人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算教学设计

5.2.2导数的四则运算法则

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册第五章)

一、教学内容

导数的运算法则.

二、教学目标

1.掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．

2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导．

三、教学重点与难点

重点：导数的四则运算法则．

难点：运用导数的运算法则解决函数求导.

四、教学过程设计

1、导入问题：在例2中，当时，.这时，求关于的导数可以看成求函数与乘积的导数.一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？

2、新知探究

    探究1： 设，，计算与，他们与和有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 

设，因为

所以.

而，，

所以.

同样的，对于上述函数，.

一般地，对于两个函数和的和（或差）的导数，我们有如下法则：

探究:2：设，，计算与，它们是否相等？与商的导数是否等于它们导数的商呢？

通过计算可知，，，因此.同样地，与也不相等.

事实上，对于两个函数和的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：

由函数的乘积的导数法则可以得出

也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即

3、典例解析

例3.求下列函数的导数

（1）               （2）

解：（1）

（2）

例4.求下列函数的导数

（1）（2）

解：（1）

求函数的导数的策略

(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；

(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．

例5  日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为所需费用（单位：元），为

求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：

（1） 90；      （2） 98

 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；

（1）因为所以，进化到纯净度为90时，净化费用的变化瞬时率是元/吨.

（2）因为所以进化到纯净度为90时,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.

例6　(1)函数y＝3sin x在x＝处的切线斜率为________．

(2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．

①求f(1)＋f′(1)；

②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

(1)[解析]　由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x，

所以函数在x＝处的切线斜率为3×cos＝.

(2)[解]　①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，

由f(x)＝ax2＋ln x， 得f′(x)＝2ax＋，

所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.

②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，

故此时切线斜率为0，

问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，

即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，

即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．                  

关于函数导数的应用及其解决方法

(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；

(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．

五、课堂小结

(1)求函数的导数的策略；

(2)函数导数的应用及其解决方法.

六、课后作业

1、三维设计

2、书本练习第78页练习2和3.