4
=32﹣4
=28（粒）
答：棋子共有64粒，最外层有28粒．

【例24】 24．一些学生，如果排成三层空心方阵，则多24人，如果在中间空心部分接一层，则少8人，共有多少学生？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】由题意知，空心部分接的这一层的总人数是24+8=32人，进而求得其每边的人数是9人；由此可推出方阵的最外层每边人数是9+2×3=15人，之后就可根据“求多层空心方阵总人数的公式”即可得到排成四层空心方阵需要的人数176人，实际还差8人，这样就可知道实际共有的学生人数了．
【解答】解：24+8=32（人）
32÷4+1=9（人）
9+3×2=15（人）
（15﹣4）×4×4=176（人）
176﹣8=168（人）
答：共有168人．

【例25】 25．一个五层正方形空心花坛最里层每边摆5盆花，这个花坛共有多少盆花？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】由题意得空心花坛最外层每边摆的花盆数，即5+2×4=13盆；接着再根据“求多层空心方阵总盆数的公式”即可求得问题的答案．
【解答】解：5+2×（5﹣1）=13（盆）
（13﹣5）×5×4=160（盆）
答：这个花坛共有160盆花．

【例26】 26．一座大型雕像周围用盆花摆了一个4层的正方形花坛，这些盆花如果摆成两层的正方形花坛，最外一层的盆花数比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆．问摆这个正方形花坛用了多少盆花？（用算术法解答）
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】在方阵问题中，相邻两边的点数相差2，所以4层方阵都比最里层每边多2、4、6盆，如果每层都相等，总共多（2+4+6）×4=48盆；同理，由于摆成两层比摆成4层的最外一层盆花数每边多8盆，所以两层方阵最外层和4层方阵相比较，比最里层每边多6+8=14盆，另一层多14﹣2=12盆，总共多（12+14）×4=104盆；这样根据盈亏问题可得4层方阵最里层有：（104﹣48）÷（4﹣2）=28盆，则向外三层分别是36、44、52盆，然后相加即可．
【解答】解：根据分析可得，
（2+4+6）×4
=12×4
=48（盆）
6+8=14（盆）
14﹣2=12（盆）
（12+14）×4
=26×4
=104（盆）
（104﹣48）÷（4﹣2）
=56÷2
=28（盆）
28+2×4=36（盆）
36+2×4=44（盆）
44+2×4=52（盆）
28+36+44+52=160（盆）
答：摆这个正方形花坛用了160盆花．

【例27】 27．四年级参加军训的学生排成一个方阵进行汇报演习，这个方阵最外层每边有15名学生．
（1）最外层一共有多少名学生？
（2）这个方阵一共有多少名学生？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】（1）根据公式：最外层人数=每边人数×4﹣4；代入数据即可解答．
（2）根据公式：实心方阵中总人数=每边人数×每边人数；代入数据即可解答．
【解答】解：（1）15×4﹣4
=60﹣4[来源:学.科.网]
=56（名），
15×15=225（名），
答：最外层一共有56名学生，这个方阵一共有225名学生．

【例28】 28．在正方形毛巾四周绣花，四个顶点各有一朵，如果每边都绣有5朵花，毛巾四周一共绣了多少朵花？（先在图中用“○”画一画，再算一算）

【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】本题看作一个空心方阵问题，利用方阵最外层四周点数=每边点数×4﹣4计算出最外层四周点数即可．
【解答】解：画图如下：

5×4﹣4
=20﹣4
=16（朵）
答：毛巾四周一共绣了16朵花．

【例29】 29．育才小学有学生420人，排成了一个三成的空心方阵，这个方阵的最外层每边有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，已知共有学生420人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可．
【解答】解：420÷4÷3+3
=35+3
=38（人）
答：这个方阵的最外层每边38人．

【例30】 30．工人叔叔排成一个空心方阵，最外层共有68人，最内层共有44人，工人叔叔一共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据公式：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，层数=（最外层每边的人数﹣内层每边的人数）÷2+1，代入数据解答即可．
【解答】解：68÷4+1=18（人）
44÷4+1=12（人）
（18﹣12）÷2+1=4（层）
（18﹣4）×4×4
=14×4×4
=224（人）
答：工人叔叔一共有224人．

【例31】 31．同学们做操，无论是每行6人，还是每行8人或9人，都刚好能排成一个完整的长方形方阵，已知做操人数在100到200人之间．做操的一共有几人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】求这个班学生的总人数，根据题意，也就是求6、9和8的公倍数，但数量在100到200人之间即可．
【解答】解：因为9=3×3，6=3×2，8=2×2×2，
所以6、8和9的最小公倍数是：3×3×2×2×2=72，
因为72的2倍是144，在100到200人之间，符合题意，
所以做操的一共有72人．
答：做操的一共有72人．

【例32】 32．参加军训的学生排成了一个正方形队列进行表演，如果这个队列横竖各增加一排，还需要补充21人．参加队列表演的学生有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】先求出现在最外层每边的人数：（21+1）÷2=11（人），然后根据“中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数”，求出原来参加队列表演的师生有多少人即可，列式为：11×11﹣21=100（人）．
【解答】解：（21+1）÷2=11（人），
11×11﹣21
=121﹣21
=100（人）；
答：原来参加队列表演的师生有100人．

【例33】 33．如图是一个五边形点阵，它的中心点算是第一层，第二层每边两个点（五边形顶点为相邻两边共用）第三层每边三个点…若此点阵共有100层，试求出点阵中点的总数．

【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】第一层有1个点，第二层有5个点，第三层有10个点，第四层有15个点，第n（第一层除外）层就用（n﹣1）×5个点，那么除了第一层剩下的部分是一个公差是5的等差数列，由此求出2～100这99层的数量和，再加上1个即可．
【解答】解：第一层有1个点，第二层有5个点，第三层有10个点，第四层有15个点，
第n（第一层除外）层就用（n﹣1）×5个点，
第100层有（100﹣1）×5=495个点
（5+495）×99÷2+1
=24750+1
=24751（个）
答：点阵中点的总数是24751．

【例34】 34．用若干枚棋子摆成一个正方形，最外层共有60枚．这个正方形共用棋子多少枚？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】已知正方形最外层摆满需60枚棋子，根据方阵中“每边的枚数=四周的枚数÷4+1”可求得最外层每边摆了多少枚棋子，内部全部摆满，则形成一个实心方阵，要求共需多少棋子，用每边棋子数×每边棋子数=总棋子数解答即可．
【解答】解：60÷4+1=16（枚）
16×16=256（枚）
答：这个正方形共用棋子256枚．

【例35】 35．有一个站了3层人的“中空方阵”．最外层每边站10人．算一算：全阵共站了多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据公式“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总数．
【解答】解：（10﹣3）×3×4
=7×3×4
=84（人）
答：全阵共站了84人．

【例36】 36．做广播操时，某年级排成了25人一行的正方形方阵，这个方阵共有多少人？最外层共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据公式：中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，代入数据解答即可．
【解答】解：25×25=625（人）
（25﹣1）×4=96（人），
答：这个方阵共有625人，最外一层共有96人．

【例37】 37．同学们进行广播操比赛，五、六年级学生排成一个正方形方阵，最外层共有80名学生，最外层每边各有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：80÷4+1=21（名），因此这个方阵共有学生21×21=441（名），据此解答．
【解答】解：80÷4+1=21（名）
21×21=441（名）
答：最外层每边各有21名学生，整个方阵一共有441名学生．

