专题5 列一元一次方程解应用题课堂学案及配套作业（解析版）

这是一份专题5 列一元一次方程解应用题课堂学案及配套作业（解析版），共24页。试卷主要包含了行程问题，数字问题，比赛积分问题，盈亏问题，调配问题，配套问题，利润问题等内容，欢迎下载使用。

专题5 列一元一次方程解应用题（解析版）
第一部分 教学案
类型一 行程问题
（一）相遇问题
典例1 甲乙两站的距离为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米，请问：
（1）两车同时开出，相向而行，经过多少小时后两车相距40千米？（不考虑列车长度）
（2）快车先开出25分钟，两车相向而行慢车行驶多长时间后两车相遇？
思路引领：（1）设经过x小时后两车相距40千米，分两种情况：当相遇前相距40千米；当相遇后相距40千米；列出方程求出x的值；
（2）设慢车行驶y小时两车相遇，等量关系为：慢车（2560+y）小时的路程+快车y小时的路程＝360千米，列方程求出y的值．
解：（1）设经过x小时后两车相距40千米，依题意得：
当相遇前相距40千米时：
72x+48x＝360﹣40，
解得：x=83；
当相遇后相距40千米时：
72x+48x＝360+40，
解得：x=103．
答：经过83或103小时后两车相距40千米；
（2）设慢车行驶y小时两车相遇，依题意得：
72（2560+y）+48y＝360，
解得：y=114．
答：慢车行驶114小时两车相遇．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
典例2一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．
（1）设火车的长度为xm，用含x的式子表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程和这段时间内火车的平均速度；
（2）设火车的长度为xm，用含x的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程和这段时间内火车的平均速度；
（3）上述问题中火车的平均速度发生了变化吗？
（4）求这列火车的长度．
思路引领：（1）根据火车长度为xm，根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出代数式即可；
（3）上述问题中火车的平均速度不发生变化；
（4）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程为xm，这段时间内火车的平均速度x10m/s；
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程为（x+300）m，这段时间内火车的平均速度为x+30020m/s；
（3）速度没有发生变化；
（4）根据题意得：x10=x+30020，
解得：x＝300，
则这列火车的长度300m．
总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，根据火车的平均速度不变列出方程是解本题的关键．
（二） 追击问题
典例3一队学生去校外参加劳动，以4km/h的速度步行前往，走了半小时，学校有紧急通知要传给队长，通讯员以14km/h的速度按原路追上去，则通讯员追上学生队伍所需的时间是（　　）
A．10min B．11min C．12min D．13min
思路引领：根据题意知道本题是追及问题，根据等量关系：路程＝速度×时间，路程一定，列出方程式求解即可得出答案．
解：设通讯员追上学生队伍所需时间为xh，
学生在半个小时内所走的路程＝速度×时间＝4×0.5＝2km，
在通讯员所走的x小时内，学生同样也在走x小时，
则学生走的路程＝4×x＝4x，通讯员走的路程＝14×x＝14x，
根据学生走的总路程和通讯员所走的路程相等，
得出：2+4x＝14x，
解得x＝0.2．
即为0.2小时，为12min．
故选：C．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，关键是要找到等量关系，根据等量关系代入相关的数据计算方程的解即可．
针对训练
1．一列慢车从某站开出，每小时行驶48km，过了45分，一列快车从同站开出，与慢车同向而行，又经过1.5小时追上了慢车．求快车的时速？
思路引领：设快车的速度是每小时行驶xkm，根据快车追上慢车时，快车行驶的路程＝慢车行驶的路程列出方程，求解即可．
解：设快车的速度是每小时行驶xkm，由题意得
1.5x＝48×（4560+1.5），
解得x＝72．
答：快车的速度是每小时行驶72km．
总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，解答时根据追及问题的数量关系建立方程是关键．
（三） 环形跑道问题
典例4运动场的跑道一圈长400米，甲练习骑自行，平均每分钟骑490米，乙练习跑步，平均每分钟跑250米，两人从某处同时同向出发，经过多少分钟两人首次相遇？又过多长时间两人第三次相遇？
思路引领：在环形跑道上两人同向而行相遇属于追及问题，两人首次相遇等量关系为：甲路程﹣乙路程＝400，进而得出方程求出；两人第三次相遇等量关系为：甲路程﹣乙路程＝400×3，进而得出方程求出即可．