【例38】 38．某班同学在军训队列表演中恰好站成一个8×8的方阵，若让这些同学在一条250米长的笔直的马路上站岗，以一端开始每隔5米站一个人，则站满之后还剩下多少人？
【考点】N5：植树问题；N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】站成一个8×8的方阵，则共有8×8=64人，由于两端都站，所以250米长的马路包括250÷5=50个5米长的段（间隔数），所以站岗需要50+1=51人，站满后还剩下64﹣51=13人．
【解答】解：8×8=64（人），
250÷5=50（个），
50+1=51（人），[来源:学§科§网Z§X§X§K]
剩下：64﹣51=13（人）；
答：站满后还剩下13人．

【例39】 39．（2017•学而思杯）艺术节上，同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面增加一层成为三层方阵，至少需要多少盆花？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由于方阵相邻两层每边相差2盆，共相差8盆，所以用（64+8）÷2可求得两层空心方阵的最外层有多少盆，再加上8盆就是在外面增加一层需要的盆数．
【解答】解：（64+8）÷2+8
=72÷2+8
=36+8
=44（盆）
答：至少需要44盆花．

【例40】 40．96名少先队员进行团体操表演，排成了一个四层的空心方阵，最外层每边有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，这是一个4层空心方阵，已知共有学生96人，要求最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数，据此解答即可．
【解答】解：96÷4÷4+4
=6+4
=10（人），
答：这个方阵的最外层每边10人．

【例41】 41．运动会的表演方队由306名同学组成，怎样站队才能使每行人数每列人数尽可能的接近？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】要使每行人数每列人数尽可能的接近，把306人分解成两个数的乘积，这两个数越接近即可．
【解答】解：306=17×18
所以这个方阵每行17人，每列18人即可．
答：这个方阵每行17人，每列18人．

【例42】 42．在一个合唱队中在前面看小明的位置是（9，7），在后面看的位置看是（3，5），请你算一算这个合唱队共有多少人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】48L：传统应用题专题．
【分析】在前面看的位置是（9，7），从前面数她是第9列，第7行；向后转再看，位置是（3，5），她就是第3列，第5行；那么一共就有9+3﹣1=11列，7+5﹣1=11行；总人数就是11×11=121（人）．
【解答】解：（9+3﹣1）×（7+5﹣1）
=11×11
=121（人）；
答：这个合唱队共有121人．

【例43】 43．一个正方形大舞台周长是120米，在4个角上都摆上一盆花，每条边上都摆了11盆花．每盆花之间相距多少米？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】此题属于空心方阵问题，根据四周点数=每边点数×4﹣4求出一共有几盆花，然后用正方形的周长除以盆数即可解答．
【解答】解：120÷（11×4﹣4）
=120÷40
=3（米）
答：每盆花之间相距3米．

【例44】 44．学校举行队列比赛吋，四年级6个班排成一个大方阵，最外层每边有20人，一周一共有76人．次外层每边有多少人？次外层一周共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】（1）在方阵问题中相邻的两层每边的点数相差2，由于最外层每边有20人，则次外层每边有：20﹣2=18（人）；
（2）根据四周的人数=（每边的人数﹣1）×4，可得次外层一周共有：（18﹣1）×4=68（人），据此解答即可．
【解答】解：（1）20﹣2=18（人）
（2）（18﹣1）×4
=17×4
=68（人）
答：次外层每边有18人，次外层一周共有68人．

【例45】 45．果园正方形池塘边要种柳树，每边栽6棵，最多栽多少棵？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据题意，在一个正方形池塘栽树，每边栽6棵，乘上边数4，即，6×4=24棵，因为4个角都不栽树，这时就最多．
【解答】解：6×4=24（棵）
答：最多栽24棵．

【例46】 46．将棋子排成正方形，甲乙两儿童自其外周起，轮流取一周，结果甲比乙多得24粒，求棋子总数．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】因棋子排成的是正方形，所以最里面的方阵有4粒棋子，根据方阵的特点，每外层棋子比内层棋子多8粒，每条外边比内边多2粒，根据甲比乙多得了24粒，可求出甲拿了几层，据此可求出总层数，进而求出最外层的粒数，然后求出棋子总数即可．
【解答】解：24÷8=3（层）
3×2=6（层）
2+（6﹣1）×2
=2+5×2
=12（粒）
12×12=144（粒）
答：棋子总数是144粒．

【例47】 47．花坛里前、后、左、右都种了8棵柳树，一共种了多少棵柳树？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】花坛里前、后、左、右都种了8棵柳树，说明每条边上都种了8棵柳树，把它看作一个空心方阵，那么一共种了8×4﹣4棵柳树．
【解答】解：8×4﹣4
=32﹣4
=28（棵）
答：一共种了28棵柳树．

【例48】 48．一个实心方阵，最外层共有44人．请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵减少一半，一共减少了多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】（1）因为方阵的四个角上都是重复的，方阵的四个角上都是重复了一次，所以计算时要减去，算每边人数时，先用总数加上4，所以每边上有（44+4）÷4=12人；
（2）减少一半就是由原来的12行12列，减少到6行6列，6行6列就是6×6=36人，进而算出减少的即可．
【解答】解：（1）（44+4）÷4=12（人）
12×12=144（人）
答：这个方阵共有144人．

（2）减少一半就是6行6列，
144﹣6×6
=144﹣36
=108（人）
答：一共减少了108人．

【例49】 49．用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面，由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖…这样依次铺下次，一共使用了400块瓷砖．请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】一共使用了400块瓷砖，而20×20=400，说明该方阵是20行20列，因为是方阵，所以相邻的两层每边相差2块，每层相差8块，说明红色的瓷砖多从最外层开始每两层相差8块，那么共5个两层，所以相差40块．
【解答】解：因为：20×20=400块
所以该方阵是20行20列10层红色，10层绿色，而且从最外层起，相邻的红色瓷砖比与之相邻的绿色瓷砖多：
2×4=8块
8×5=40块
答：这个墙面上红颜色的瓷砖更多，两种瓷砖相差40块．

【例50】 50．一个正方形方队，外层有100人，问此方队共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：100÷4+1=26（人），因此这个方队共有26×26=676（人），据此解答．
【解答】解：100÷4+1=26（人），
26×26=676（人），
答：这个方队共有676人．


B 中等
【例51】 1．（2012•华罗庚金杯）小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成﹣边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了（）枚棋子．
A．285 B．171 C．95 D．57
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】45=1×45=3×15=5×9，既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，可能是：3、5、9、15这四种．要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，因此最终的较大点阵是15×19=285枚棋子．
【解答】解：45=1×45=3×15=5×9
既然是长方形，1×45这种不用考虑，所以长方形不变的这条边长，
可能是：3、5、9、15这四种，
要使用最多棋子，则不变的边长只能是15，棋盘最长是19格，
因此最终的较大点阵是：15×19=285（枚）；
故选：A．

【例52】 2．（2015•育苗杯）用同一规格的瓷砖铺一块正方形地面，铺的要求如图所示，正方形地面的两条对角线都用黑色，其余地方铺白色，而且黑色的瓷砖用了1001块，那么白色的瓷砖共用了250000块．

【考点】N6：方阵问题．
【分析】一条对角线上的块数等于正方形边长上的块数，由于两条对角线上的中心共用一块，所以，正方形边长上的块数是（1001+1）÷2=501块，利用实心方阵总点数=每边点数×每边点数，先求得黑白瓷砖的总块数为501×501=251001块，然后用总块数减去黑色的瓷砖即为白色的瓷砖，据此解答即可．
【解答】解：每条边上的瓷砖块数为：（1001+1）÷2=501（块）
黑白色瓷砖之和为：501×501=251001（块），
所以白色瓷砖的块数为：251001﹣1001=250000（块）
答：白色的瓷砖共用了250000块．
故答案为：250000．

【例53】 3．（2014•希望杯）体操表演者排成每一横行和每一竖列中的人数相同的方阵，每个方阵最外一圈有16人，若四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的最外一圈有36人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由于四个顶点上的人属于相邻的两个边公共的人，所以每边的人数是：16÷4+1=5（人），因此每个方阵共有学生5×5=25（人），四个这样的方阵恰好可以并成一个大方阵，则大方阵的总人数为25×4=100（人），因为100=10×10，所以每行就有10人，最外圈的人数就是10×4﹣4=36（人）．据此解答．
【解答】解：16÷4+1=5（人）
5×5=25（人）
25×4=100（人）
10×4﹣4=36（人）
答：大方阵的最外一圈有36人．
故答案为：36．

【例54】 4．（2013•走美杯）如图：40个点组成一个两层的中空方阵，请去掉两个点，并用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形．

【考点】N6：方阵问题．
【分析】可以去掉最外层相对的两个角上的点，然后用直线将其余的点连成两个大小相同的正方形；据此解答即可．
【解答】解：


【例55】 5．（2013•春蕾杯）一群解放军战士排成一个三层空心方阵多出9人，如果在空心部分再增 加一层，还差7人，这群战士共有105人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意可知，增加的一层需要9+7=16人，设此层每边为A人，可得16=（A﹣4）×4×4，求得A=5，则最外层人数为5+3×2=11人，所以总数=（11﹣3）×3×4+9=105人，据此解答．
【解答】解：设此层每边为A人，由题意可得：
16=（A﹣4）×4×4，
16A=80，
A=5，
则最外层人数为5+3×2=11人，
总人数：（11﹣3）×3×4+9，
=8×3×4+9，
=105（人），
答：这群战士共有105人．
故答案为：105．

【例56】 6．（2012•其他模拟）有士兵若干人，排成实心长方阵不足17人，若长、宽各少1人就余12人，已知长比宽多6人，那么士兵有199人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】设长x人 那么宽有x﹣6人，那么原来总人数就可以表示为：x（x﹣6）﹣17人；后来长、宽各减少1人后分别是：（x﹣1）人，（x﹣6﹣1）人，总人数又可以表示为：（x﹣1）（x﹣6﹣1）+12人，根据总人数不变，列出方程出长的人数，进而求出宽的人数和总人数．
【解答】解：设长x人，那么宽有x﹣6人，由题意得：
x（x﹣6）﹣17=（x﹣1）（x﹣6﹣1）+12，
x2﹣6x=x2﹣8x+7+29，
2x=36，
x=18；
士兵人数：18×（18﹣6）﹣17，
=18×12﹣17，
=216﹣17，
=199（人）；
答：士兵有199人．
故答案为：199．

【例57】 7．（2012•其他模拟）游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了一个空心方阵，最外面每边 13人，最内层每边7 人，那么彩车周围的少先队员有144人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】先算出中空边长数：7﹣2=5（人），然后根据公式“外层边长数2﹣中空边长数2=实面积数”代入数据求出总人数，列式为：132﹣52=144（人）；据此解答
【解答】解：根据分析可得，
7﹣2=5（人），
132﹣52
=169﹣25，
=144（人）；
答：彩车周围的少先队员有144人．
故答案为：144．

【例58】 8．（2012•其他模拟）有学生若干人，如果排成实心方阵，则不足14人；如果每边少排1人，就余41人，那么学生一共有770人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】如果每边少排1人，就相当于原来减少两个边的人数，根据盈亏问题可以求出原来两个边的人数：14+41=55人，那么原来方阵每个边的人数是：（55+1）÷2=28（人）；再根据中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数，求出总人数，列式为：28×28=784（人），然后减去14人，就是实有人数．
【解答】解：根据分析可得，
（14+41+1）÷2=28（人）；
28×28﹣14，
=784﹣14，
=770（人），
答：学生一共有770人．
故答案为：770．

【例59】 9．（2012•其他模拟）今有棋子若干枚，它们恰好可以排成一个外层每边10枚棋子的4层空心方阵，那么这些棋子的总数是多少？最外层共有棋子36枚．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据公式“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”求出这个方阵的总数；外层每边10枚，一共是10×4=40枚棋子，但是4个角上都多算了一次，再减去4就是最外层的棋子数．
【解答】解：
（10﹣4）×4×4，
=6×4×4，
=96（枚）；
10×4﹣4，
=40﹣4，
=36（枚）；
答：那么这些棋子的总数是96枚，最外层共有棋子36枚．
故答案为：36．

【例60】 10．（2012•其他模拟）有一体育馆，地面想要铺瓷砖，排成空心方阵，外层每边26块，内层每边20块，一共使用了352块．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8块，最外层一共有26×4﹣4=100块，最内层一共有20×4﹣4=76块；（100﹣76）÷8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，则中间的2层分别是：76+8=84块；84+8=92块，由此即可求出这个方阵中一共使用了多少块．
【解答】解：最外层一共有：26×4﹣4=100（块），
最内层一共有：20×4﹣4=76（块），
（100﹣76）÷8=3个间隔，所以这是一个4层的中空方阵，
则中间的2层分别是：76+8=84（块），84+8=92（块），
所以方阵中一共有：100+92+84+76=352（块）；
答：这个空心方阵一共使用了352块．
故答案为：352．

【例61】 11．（2011•其他模拟）888个同学排成一个方阵做操．从前面往后数，小明是第15个；从左面往右数，小明是第30个．那么从后面往前数，小明是第10个．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】888=8×3×37 由小明的位置来看，方阵的长大于30，宽大于15，所以方阵的长为37，宽为8×3=24 那么从后往前数24﹣15+1=10，即从后往前数，小明是第10个，据此即可解答问题．
【解答】解：888=8×3×37 由小明的位置来看，方阵的长大于30，宽大于15，
所以方阵的长为37，宽为8×3=24，
那么从后往前数24﹣15+1=10，
即从后往前数，小明是第10个．
答：从后面往前数，小明是第 10个．
故答案为：10．

【例62】 12．（2010•华罗庚金杯）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于141．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15=225人，设有k个方阵，那么8n=225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141．
【解答】解：设有k个方阵，那么8n=225k+3，
当k=1时，225+3=228，不是8的倍数；不符合题意；
当k=2时，225×2+3=453，不是8的倍数，不符合题意；
当k=3时，225×3+3=678，不是8的倍数，不符合题意；
当k=4时，225×4+3=903，不是8的倍数，不符合题意；
当k=5时，225×5+3=1128，是1128÷8=141；
答：k最小为5时，n最小为141．
故答案为：141．

【例63】 13．（2008•走美杯）100位同学都面向主席台，排成l0行10列的方阵．小明在方阵中，他的正左方有2位同学，正前方有4位同学．若整个方阵的同学向右转，则小明的正左方有4 位同学，正前方有7 位同学．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】464：图形与位置．
【分析】根据题意，并结合方位可知：小明的正左方有2位同学，正前方有4位同学，那么他的正右方有7个同学，正后方有5个同学；现在小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方，现在的正前方是原来的正右方；由此解答即可．
【解答】解：小明的正左方有2位同学，正前方有4位同学．那么他的正右方有7个同学，正后方有5个同学．现在小明向右转，转动之后他现在的正左方是原来的正前方有4个同学，现在的正前方是原来的正右方有7个同学；
故答案为：4，7．

【例64】 14．做广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）还多10人，如果站成一个每边多1人的实心方阵，则还缺少15人，原来有154人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】当扩大方阵时，需补充10+15=25（人），这25人应站在扩充的方阵的两邻边处，形成一层人构成的直角拐角．补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13（人）．因此，扩大的方阵共有13×13=169（人），去掉15人，就是原来人数．
【解答】解：扩大的方阵每边上有：（10+15+1）÷2=13（人）
原来人数：13×13﹣15=154（人）
答：原来有154人．
故答案为：154．