解：设经过x分钟后甲，乙二人首次相遇，则甲走的路程是490x米，乙走的路程为250x米，
据题意得：490x﹣250x＝400，
解得：x=53，
答：经过53分钟后两人首次相遇．
设经过y分钟后甲，乙二人第三次相遇，则甲走的路程是490y米，乙走的路程为250y米，
据题意得：490y﹣250y＝400×3，
解得：x＝5．
答：经过5分钟后两人第三次相遇．
总结提升：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握追及问题常用的等量关系：甲路程﹣乙路程＝环形跑道的长度是解题问题的关键．
（四） 水流问题
典例6 轮船从甲地顺流而行9h到达乙地，原路返回需要11h才能到达甲地．已知水流速度为2km/h，求轮船在静水中的速度及甲、乙两地的距离．
思路引领：设静水速度为xkm/h，由轮船顺流和逆流的走过的路程相同列出一元一次方程，解出x的值，即可求出甲、乙两地的距离．
解：设静水速度为xkm/h，由题意得
9（x+2）＝11（x﹣2），
解得：x＝20，
则9（x+2）＝198．
答：轮船在静水中的速度为20km/h，甲、乙两地的距离是198km．
总结提升：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
针对训练
1．（2012秋•台安县月考）一架飞机在两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为24千米/时，求两城距离x的方程是（　　）
A．x5.5−24=x6+24 B．x−245.5=x+246
C．2x5.5+6=x5.5−24 D．x5.5−x6=24
思路引领：可让两城距离分别除以顺风时间及逆风时间可得顺风速度和逆风速度，进而用顺风速度，逆风速度及风速表示出无风时的速度，让其相等列出方程即可．
解：∵两城距离为x，顺风要5.5小时，逆风要6小时，
∴顺风速度=x5.5，逆风速度=x6，
∵风速为24千米/时，
∴可列方程为：x5.5−24=x6+24，
故选：A．
总结提升：考查用一元一次方程解决行程问题，用逆风速度和顺风速度表示出无风时的速度是解决本题的关键；用到的知识点为：顺风速度＝无风时的速度+风速；逆风速度＝无风时的速度﹣风速．
2．船在一段河中行驶，已知顺水速度是逆水速度的2倍，如果该船在静水中的速度为36千米/小时．
（1）求水流速度；
（2）若该船正在逆流而上，突然发现20分钟前一物体落入水中正漂流而下，立即调转方向，经过多少时间可以追上该物体？
思路引领：（1）顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度．设水流速度，分别表示顺水速度和逆水速度，列方程求解；
（2）此为追及问题．可设经过y小时时间可以追上该物体，根据等量关系：船追及的路程﹣逆水20分钟的路程＝物体20分钟漂流路程+被追及时漂流的路程，列出方程求解即可．
解：（1）设水流速度为x千米/小时．根据题意得
36+x＝2（36﹣x），
解得x＝12．
答：水流速度为12千米/小时；
（2）设经过y小时时间可以追上该物体，根据题意得
（36+12）y﹣（36﹣12）×2060=（y+2060）×12．
解得y=13．
答：经过13小时时间可以追上该物体．
总结提升：此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．难点在理清各个速度及对应的时间关系．
类型二 数字问题
典例7 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上与个位上的数字之和是这个两位数的15，求这个两位数．
思路引领：首先设十位数字为x，则个位数字为（x+1），根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为x+（x+1），这个两位数是10x+（x+1），再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的15，可得方程x+（x+1）＝[10x+（x+1）]×15，解方程可得x的值，进而得到答案．
解：设十位数字为x，则个位数字为（x+1），由题意得：
x+（x+1）＝[10x+（x+1）]×15，
解得x＝4，
故十位数字为4，个位数字为4，这个两位数字是45，
答：这个两位数是45．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
针对训练
1．一个三位数满足以下条件：（1）三个数位上的数字之和为8：（2）百位上的数字比十位上的数字大4；（3）个位上的数字是十位上的数字的2倍．如果设十位上的数字为x，根据题意可列方程　 　．
思路引领：设十位上的数字为x，则个位上的数字是2x，则百位上的数字为x+4，根据三个数位上的数字之和为8列出方程即可．
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字是2x，则百位上的数字为x+4，由题意得
x+2x+x+4＝8．
故答案为：x+2x+x+4＝8．
总结提升：此题考查从实际问题中抽象出一元一次方程，找出数位上数字之间的关系，得出等量关系列出方程即可．
典例8 在日历上任意画一个含有9个数的方框（3×3），然后把方框中的9个数加起来，结果等于90，试求出这9个数正中间的那个数．
思路引领：设这9个数字中间的那个数为x，根据日历的排布规律可得这9个数，从上到下，从左到右分别是x﹣7﹣1、x﹣7、x﹣7+1、x﹣1、x、x+1、x+7﹣1、x+7、x+7+1，然后根据9个数字相加，结果等于90，列出方程求解．
解：设这9个数字中间的那个数为x，
根据题意得：x﹣7﹣1+x﹣7+x﹣7+1+x﹣1+x+x+1+x+7﹣1+x+7+x+7+1＝90，
解得：x＝10．
答：这9个数字中间的那个数是10．
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是掌握日历的规律，然后根据题中给出的等量关系求解．
针对训练
1．（2009秋•南京期末）某日历上任意圈出有一竖列上相邻的3个数之和为69，求这几天分别是几号，若设中间数是x，可列方程为　 　．
思路引领：解此题的关键是要知道三数的关系：后一个数比前一个数多7．根据三数的关系和已知条件即可求解．
解：设中间的一个日期为x，则前一个日期为x﹣7，后一个日期为x+7，依题意得：
（x﹣7）+x+（x+7）＝69，
故答案为（x﹣7）+x+（x+7）＝69．
总结提升：本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，得到日历中一竖列3个数之间的关系是解决本题的难点．
类型三 比赛积分问题
典例9（2021秋•海淀区校级期末）下表是某次篮球联赛积分榜的一部分：
球队
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
远大
14
7
7
21
钢铁
14
0
14
14
备注：积分＝胜场积分+负场积分
（1）观察积分榜，胜一场积 　 　分，负一场积 　 　分；
（2）设某队胜x场，则胜场总积分为 　 分，负场总积分为 　 　分（用含x的整式填空）；
（3）若某队的负场总积分是胜场总积分的n倍，其中n为正整数，请直接写出n的值．
思路引领：（1）观察表中数据即可得答案；
（2）根据（1）的结果，即可得到答案；
（3）根据负场总积分是胜场总积分的n倍列方程，再解方程，用含n的代数式表示x，由n为正整数，x为非负整数即可知2n+1＝7，即可得到答案．
解：（1）由钢铁队负14场得14分知：负一场得1分，
由前进队胜10场负4场得24分可得：胜一场得分为：24−4×110=2分，
故答案为：2，1；
（2）某队胜x场，则胜场总积分为2x分，负场总积分为（14﹣x）分，
故答案为：2x，14﹣x；
（3）根据题意得：14﹣x＝2x•n，
∴x=142n+1，
∵n为正整数，x为非负整数，
∴2n+1是14的因数，
∴2n+1＝7，解得n＝3，
答：n的值是3．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程，得到2n+1是14的因数是解题的关键．
针对训练
1．（221秋•江汉区期末）如下所示的表格是某次篮球联赛部分球队的积分表，则下列说法不正确的是（　　）
队名
比赛场数
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
远大
14
7
a
21
卫星
14
4
10
b
钢铁
14
0
14
14
…
…
…
…
…
A．负一场积1分，胜一场积2分
B．卫星队总积分b＝18
C．远大队负场数a＝7
D．某队的胜场总积分可以等于它的负场总积分
思路引领：A、设胜一场积x分，负一场积y分，根据前进和光明队的得分情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
B、根据总积分＝2×得胜的场次数+1×负的场次数，即可求出b值；
C、由负的场次数＝总场次数﹣得胜的场次数，即可求出a值；
D、设该队胜了z场，则负了（14﹣z）场，根据胜场总积分等于负场总积分，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出z值，由该值不为整数即可得出结论．
解：A、设胜一场积x分，负一场积y分，
依题意，得：10x+4y=249x+5y=23，
解得：x=2y=1，
∴选项A正确；
B、b＝2×4+1×10＝18，选项B正确；
C、a＝14﹣7＝7，选项C正确；
D、设该队胜了z场，则负了（14﹣z）场，
依题意，得：2z＝14﹣z，
解得：z=143，
∵z=143不为整数，
∴不存在该种情况，选项D错误．
故选：D．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程（或二元一次方程组）是解题的关键．
类型四 盈亏问题
典例10一批课外读物分送给若干个课外兴趣小组，若每组8本，还多3本；若每组10本，有一个小组只分到1本，求课外兴趣小组有几个？这批课外读物有几本？
思路引领：设课外兴趣小组有x组，再根据这批课外读物的数量列等量关系得到8x+3＝10（x﹣1）+1，然后解方程求出x，再计算8x+3即可．
解：设课外兴趣小组有x组，
根据题意得8x+3＝10（x﹣1）+1，
解得x＝6，
8x+3＝8×6+3＝51．