【例65】 15．四年级同学参加体操表演，先排成每边16人的实心方阵队形，后来又变成一个四层空心方阵，这个中空方阵最外层有76人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】我们先据“排成每边16人的实心方阵”条件求得参加表演的总人数为162=256人；再结合公式“多层空心方阵总人数=（最外层每边人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵层数×4”即可求得“变成一个4层的空心方阵后最外层每边的人，进而也就能求出最外层的人数了”．
【解答】解：162=256
256÷4÷4+4=20（人）
（20﹣1）×4=76（人）
答：这个中空方阵最外层有76人．

【例66】 16．在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有12根篱笆，四周一共围了44根篱笆．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】利用方阵问题：最外层四周点数=每边点数×4﹣4计算出最外层四周的根数即可．
【解答】解：根据分析可得，
12×4﹣4[来源:学#科#网]
=48﹣4
=44（根）
答：四周一共围了44根篱笆．
故答案为：44．

【例67】 17．有一个240人排成的5层空心方阵，再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，这是一个5层空心方阵，已知共有学生240人，可以先求出最外层每边有多少名学生，据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得出：最外层每边人数=总人数÷4÷层数+层数，又因为每相邻的两层中，每边人数相差2人，据此即可求出第6层每边人数，再利用四周的人数=（每边的人数﹣1）×4即可求出第6层的人数，据此解答即可．
【解答】解：240÷4÷5+5，
=12+5，
=17（人），
17﹣2﹣2﹣2﹣2﹣2=7（人），
（7﹣1）×4=24（人），
答：再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵．
故答案为：24．

【例68】 18．多思乐学联盟组织学生参加方阵列队表演，若每班60人，这个方阵至少要有4个班的同学参加；若每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加．那么，组成这个方阵的人数是196．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】（1）如果每班60人，至少要4个班，是240人，这意思是3个班不够，就是说180人不够；180人＜方阵人数＜240人；
（2）如果每班70人，至少是3个班，是210人，也同样说明是两个班不够，就是说140人是不够的；140人＜方阵人数＜210人；解上面两个就是：180人＜方阵人数＜210人
（3）方阵总人数=每边人数×每边人数，所以方阵总人数是一个完全平方数，由此即可解答．
【解答】解：如果每班60人：60×3=180（人），60×4=240（人），由此可得：180人＜方阵人数＜240人；
如果每班70人：70×2=140（人），70×3=210（人），由此可得：140人＜方阵人数＜210人；
用数轴表示为：

所以方阵的总人数应为：180人＜方阵人数＜210人，
方阵总人数=每边人数×每边人数，所以方阵总人数是一个完全平方数，180与210之间的完全平方数是142=196，
答：这个方阵中的总人数是196人．
故答案为：196．

【例69】 19．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．原长方形队列共有136名战士．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】可设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，则存在a2﹣b2=240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．
【解答】解：设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，
则存在a2﹣b2=240，
即（a+b）（a﹣b）=240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，
故a+b=120，a﹣b=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；
a+b=60，a﹣b=4，于是a=32，b=28，则8x=904．因为904﹣120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；
a+b=40，a﹣b=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；
a+b=30，a﹣b=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；
a+b=24，a﹣b=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；
a+b=20，a﹣b=12，于是a=16，b=4，则8x=136；
a+b=16，a﹣b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）．
故原长方形队列共有136名战士．
故答案为：136．

【例70】 20．明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有40个棋子．摆这个三层空心方阵共用了144个棋子．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由于方阵每减少一层，每边的围棋子数减少2个，所以这个方阵最里层每边有：15﹣2×2=11个，那么明明摆这个方阵最里层一周共有：（11﹣1）×4=40（个）；
根据公式：空心方阵的总点数=（最外层每边的点数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，可得：（15﹣3）×3×4=144（个）；据此解答．
【解答】解：根据分析可得，
15﹣2×2=11（个），
（11﹣1）×4=40（个）；

（15﹣3）×3×4，
=12×12，
=144（个）；
答：明明摆这个方阵最里层一周共有40个棋子．摆这个三层空心方阵共用了144个棋子．
故答案为：40，144．

【例71】 21．红星小学五年级学生军训，排成一个三层空心方阵，最外层每边有20名学生，那么这个三层空心方阵共有学生204人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最外层每边有20名学生，要求这个三层空心方阵共有学生多少人，就是求这个方阵的总点数；根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4解答即可．
【解答】解：（20﹣3）×3×4，
=17×3×4，
=204（人）；
答：这个三层空心方阵共有学生204人．
故答案为：204．

【例72】 22．甲、乙两同学按先后顺序（甲先乙后）摆放棋子，要求摆成实心正方形方阵．由于每人手里一次只能拿10个棋子，故每次每人放10个．现已知最后一次甲仍然放了10个，而乙放的不足10个．如果他们共摆放了3000多个棋子，那么他们摆放的棋子共有3136个．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由于中实方阵棋子的总个数=每边的个数×每边的个数，即是一个平方数；又因为542=2916，552=3025，562=3136，而甲先乙后，最后结束的是乙，拿的次数应是偶数次而不是奇数次，所以那么他们摆放的棋子共有3136个．
【解答】解：由于中实方阵棋子的总个数是一个平方数；
又因为542=2916＜3000，552=3025，562=3136，
而甲先乙后，最后结束的是乙，拿的次数应是偶数次而不是奇数次，
3025÷（10+10）=151…5（个），最后放的是甲，不合题意；
3136÷（10+10）=156…16（个），最后一个周期：甲放10，乙方6个，符合题意；
所以那么他们摆放的棋子共有3136个．

【例73】 23．方阵形桃园共10层，最里层共种16棵树，若每棵桃树结桃子60千克，那么这桃园共收桃31200千克．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】“最里层共种16棵树，”先根据每边棵数=（空心方阵的四周棵数+4）÷4，计算出最内层每边棵数是：（16+4）÷4=5棵，因为每相邻的两层每边点数相差是2，所以最外层每边棵数是：5+2×9=23棵，由此再根据关系式：中空方阵的桃树总棵数=（每边棵数﹣层数）×层数×4来解答．在本题中，层数是10，每边棵数是23，把这两个数据代入并计算即可求出桃树的总棵数，再乘以60就是桃子的总重量．
【解答】解：最内层每边棵数是：（16+4）÷4=5（棵），
所以最外层每边棵数是：5+2×9=23（棵），
（23﹣10）×10×4，
=13×10×4，
=520（棵），
520×60=31200（千克），
答：这个桃园共结桃子31200千克．
故答案为：31200．

【例74】 24．某班抽出一些学生参加2004年“六一”国际儿童节队列表演．如果排成一个正方形方阵（实心），就多出7人；如果每行每列都增加一排，就少4人．这些学生的人数是32．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据题干可知，每行每列都增加一排实际就是增加了7+4=11人，由此即可求得原来每行每列的人数为：（11﹣1）÷2=5人，所以原来的正方形方阵有：5×5=25人，由此即可求出这些学生的总数．
【解答】解：（11﹣1）÷2=5（人），
5×5+7=32（人），
答：这些学生数是32人．
故答案为：32．

【例75】 25．（2013•学而思杯）一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意可知，增加的一层需要16+28=44人，设此层每边为A人，可得44=（A﹣1）×4，求得A=12，则最外层人数为12+3×2=18人，因为空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，据此解答．
【解答】解：设此增加的层每边为A人，由题意可得：
16+28=（A﹣1）×4
44=4A=4
4A=48
A=12
则最外层每边人数为12+3×2=18人，
总人数：（18﹣3）×3×4+16
=15×12+16
=180+16
=196（人）
答：这队战士共有196人．

【例76】 26．（2012•其他杯赛）在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵（四个角上都种一棵），四边一共种了多少棵？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和=每边点数×4﹣4，由此即可解答．
【解答】解：10×4﹣4
=40﹣4
=36（棵）
答：四边一共种了36棵．

【例77】 27．（2010•两岸四地）为了迎接3.15，光明社区居委会打算从林场采购一些小树苗．居委会李大妈发现，林场的一些小树苗排成一个三层的空心方阵，最里层每条边有6棵树．李大妈将这些小树苗全部买下来，发动小区居民将这些树苗种在小区南边的一条马路上，这条马路长400米，只在马路的一侧种树，并且两头都种，每隔5米种一棵．那么，最后还剩多少棵小树苗？
【考点】N5：植树问题；N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，这是一个三层空心方阵，最里层每条边有6棵树，因为每相邻的两层之间每边上都是相差2棵树，所以最外层每边有6+2+2=10棵树，根据方阵问题中：空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4即可求得树苗的总棵数；再根据两头都种的植树问题，用间隔数+1求得在马路的一侧种树需要的棵数，最后二者相减就是还剩的棵数；据此解答即可．
【解答】解：最外层每边有6+2+2=10棵树，
树苗总数：（10﹣3）×3×4=84（棵），
马路植树的棵数：400÷5+1=81（棵），
还剩：84﹣81=3（棵），
答：最后还剩3棵小树苗．

【例78】 28．（2006•中环杯）有360个棋子，将它们围成正方形（空心或实心的），请写出四种不同的摆法，并求四种情况下最外层每边棋子各是多少？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意，共有360个棋子，将它们围成正方形（空心的），可围成一层、两层、三层、五层的正方形空心方阵，根据“相邻两层点数相差8个，相邻两层边点数相差2个，以及总点数÷4+1=每边点数”解答即可．
【解答】解：第一种情况：围成一层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：360÷4+1=91个；
第二种情况：围成两层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360+8）÷2÷4+1=47个；
第三种情况：围成三层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360÷3+8）÷4+1=33个；
第四种情况：围成五层的正方形空心方阵，最外层每边棋子是：（360÷5+16）÷4+1=23个．

【例79】 29．（1992•华罗庚金杯）如图，这是一个围棋盘，还有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？

【考点】N6：方阵问题．
【专题】489：棋盘中的数学专题．
【分析】由题意，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满，即两次摆法相差12+9=21枚棋子，用（21﹣1）÷2即可求得原来正方阵的每边的点数，再据“每边的点数×每边的点数=中实方阵的总点数”求得原正方阵的棋子数后再加12枚即可．
【解答】解：12+9=21（枚），
（21﹣1）÷2=10（枚），
10×10+12=112（枚），
答：这堆棋子原有112枚．

【例80】 30．在一个正方形池塘周围种树，每条边上种10棵，四个角都要种一棵，需要准备多少棵树？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】把树看作方阵中的点，每条边上种10棵，那么根据“最外层四周点数=每边点数×4﹣4”代入数据解答即可．
【解答】解：10×4﹣4=36（棵）
答：四个角都要种一棵，需要准备36棵树．

【例81】 31．一个实心方阵，最外层共有44人．请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵总人数减少一半，一共减少了多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】（1）因为方阵的四个角上都是重复的，方阵的四个角上都是重复了一次，所以计算时要减去，算每边人数时，先用总数加上4，所以每边上有（44+4）÷4=12人；
（2）减少一半就是由原来的12行12列，减少到6行6列，6行6列就是6×6=36人，进而算出减少的即可．
【解答】解：（1）（44+4）÷4=12（人）
12×12=144（人）
答：这个方阵共有144人．

（2）减少一半就是6行6列，
144﹣6×6
=144﹣36
=108（人）
答：一共减少了108人．

【例82】 32．为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个．鲜花队共多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？2+4=6，这时候小华加了两次，所以每行应该有2+4﹣1人；
二：队伍的行数？用同样的方法3+5﹣1（人），
最后用每行人数×行数，即可．
【解答】解：每行的人数：2+4﹣1=5（人），
队伍的行数：3+5﹣1=7（行），
总人数：5×7=35（人）；
答：鲜花队共有35人．

【例83】 33．三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个．三（4）班共有学生多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】要解决这道题我们需要两个条件：
一：每行有多少人？3+3=6，这时候梅梅加了两次，所以每行应该有3+3﹣1=5（人）；
二：队伍的列数？用同样的方法：6+5﹣1=10（人），
最后用每行人数×列数即可．
【解答】解：3+3﹣1=5（人）
6+5﹣1=10（人）
5×10=50（人）
答：三（4）班共有学生50人．

【例84】 34．同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多．小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个．跳舞的共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据小红的位置可以分析：小红的前后左右都有3个人，即小红被重复计算了1次，4+4﹣1=7人；这个方队组成的是一个实心方阵，是一个正方形，最外层每条边上都有7个人，根据实心方阵的总点数=每边点数×每边点数，即可解答问题．
【解答】解：4+4﹣1=7（人），
7×7=49（人），
答：跳舞的共有49人．

【例85】 35．一个正方形实心方阵，最外层总共72人，这个方阵共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据最外层人数=每边人数×4﹣4，先求出这个方阵的每边人数，再利用实心方阵总点数=每边点数×每边点数即可计算这个方阵的总人数．
【解答】解：最外层每边人数：（72+4）÷4
=76÷4
=19（人）；
19×19=361（人）；
答：这个方阵共有361人．

【例86】 36．如图，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；如图，用9枚棋子可以摆出一个正方形点阵，每边3枚棋子．今有一堆棋子，棋子总数小于200，用这堆棋子摆出一个尽可能大的正三角形点阵，结果多出13枚；而若用这堆棋子去摆某个正方形点阵，则还差11枚．问这堆棋子共有多少枚？

【考点】N6：方阵问题．
【分析】我们可据“用这堆棋子摆成边长尽可能大的正三角形点阵，结果多出13枚”，得知：正三角形点阵每边上的棋子不少于13枚，所以这堆棋子数必定大于：1+2+3+…+12+13+13=104：再结合“而用这堆棋子摆某个正方形点阵，则还差11枚”知：这堆棋子数是在104+11=115，115+14=129，129+15=144，144+16=160，160+17=177，177+18=195（总数小于200）中能成完全平方数的数减掉11的数．
【解答】解：①1+2+3+…+12+13=104（枚）
104+11=115不是完全平方数，不行；
②若115+14=129，129+15=144，144+16=160，160+17=177，177+18=195中只有129+15=144是完全平方数，符合要求；
③144﹣11=133（枚）
答：这堆棋子共有133枚．

【例87】 37．国庆节期间，园林工人把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵的外层每边摆多少盆？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，根据和差公式可求出最外层有（40+8）÷2=24（盆）；由此根据“每边的点数=四周的点数÷4+1，”这一方阵的外层每边摆多少盆．
【解答】解：（40+8）÷2
=48÷2
=24（盆）
24÷4+1=7（盆）
答：这一方阵的外层每边摆7盆．

【例88】 38．学校进行课间操比赛，高年级同学恰好可以排成一个实心方阵，可学校操场较小，只好横竖各减少一排，这样就减少了23个人，问这个学校高年级有多少个学生？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据题意减少23人，使横竖各减少一排；由于在角上有一人即属于行又属于列，所以原来最外层的每边有：（23+1）÷2=12人，这个学校高年级的总人数就是12×12=144（人）．
【解答】解：（23+1）÷2
=24÷2
=12（人）
12×12=144（人）
或 （23﹣1）÷2+1=12（人）
12×12=144（人）
答：这个学校高年级有144个学生．