答：课外兴趣小组有6个，这批课外读物有51本．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
针对训练
1．某工人原计划在规定的时间内加工一批零件，如果每小时加工20个零件，就可以多完成8个；如果每小时加工22个零件，就可以提前1h完成．这批零件有多少个？按原计划需多少小时完成？
思路引领：根据题意设出未知数，然后列出相应的方程，即可解答本题．
解：设按原计划需要x小时完成，
20x﹣8＝22（x﹣1）
解得，x＝7
20x﹣8＝20×7﹣8＝132，
即这批零件有132个，按原计划需7小时完成．
总结提升：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
类型五 调配问题
典例11 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援甲、乙两处，使在甲处的人数为在乙处人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
思路引领：设应调往甲处x人，调往乙处的人数是y，调动后甲处的人数是（27+x），乙处的人数是（19+y），根甲处人数为在乙处的人数的2倍，就可以列出方程组，解这个方程组，可求出应调往甲、乙两处各多少人．
解：应调往甲处x人，调往乙处的人数是y，
依题意得：x+y=2027+x=2(19+y)，
解得x=17y=3．
答：应调往甲处17人，调往乙处3人．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
针对训练1
1．在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处的人数与在乙处的人数相等，应调往甲、乙两处各多少人？
思路引领：设应调往甲处x人，那么调往乙处的人数是（20﹣x），调动后甲处的人数是27+x，乙处的人数是19+（20﹣x），根据甲处的人数与在乙处的人数相等，就可以列出方程，解这个方程，可求出应调往甲、乙两处各多少人．
解：设应调往甲处x人，
根据题意列方程得：27+x＝19+（20﹣x），
解得：x＝6．
答：应调往甲处6人，调往乙处20﹣6＝14人．
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．
类型六 配套问题
典例12（2021秋•江岸区校级月考）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，要求每天生产的螺柱和螺母刚好配套．
（1）若1个螺柱需要配2个螺母，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
（2）若3个螺柱需要配5个螺母，则安排生产螺母的工人有 　 　名．
思路引领：（1）设安排生产螺母的工人有x名，则安排生产螺柱的工人有（22﹣x）名，由1个螺柱需要配2个螺母可知螺母的个数是螺柱个数的2倍，从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可．
（2）设安排生产螺母的工人有y名，则安排生产螺柱的工人有（22﹣y）名，由3个螺柱需要配5个螺母可知螺母个数：螺柱个数＝5：3，从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可．
解：（1）设安排生产螺母的工人有x名，则安排生产螺柱的工人有（22﹣x）名，
由题意得：2000x＝2×1200（22﹣x），
解得：x＝12，
则22﹣x＝10，
答：安排生产螺柱的工人有10名，安排生产螺母的工人有12名；
（2）设安排生产螺母的工人有y名，则安排生产螺柱的工人有（22﹣y）名，
由题意得：2000y：1200（22﹣y）＝5：3，
解得：y＝11．
答：安排生产螺母的工人有11名．
故答案为：11．
总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的步骤及掌握解应用题的关键是建立等量关系．
针对训练
1．某工厂现有15m3木料，准备制作两种不同的方桌．已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成．根据所给条件，解答下列问题：
（1）如果1m3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？
（2）如果3m3木料可制作20个桌面或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
思路引领：（1）设用xm3木料制作桌面，则用（15﹣x）m3木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量关系建立方程求出其解即可．
（2）设用ym3木料制作桌面，则用（15﹣y）m3木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可．
解：（1）设用xm3木料制作桌面，则用（15﹣x）m3木料制作桌腿恰好配套，由题意得：
4×50x＝300（15﹣x），
解得x＝9，
答：制作桌面的木料为9m3，制作桌腿的木料为6m3；
（2）设用ym3木料制作桌面，则用（15﹣y）m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子，由题意得：
4×20×y3=320×15−y3，
解得y＝12，
∴15﹣12＝3（m3），
答：用12m3木料制作桌面，用3m3木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子．
总结提升：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，寻找配套问题的等量关系建立方程是解决问题的关键．
类型七 利润问题
典例13（2021秋•古丈县期末）某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？（提示：商品售价＝商品进价+商品利润）
思路引领：已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏．
解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元，
根据进价与得润的和等于售价列得方程：x+0.25x＝60，
解得：x＝48，
类似地，设另一件亏损衣服的进价为y元，它的商品利润是﹣25%y元，
列方程y+（﹣25%y）＝60，
解得：y＝80．
那么这两件衣服的进价是x+y＝128元，而两件衣服的售价为120元．
∴120﹣128＝﹣8元，
所以，这两件衣服亏损8元．
总结提升：本题需注意利润率是相对于进价说的，进价+利润＝售价．
针对训练
1．某商品进价为100元，按标价的8折出售，要使利润率为20%，标价为（　　）
A．120元 B．150元 C．160元 D．180元
思路引领：用售价×折扣﹣进价得出利润，根据润率达到20%，列方程求解．
解：设标价为x元，
依题意得：0.8x﹣100＝100×20%，
解得x＝150．
即标价为150元．
故选：B．
总结提升：本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据润率达到20%，列方程求解．
2．某种鲜花进货价为每枝5元，若按标价的八折出售仍可获利3元，问标价为每枝　 元．
思路引领：设标价为每支x元，则售价为每支0.8x元，根据售价＝进价+利润，列出方程，求解即可．
解：设标价为每支x元，则售价为每支0.8x元，由题意得：
80%x＝5+3，
解得：x＝10，
答：标价为每枝10元；
故答案为：10．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解；本题的等量关系是售价＝利润+进价．
3．（2021秋•随县期末）某商品的进价为200元，原价为300元，折价销售后的利润率为5%，则此商品是按原价的　 　折销售的．
思路引领：题目中的等量关系是利润率＝利润÷成本，根据这个等量关系列方程求解．
解：设商品是按原价的x折销售的，
根据题意列方程得：（300x﹣200）÷200＝0.05，
解得：x＝0.7．
则此商品是按原价的7折销售的．
总结提升：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
第二部分 晚上配套作业
1．A、B两地相距60千米，甲乙两人分别从A、B两地骑车出发，相向而行，甲比乙迟出发20分钟，每小时比乙多行3千米，在甲出发后1小时40分，两人相遇．问甲乙两人每小时各行多少千米？
思路引领：设甲每小时行x千米，则乙每小时行（x﹣3）千米，由题意得：甲的骑车时间×速度+乙的骑车时间×速度＝60，根据等量关系列出方程，再解即可．
解：设甲每小时行x千米，则乙每小时行（x﹣3）千米，
53x+2（x﹣3）＝60，
解得：x＝18，
x﹣3＝15，
答：甲每小时行18千米，则乙每小时行15千米．
总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
2．某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为每小时45千米，运货汽车的速度为每小时35千米，■■■■■■■■■■■■■■■■■■■？”（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道题补充完整，并列方程解答．
思路引领：在路程问题中，有同向而行，亦有相向而行，根据自己的理解能力选择恰当的补充．
解：问题：两车从两地同时出发相向而行，两车何时相遇？
解：设两车x小时相遇，则有：
45x+35x＝40，
80x＝40，
x＝0.5，
答：两车0.5小时相遇．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，在路程问题中，根据路程＝速度×时间，合理地设计应用题．其中相向而行的问题较为简便．
3．甲、乙站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙地开出，每小时行驶85千米．
（1）两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？
（2）快车先开30分钟，两车相向而行，慢车行驶多少小时两车相遇？