【例89】 39．一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有44人，最内层有28人，则方阵的层数：（44﹣28）÷8+l=3（层）；最外层每边的人数44÷4+1=12人；由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：方阵的层数：（44﹣28）÷8+l=3（层）；
最外层每边的人数：44÷4+1=12（人）；
总人数：（12﹣3）×3×4=108（人）；
答：这方阵共有108人．

【例90】 40．有学生若干人，排成5层的中空方阵，最外层每边人数是12人，问有多少学生？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】本题可根据关系式：中空方阵的总人数=（每边人数﹣层数）×层数×4来解答．在本题中，层数是5，每边人数是12，把这两个数据代入并计算即可．
【解答】解：（12﹣5）×5×4
=7×5×4
=140（人）
答：有140个学生．

【例91】 41．学生参加体操表演，排成一个方队，外层共100人，参加体操表演的有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据“每边的人数=四周的人数÷4+1”求出每边的人数，再根据“中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数”解答即可．
【解答】解：100÷4+1
=25+1
=26（人）
26×26=676（人）
答：参加体操表演的有676人．

【例92】 42．运动会上，五年级学生排成了一个方队（横竖行人数相等），已知最外层有60人，这个方队共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】先根据每边人数=（最外层人数+4）÷4，求出每边人数，再利用实心方阵的总人数=每边人数×每边人数即可解答．
【解答】解：每边人数是：（60+4）÷4
=15+1
=16（人）
所以方队的总人数是：16×16=256（人）
答：这个方队共有256人．

【例93】 43．在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学，两层五年级的同学，两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，请问：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？

【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】（1）相邻两边的人数相差1，所以相邻的两圈的人数相差6，因为六年级同学有126名，站了两层，所以根据和差问题的解答方法即可求出最外层有多少人：（126+6）÷2=66（人）；
（2）最外层有66人，最内层有66﹣6×（8﹣1）=24（人），然后根据高斯求和公式解答即可；
（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，里面空缺的最外一层有24﹣6=18（人），最里面有6人，有（18﹣6）÷6+1=3层，然后根据高斯求和公式解答，最后加上最中心的一人即可．
【解答】解：（1）（126+6）÷2
=132÷2
=66（人）；
答：最外层有66人．

（2）最内层有66﹣6×（8﹣1）
=66﹣42
=24（人）
（24+66）×8÷2
=90×4
=360（人）；
答：现在阵列中一共有360人．

（3）里面空缺的最外一层有24﹣6=18（人），最里面有6人，有（18﹣6）÷6+1=3（层），
（18+6）×3÷2+1
=36+1
=37（人）
答：如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要37人．

【例94】 44．费叔叔把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗，后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据“结果还多出了6棵树苗，后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，”可知增加了6+34=40棵，那么后来的方阵最外层就有40棵，然后根据每边的棵数=外层的总棵数÷4+1解答即可．
【解答】解：（6+36）÷4+1
=10+1
=11（棵）
答：后来的方阵最外层每边有11棵树．

【例95】 45．如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？

【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】先看每个等边三角形草地种花的棵数：1+2+3+…+10=（1+10）×10÷2=55（棵），再乘3求出总棵数，然后再减去图中的A、B、C点重复计算的棵数即可．
【解答】解：1+2+3+…+10
=（1+10）×10÷2
=55（棵）
55×3﹣3
=165﹣3
=162（棵）
答：整个绿地一共要种162朵花．

【例96】 46．二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人正好是17人，原来准备参加健美操表演的有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】先求出现在最外层每边的人数：（17+1）÷2=9（人），然后根据“中实方阵的总人数=每边的人数×每边的人数”，求出原来参加队列表演的师生有多少人即可，列式为：（9﹣1）×（9﹣1）=64（人）．
【解答】解：（17+1）÷2
=18÷2
=9（人）；
（9﹣1）×（9﹣1）
=8×8
=64（人）
答：原来准备参加健美操表演的有64人．

【例97】 47．某校四年级学生排成了一个正方形的方阵参加学校广播操比赛，由于人数太多，所以去掉了一行一列，这样去掉了29人．请问原来有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据题干，去掉一行一列共去掉了29人，那么原来的方阵的每边人数是（29+1）÷2=15人，据此利用每边人数×每边人数即可求出总人数．
【解答】解：（29+1）÷2=15（人）
15×15=225（人）
答：原来有225人．

【例98】 48．游戏队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵．最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员至少有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】最外层每边人数是13人，则每少一层，每边人数就少2人，即内层每层每边人数为11人；则由外到内第一层共有（13﹣1）×4=48人，第二层共有（11﹣1）×4=40人，据此即可解答．
【解答】解：最外层每边人数是13人，则每少一层，每边人数就少2人，即内层每层每边人数为11人；
所以最外层共有（13﹣1）×4=48（人），
第二层共有（11﹣1）×4=40（人），
48+40=88（人），
答：彩车周围的少先队员至少有88人．

【例99】 49．在一次团体操表演中，有一个中空方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】因为每相邻的两层相差8人，据此可以求出这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1=5层，又因为最外层每边人数=最外层人数÷4+1，据此再利用空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，即可求出总人数．
【解答】解：这个方阵的层数是（64﹣32）÷8+1=5（层），
最外层每边人数是：64÷4+1=17（人），
总人数是：（17﹣5）×5×4，
=12×20，
=240（人），
答：参加体操表演的一共有240人．

【例100】 50．正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
练一练：一个由圆片摆成的中实方阵，最外一层有12个圆片，把4个这样的中实方阵拼成一个大的中实方阵，那么最外层应该有多少个圆片？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】（1）根据方阵最外层总点数=每边点数×4﹣4，代入数据计算即可解答；
（2）根据方阵最外层每边点数=（总点数+4）÷4，可以求出小方阵的每边有（12+4）÷4=4个圆片，则4个这样的小方阵拼成一个大方阵后，每边是4+4=8个圆片，再利用方阵最外层总点数=每边点数×4﹣4，即可解答问题．
【解答】解：（1）12×4﹣4
=48﹣4
=44（盏）
答：这个舞厅四周共装彩灯44盏．

（2）（12+4）÷4
=16÷4
=4（个）
4+4=8（个）
8×4﹣4
=32﹣4
=28（个）
答：最外层应该有28个圆片．

C 较难
【例101】 1．（2017•华罗庚金杯）有11个正方形方阵，每个都有相同数量的士兵组成，如果加上1名将军，就可以组成一个大的正方形方阵．原来的一个正方形方阵里最少要有9名士兵．
【考点】N6：方阵问题；P1：最大与最小．
【分析】本题考察方阵问题．
【解答】解：由题，设原来的一个正方形方阵有a名士兵，
则a和11a+1是一个完全平方数，
当a=1时，11a+1=12，不符合题意；
当a=4时，11a+1=45，不符合题意；
当a=9时，11a+1=100，符合题意，
所以原来的一个正方形方阵里最少要有9名士兵．

【例102】 2．（2007•小机灵杯）一个正方形队列，如果减少一横行和一竖行，要减少21人，问原正方形队列有121人．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据正方形队列减少一横行和一竖行，要减少21人，知道（21+1）÷2就是原正方形队列一行的人数，由此即可求出原正方形队列的人数．
【解答】解：（21+1）÷2，
=22÷2，
=11（人），
11×11=121（人），
答：原正方形队列有121人．
故答案为：121．

【例103】 3．中空方阵最外层36人，最内层12人，将这一方队改排一列纵队，前后两人相距1.5米（包括每人所占空间），这列队伍长142.5米．
【考点】N6：方阵问题；OK：格点面积（毕克定理）．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有36人，最内层有12人，则方阵的层数：（36﹣12）÷8+l=4（层）；最外层每边的人数36÷4+1=10人；由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数，再根据植树问题，进一步解答即可．
【解答】解：
方阵的层数：
（36﹣12）÷8+l
=3+1
=4（层）
最外层每边的人数：
36÷4+1
=9+1
=10（人）
总人数：（10﹣4）×4×4
=6×16
=96（人）
队伍长：1.5×（96﹣1）=142.5（米）
答：这列队伍长142.5米．
故答案为：142.5．

【例104】 4．六年一班开展植树活动，如果每行、每列的棵数相等，那么树苗将多出25棵；如果每行、每列都增植1棵，树苗将多出6棵．六年一班打算种下106棵树．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】先求出多出一组一列后多出几棵树，然后分析这几棵树的组成，得到原来是几组几列．
【解答】解：
25﹣6=19（棵）
（19﹣1）÷2=9（棵）
9×9+25=106（棵）
故填106．

【例105】 5．参加小学生运动会团体操的运动员排成一个正方形队列，如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人．参加团体操表演的运动员有289人．
【考点】N6：方阵问题．
【分析】我们据已知条件和公式“去掉一行一列的总人数=原来每边人数×2﹣1”，可得到排成的这个正方形队列的每边的人数是17人，之后再由求实心方阵总人数公式即可得到了问题答案．
【解答】解：（33+1）÷2=17（人）
172=289（人）
答：参加团体操表演的运动员有289人．

【例106】 6．一块正方形苗圃种满了树苗．后来又补种了19棵，使横、竖各增加了一排，原来正方形苗圃中有81棵树苗．
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，后来又补种了19棵，使横、竖各增加了一排，即补种的19棵只是外层两条边上的总棵数，它只比相应的里层两边上的棵数多1，由此可用（19﹣1）÷2=9（棵）求得原来正方形苗圃中每边上的棵数，进而求得原来正方形苗圃中树苗的总棵数；据此解答．
【解答】解：（19﹣1）÷2=9（棵），
9×9=81（棵）；
答：原来正方形苗圃中有81棵树苗．
故答案为：81．

【例107】 7．（2008•走美杯）边长为5的正方形，被分割成5×5个小方格．每个小方格上堆放边长为1cm的正方体积木，个数如下图所示．在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴．共贴147张红纸．恰贴3张红纸的有15块积木．

【考点】N6：方阵问题．
【分析】（1）①按顶面和侧面分类，顶面共25张；
②侧面按四个方向每行每列计数，共计122张，总数：25+122=147（张）．将图形四周各加5格，格内均填入0．原图形中6行、6列，每个相邻两数的差（大数减小数），60个差的和为122．
（2）顶面贴纸四周有2个露面或顶面未贴纸四周有3个露面的积木为恰好贴3张红纸的积木．个数如下图，共15块．

【解答】解：①按顶面和侧面分类，顶面共25张；
②侧面按四个方向每行每列计数，共计122张，总数：25+122=147（张）．将图形四周各加5格，格内均填入0．原图形中6行、6列，每个相邻两数的差（大数减小数），60个差的和为122．
（2）顶面贴纸四周有2个露面或顶面未贴纸四周有3个露面的积木为恰好贴3张红纸的积木．个数如上图，共15块．
故答案为：147张、15块．

【例108】 8．（2012•其他模拟）明明用棋子摆了一个五层图形，每两层棋子的个数相差5，最内层用了18个棋子，问一共用了多少个棋子？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】因为每两层棋子的个数相差5，一共是5层，所以相差的总数为：5+5×2+5×3+5×4，再求出5个18是多少，最后相加即可．
【解答】解：18×5+（5+5×2+5×3+5×4），
=90+50，
=140（个），
答：一共用了140个棋子．

【例109】 9．学校开联欢晚会，要在正方形的操场四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装7盏，那么一共要准备多少盏彩灯？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】利用方阵最外层四周点数=每边点数×4﹣4计算出一共要准备彩灯的盏数即可．
【解答】解：4×7﹣4
=28﹣4
=24（盏）
答：一共要准备24盏彩灯；

【例110】 10．某部队有解放军战士若干人，正好排成一个方阵，若将此方阵改排成长方阵，因而减少6行，同时各行均增加10人．问战士人数是多少？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】我们由“减少6行，排成方长阵各行增加10人”，得知：6行的人数与长方阵中10列的人数相等；又因长方阵中每列的人数=原正方阵每列人数﹣6，所以这10列人数比原正方阵10列人数少了6×10=60人．由盈亏问题可知，这些人可站成原正方形阵的6行或10行少60人，可求得原方阵每行有60÷（10﹣6）=15人，之后便可求出战士的人数．
【解答】解：6×10=60（人）
60÷（10﹣6）=15（人）
152=225（人）
答：战士人数是225人．

【例111】 11．用绿白两种颜色的小正方形瓷砖400块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外一周铺的是白色瓷砖，由外到里的第二周是绿色瓷砖，第三周是白色瓷砖，第四周又是绿色瓷砖，……，这样依次下去．问这个墙面上绿色瓷砖共有多少块？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】我们据“用400块小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面“得出“正方形墙面最外面一圈（即第一圈）的每边需用20块瓷砖；之后可推知：第二圈每边需用20﹣2=18块瓷砖，依次为16、14…4、2块共有20÷2=10圈，其中绿色瓷砖所铺的几圈每边对应为18，14，10，6，2块（最后一圈为绿色，且为实心）．这样由“方阵问题的公式”便可得出绿色瓷砖的砖数．
【解答】解：①400=20×20，正方形墙面第一圈每边有20块（白色）
②用绿色瓷砖的第一圈每边有：20﹣2=18（块），则它的第二至第五圈每边分别是14、10、6、2块．
③所用绿色瓷砖共计：18×4﹣4+14×4﹣4+10×4﹣4+6×4﹣4+2×2=180（块）
答：这个墙面上绿色瓷砖共有180块．

【例112】 12．有一队学生，排成中空方阵，最外层的人数共56人，最内层的人数共32人，这一队学生共有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8人，已知最外层有56人，最内层有32人，则方阵的层数：（56﹣32）÷8+l=4（层）；最外层每边的人数56÷4+1=15人；由此根据“空心方阵的总人数=（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4，”即可求出这个方阵的总人数．
【解答】解：方阵的层数：（56﹣32）÷8+l=4（层）；
最外层每边的人数：56÷4+1=15（人）；
总人数：（15﹣4）×4×4=176（人）；
答：这一队学生共有176人．

【例113】 13．有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽多少棵树？
练一练：有100个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个正方形队．这个正方形四周站了多少个少先队员？
【考点】N5：植树问题；N6：方阵问题．
【专题】455：植树问题；456：方阵问题．
【分析】（1）根据题意，在一个正方形池塘栽树，每边栽6棵，乘上边数4，即，6×4=24棵，因为4个角都栽一棵树，每个角的树都多数了一次，再减去4即可．
（2）根据题干分析可得，这个正方形方阵的每边人数是10人，根据方阵最外层总人数=每边人数×4﹣4计算即可解答．
【解答】解：（1）6×4﹣4，
=24﹣4，
=20（棵）．
答：塘边一共栽了20棵．

（2）10×4﹣4，
=40﹣4，
=36（人），
答：正方形四周站了36人．

【例114】 14．某学校三年级举行方阵队列表演．四二班的同学排成了8行8列．如果去掉1行1列，要去掉多少人？还剩多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，每行每列都有8个人，而这一行一列必有一个人是重复的，所以减少的人数是8×2﹣1=15（人），用总人数（8×8）减去要去掉的人数就是还剩下的人数；据此解答．
【解答】解：减少的人数：8×2﹣1=15（人），
还剩的人数：8×8﹣15=49（人）；
答：如果去掉一行一列，则要去掉15人，还剩49人．