思路引领：（1）设两车行驶了x小时相遇，则慢车走的路程为65xkm，快车走的路程为85xkm，根据慢车与快车的路程和为450km建立方程求出其解即可；
（2））设慢车行驶了x小时后两车相遇，则快车行驶了（0.5+x）小时，根据慢车与快车的路程和为450km建立方程求出其解即可．
解：（1）设两车行驶了x小时相遇，根据题意，得
65x+85x＝450，
解得：x＝3．
答：两车行驶了3小时相遇；
（2）设慢车行驶了x小时后两车相遇，根据题意，得
65x+85（0.5+x）＝450，
解得：x=16360．
答：慢车行驶了16360小时后两车相遇．
总结提升：本题考查了行程问题的数量关系在解实际问题中运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据慢车与快车的路程和为450km建立方程是关键．
4．甲、乙两人均骑摩托车去某地，开始时，甲在乙后面30千米，乙每小时骑50千米，甲每小时骑70千米，若两人同时出发，经过多长时间甲追上乙？
思路引领：利用两人行驶的路程关系相差30km，得出等式求出即可．
解：设经过x小时甲追上乙，根据题意可得：
70x＝50x+30，
解得：x＝1.5，
答：若两人同时出发，经过1.5小时甲追上乙．
总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意利用路程得出正确等式是解题关键．
5．甲、乙两人分别在相距68千米的两地同向出发，乙在甲的前面，甲每小时走16千米，乙每小时走18千米．如果甲乙两人同时出发，问甲走多少时间后两人相距90千米？
思路引领：甲、乙原来相距68千米，到两人相距90千米，这段时间两人之间的距离增加22千米，即乙比甲多走22千米，因而存在的相等关系是：乙的速度×时间﹣甲的速度×时间＝22千米．可以设x小时后两人相距90千米．就可以列出方程，求解．
解：设x小时后两人相距90千米，
根据题意得：18x﹣16x＝90﹣68，
解得：x＝11．
答：甲乙两人同时出发2小时后两人相距90千米．
总结提升：此题是一个追及问题，但快的在前面，没有追上，所以理解本题中叙述的过程，找出题目中的相等关系是解题的关键．
6．已知某一铁桥长1000米，今有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间是40秒．求火车的速度和长度．
思路引领：通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程＝桥长+车长，整列火车在桥上通过的路程＝桥长﹣车长，根据这两个等量关系可列出方程．
解：设火车行驶速度为x米/秒，
由题意得：60x﹣1000＝1000﹣40x．
解得x＝20，
火车的长为20×(60−40)2=200（米）．
答：火车的速度为20米/秒，火车的长为200米．
总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．弄清桥长、车长以及整列火车过桥通过的路程，整列火车在桥上通过的路程之间的关系．
7．（2003•杭州）在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/小时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/小时的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是（　　）
A．1.6秒 B．4.32秒 C．5.76秒 D．345.6秒
思路引领：本题属于追及问题，等量关系为：轿车路程﹣卡车路程＝两车车长之和，由此可列出方程．
解：设需要的时间为x秒，110千米/小时=2759米/秒，100千米/小时=2509米/秒，
根据轿车走的路程等于超越卡车的路程加上两车的车身长，得出：
2759x−2509x=12+4
解得：x＝5.76
故选：C．
总结提升：当问题是追及问题，又是从车头相遇到车尾相离，那么等量关系一定是：快车路程﹣慢车路程＝两车车长之和．注意单位．
8．（2013秋•嘉峪关校级期末）轮船在静水中速度为10千米/时，水流速度为2千米/时，则轮船顺流航行的速度为　 　，逆流航行的速度为　 ．
思路引领：根据顺流速度＝静水中的速度+水流速度，逆流速度＝静水中的速度﹣水流速度即可求解．
解：由题意得，轮船顺流航行的速度＝10+2＝12（千米/时），
轮船顺流航行的速度＝10﹣2＝8（千米/时），
故答案为：12千米/时，8千米/时．
总结提升：本题考查了行程问题，解答本题的关键是得出顺流速度＝静水中的速度+水流速度，逆流速度＝静水中的速度﹣水流速度．
9．一架飞机飞行在两城市之间，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需3小时，已知飞机无风时的速度是840千米/小时，求飞机在两个城市间的飞行路程？
思路引领：先设风的速度是x千米/时，根据等量关系：两个城市之间的距离不变，即逆风速度×逆风时间＝顺风速度×顺风时间，列出方程求得风速，最后计算路程即可．
解：设风的速度是x千米/时，根据题意得：
（840﹣x）×3＝（840+x）×256，
解得x＝24，
∴风的速度24千米/时，
∴两个城市间的飞行路程＝（840﹣24）×3＝2448（千米）．
答：飞机在两个城市间的飞行路程为2448千米．
总结提升：本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时需注意：逆风速度＝无风速度﹣风速；顺风速度＝无风速度+风速．
10．小彬乘船由A地顺流而下到B地，然后又按原路逆流而上到C地，共用了4小时，已知船静水速度是每小时10千米，水流的速度是每小时2.5千米，已知A、C两地相距10千米，求A、B两地的距离．
思路引领：首先设出未知数，根据等量关系：由A地顺流而下到B地所用的时间+按原路逆流而上到C地所用时间＝4，分C在A、B之间，C在A的左边，列出方程求解即可解决问题．
解：设A、B两地的距离为x千米，
由题意得：x10+2.5+x−1010−2.5=4，
解得：x＝25；
或x10+2.5+x+1010−2.5=4，
解得：x＝12.5．
即A、B两地的距离25千米或12.5千米．

总结提升：该命题主要考查了列一元一次方程来解决现实生活中的实际问题；解题的关键是深刻把握题意，准确找出命题中隐含的等量关系，正确列出方程求解．
11．（2014•江西模拟）如图，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A点逆流航行3小时到达B点后，又继续顺流航行2小时15分钟到达C点，总共行驶了198km，已知游艇的速度是38km/h．
（1）求水流的速度；
（2）由于AC段在建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需要多少时间？

思路引领：（1）设水流速度为x km/h，则游艇的顺流速度为（x+38）km/h，游艇的逆流航行速度为（38﹣x）km/h．根据“总共行驶了198km”列方程；
（2）AB段的路程为3×36＝108（km），BC段的路程为94×40=90(km)．则往返时间＝两段时间之和．
解：（1）设水流速度为x km/h，则游艇的顺流速度为（x+38）km/h，游艇的逆流航行速度为（38﹣x）km/h．
据题意可得，3(38−x)+94(38+x)=198．
解得x＝2．
∴水流的速度为2km/h．

（2）由（1）可知，顺流航行速度为40km/h，逆流航行的速度为36km/h．
∴AB段的路程为3×36＝108（km），BC段的路程为94×40=90(km)．
故原路返回时间为：9036+10840=2.5+2.7=5.2(ℎ)．
答：游艇用同样的速度原路返回共需要5小时12分．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
12．（2011秋•广陵区月考）某班同学参加平整土地劳动．运土人数比挖土人数的一半多3人．若从挖土人员中抽出6人运土，则挖土和运土的人数相等．求原来运土和挖土各多少人？
思路引领：设原来挖土人数是x人，根据从挖土人员中抽出6人运土，则挖土和运土的人数相等列出方程，进而求出即可．
解：设原来挖土人数是x人，则原来运土人数是（12x+3）人，
由题意，得x﹣6＝（12x+3）+6
解得x＝30．
则12x+3＝18（人）
答：原来挖土人数是30人，原来运土人数是18人．
总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键的找到等量关系，列出方程并解答．
13．（2021秋•兰山区期末）某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼．制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉．现共有面粉4500kg，问制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？（用一元一次方程解答）
思路引领：利用制作的大小月饼正好装成整盒，进而得出等式求出即可．
解：设用xkg面粉制作大月饼，则利用（4500﹣x）kg制作小月饼，根据题意得出：
x0.05÷2=4500−x0.02÷4，
解得：x＝2500，
则4500﹣2500＝2000（kg）．
答：用2500kg面粉制作大月饼，2000kg制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼．
总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
14．（2021秋•大洼区期末）用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱装多少个产品？
思路引领：设B型机器一天生产x个产品，则A型机器一天生产（x+1）个产品，根据每箱产品的个数的一定的，列方程求解．
解：设B型机器一天生产x个产品，则A型机器一天生产（x+1）个产品，
由题意得，5(x+1)−48=7x−111，
解得：x＝19，
7x﹣1＝132，
132÷11＝12（个）．
答：每箱装12个产品．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
15．（2017秋•凌源市期末）列方程解应用题：