【例115】 15．有若干盆鲜花摆成一个四层的中空方阵，最外层每边有12盆，一共摆了多少盆鲜花？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，摆成的是一个四层的中空方阵，最外层每边有12盆，由于相邻两层每边相差2个，则由外向里的两层每边分别是（12﹣2）个、（12﹣2×2）个、（12﹣2×3）个，根据“四周的盆数=（每边的盆数﹣1）×4”可分别求得这四层鲜花的盆数，再相加就是所用的总盆数，据此解答．
【解答】解：最外层：（12﹣1）×4=44（盆），
第二层：（12﹣2﹣1）×4=36（盆），
第三层：（12﹣2×2﹣1）×4=28（盆），

第四层：（12﹣2×3﹣1）×4=20（盆），
一共摆了：44+36+28+20=128 （盆）；
答：一共摆了128盆鲜花．

【例116】 16．小美用棋子摆了一个空心方阵，最外每边摆30颗棋子，一共摆了5层，那么这个方阵一共用了多少颗棋子？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】利用空心方阵公式：（最外边数一层数）×层数×4=总数；据此即可解答问题．
【解答】解：棋子总数：（30﹣5）×5×4，
=25×20，
=500（颗）．
答：一共用了500颗棋子．

【例117】 17．学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生．女生有72人参加表演，男生有多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】根据题干可得：此题是一个实心方阵问题，这个方阵的四周总点数为72，由此可以求得每边点数为：72÷4+1=19，
由此可得这个实心方阵的总点数为：19×19=361，那么减去最外层的女生人数，即可得出男生人数．
【解答】解：每边点数为：
72÷4+1，
=18+1，
=19（人），
总点数为：19×19=361（人），
男生人数为：361﹣72=289（人），
答：男生有289人．

【例118】 18．小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】此题为空心方阵问题，空心方阵每边点数为11，那么第2层的每边点数就是11﹣2=9，由此利用四周点数之和=每边点数×4﹣4即可解答．
【解答】解：11×4﹣4=44﹣4=40（枚），
（11﹣2）×4﹣4=36﹣4=32（枚），
40+32=72（枚），
答：这个方阵共有72枚棋子．

【例119】 19．在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？
【考点】N6：方阵问题．
【分析】这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和=每边点数×4﹣4即可计算所需要的彩灯盏数．
【解答】解：25×4﹣4，
=100﹣4，
=96（盏）；
答：这个广场一共需要彩灯96盏．

【例120】 20．（2013•小机灵杯）有若干名学生，恰好组成一个八列长方形方阵．如果在队列中再增加120人或从队列中减去120人，都能组成一个方形方阵，那么原长方形方阵中有多少名学生呢？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】可设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，则存在a2﹣b2=240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．
【解答】解：设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，
则存在a2﹣b2=240，
即（a+b）（a﹣b）=240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，
故a+b=120，a﹣b=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；
a+b=60，a﹣b=4，于是a=32，b=28，则8x=904．因为904﹣120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；
a+b=40，a﹣b=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；
a+b=30，a﹣b=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；
a+b=24，a﹣b=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；
a+b=20，a﹣b=12，于是a=16，b=4，则8x=136；
a+b=16，a﹣b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）．
故原长方形队列共有136名战士．

【例121】 21．如图，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”．
（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？
（3）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？

【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】（1）根据空心三角阵的特点可知，相邻两层的点数相差9个，然后根据每层点的个数=每边的个数×3﹣3代入数据求出最外层的点数，然后根据等差数列解答即可；
（2）最里层的个数6开始，要使一个空心三角阵的层数最多，要从里面第二层6+9=15个计数，设一共有n层，公差为9，然后根据等差数列解答即可；
（3）要使它的最外层最多，必须层数最少，因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+9×2=27、9+9×2+9×3=54，…，其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；然后再进一步解答即可．
【解答】解：（1）20×3﹣3=57（枚）
57﹣9×（5﹣1）=21（枚）
（57+21）×5÷2
=78×5÷2
=195（枚）
答：一共有195枚棋子．

（2）设一共有n层，
15n+n（n﹣1）×9÷2=294
3n2+7n﹣196=0
解得：n=7
答：它最多有7层．

（3）因为294是偶数，所以从外向内依次减少的总枚数必须是偶数，即9、9+9×2=27、9+9×2+9×3=54，…，
其中最少的是54，所以共有4层时，它的最外层最多；
所以最外层最多有：（294+54）÷4=87（枚）．
答：它的最外层最多有87枚棋子．

【例122】 22．阿奇用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去28个棋子，使得图形变成一个三层的空心方阵，开始时阿奇可能摆了多少个棋子？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】由题意知，组成一个新的三层空心方阵有两种情况，即单层空心方阵可以放在双层空心方阵的里面，也可以放在双层空心方阵的外面．如果放在里面，那么原有棋子（28+8）+（28+8+8）=80枚；如果放在外面，那么原有棋子（28﹣8）+（28﹣8﹣8）=32枚．据此解答．
【解答】解：如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子（28+8）+（28+8+8）=80枚；
如果单层空心方阵放在双层空心方阵的外面，那么原有棋子（28﹣8）+（28﹣8﹣8）=32枚；
所以原来用了80枚棋子或32枚棋子；
答：他原来用了棋子80枚或32枚．

【例123】 23．阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等，已知方阵最外面一圈都是男生，往内一圈都是女生，然后是男生…如此下去直到最里面，如果男生总数比女生总数多52人，那么共有学生多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】根据方阵知识可知，相邻每边的人数相差2，所以相邻的内外圈相差2×4=8人，52÷8=6…4（人），所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有6×2=12圈，所以最外圈有4+12×8=100人，然后根据等差数列公式即可求出总人数．
【解答】解：相邻的内外圈相差：2×4=8（人）
因为52÷8=6…4（人）所以最后一圈是男生有4人，这一圈外面还有6×2=12圈，
所以最外圈有：4+12×8=100（人）
（4+100）×（12+1）÷2
=104×13×2
=676（人）
答：共有学生676人．

【例124】 24．某班同学在军训队列表演中恰站成一个双层空心方阵，外层的每边站了9名同学．若让这个班同学在一条250米长的笔直马路上站岗，从一端开始每隔5米站一人，则站满之后还剩下多少人？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】双层空心方阵的内层每边应站9﹣2=7人，故该班共有[（9﹣1）+（7﹣1）]×4=56人，由于两端都站，所以250米长的马路包括25÷5=50个5米长的段（间隔数），所以站岗需要50+1=51人，站满后还剩下56﹣51=5人．
【解答】解：方阵的内层每边站9﹣2=7人，
[（9﹣1）+（7﹣1）]×4=56（人），
250÷5=50（个），
50+1=51（人），
剩下：56﹣51=5（人）；
答：满后还剩下5人．

【例125】 25．小美将一些纸鹤摆成一个空心的方阵．已知最外层她摆了44只纸鹤，最内层摆了20只纸鹤．那么，小美摆完这个方阵一共用了多少只纸鹤？
【考点】N6：方阵问题．
【专题】456：方阵问题．
【分析】此题为空心方阵问题，每相邻的两层相差8只纸鹤，已知最外层她摆了44只纸鹤，最内层摆了20只纸鹤，则方阵的层数：（44﹣20）÷8+l=4（层）；由此即可求出这个方阵的纸鹤总数．
【解答】解：方阵的层数：（44﹣20）÷8+1，
=24÷8+1，
=3+1，
=4（层）；
纸鹤的总数：20×4+8+8×2+8×3，
=80+8+16+24，
=88+16+24，
=104+24，
=128（只）．
答：小美摆完这个方阵一共用了128只纸鹤．