有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子，聪明的你算算有多少个鸽笼呢？
思路引领：设原有x个鸽笼，则鸽子有（6x+3）个，根据如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设原有x个鸽笼，则鸽子有（6x+3）个，
根据题意得：8x＝6x+3+5，
解得：x＝4，
答：4个鸽笼．
总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
16．（2020秋•渑池县期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
18
2
88
D
14
6
64
E
10
10
40
（1）参赛者答对一道题得多少分，答错一道题扣多少分？
（2）参赛者F得76分，他答对了几道题？
思路引领：（1）由参赛选手A可得：答对1题得100÷20＝5（分），设答错一题扣x分，根据参赛选手B的得分列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设参赛选手F答对y道题，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：（1）由参赛选手A可得：答对1题得100÷20＝5（分），
设答错一题扣x分，
根据参赛选手B的得分列得：19×5﹣x＝94，
解得：x＝1，
则答对一道题得5分，答错一道题扣1分；
（2）设参赛选手F答对y道题，
根据题意得：5y﹣1×（20﹣y）＝76，
解得：y＝16，
则参赛选手F答对16道题．
总结提升：此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
17．（2004•呼和浩特）某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（　　）
A．不赔不赚 B．赚了32元 C．赔了8元 D．赚了8元
思路引领：要计算赔赚，就要分别求出两个计算器的进价，再与售价作比较即可．因此就要先设出未知数，根据进价+利润＝售价，利用题中的等量关系列方程求解．
解：设盈利60%的进价为x元，
则：x+60%x＝64，
解得：x＝40，
再设亏损20%的进价为y元，则；
y﹣20%y＝64，
解得：y＝80，
所以总进价是120元，总售价是128元，售价＞进价，
所以赚了8元．
故选：D．
总结提升：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
18．（2019•恩施市一模）现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
思路引领：设销售单价为a，销售量为b，销售量要比按原价销售时增加m，则销售总金额为ab，根据题意列出关系式，求出m即可．
解：设销售单价为a，销售量为b，销售量要比按原价销售时增加m，则销售总金额为ab，
根据题意列得：（1﹣20%）a•（1+m）b＝ab，
解得：m＝25%．
故选：C．
总结提升：此题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题目中的各种关系是解本题的关键．
19．一商店把彩电按标价的9折出售，仍可获利20%，若该彩电的进价是2400元，则彩电的标价为　 　元．
思路引领：设彩电的标价为x元，根据售价﹣进价＝利润建立方程求出其解即可．
解：设彩电的标价为x元，有题意，得
0.9x﹣2400＝2400×20%，
解得：x＝3200．
故答案为：3200．
总结提升：本题考查了销售问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据售价﹣进价＝利润建立方程是关键．
20．某商品的售价为每件900元，为了参与市场竞争，商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？
思路引领：设进价为x元，依商店按售价的9折再让利40元销售，此时仍可获利10%，可得方程式，求解即可得答案．
解：设进价为x元，
依题意得：900×90%﹣40﹣x＝10%x，
整理，得
770﹣x＝0.1x
解之得：x＝700
答：商品的进价是700元．
总结提升：应识记有关利润的公式：利润＝销售价﹣成本价．
21．（2021秋•黄埔区期末）某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同．其中，每个小书包的盈利率为30%，每个大书包的盈利率为20%，试求两种书包的进价．
思路引领：设每个小书包的进价为x元，则每个大书包的进价为（x+10）元，根据利润＝进价×盈利率结合两种书包的售后利润额相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设每个小书包的进价为x元，则每个大书包的进价为（x+10）元，
依题意，得：30%x＝20%（x+10），
解得：x＝20，
∴x+10＝30．
答：每个小书包的进价为20元，每个大书包的进价为30元．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．