2022-2023学年山东省烟台市招远市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含解析 )

2022-2023学年山东省烟台市招远市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是(    )

A. 面积相等的两个三角形成轴对称
B. 两个等边三角形是全等图形
C. 关于某条直线对称的两个三角形全等
D. 成轴对称的两个三角形一定面积相等，且位于对称轴的两侧

3. 如图，在中，边上的高为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 有四根细木棒，长度分别为，，，，从中取三根木棒组成一个三角形，有_____种可能情况．(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，一文物被探明位于点地下处，由于点地面下有障碍物，考古人员不能垂直下挖，他们从距离点的处斜着挖掘，那么要找到文物至少要挖米．(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在中，是的垂直平分线，交于，交于，的周长为，而，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，≌，，，、、三点共线，则下列结论中：；；；；正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是______．

12. 一个三角形的三边长为、、，则其面积为______．
13. 是的中线，若，，则与的周长之差为______．
14. 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为______．
15. 如图，≌，点在边上，，则的度数为______．

16. 有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形如图，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了个正方形如图，如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
    在图中作出关于轴对称的，写出点的坐标；
    在图中作出关于轴对称的，写出点的坐标．
    求出的面积．

18. 本小题分
    如图，已知，
    尺规作图：作的平分线交于点．保留作图痕迹，不写作法
    若，线段与有怎样的数量关系？试说明理由．

19. 本小题分
    如图，中，点、在边上，，．
    试问：与有怎样的数量关系？并说明理由．

20. 本小题分
    如图，在三角形中，，，为边上的中线，且，过点作于点请求出线段的长．

21. 本小题分
    课本习题：一个零件的形状如图所示，按规定应等于，，应分别是和李叔叔量得，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？解决问题的策略是多样的，请用三种不同的方法说明其中的道理．
     
22. 本小题分
    如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为多少米？边缘部分的厚度忽略不计

23. 本小题分
    如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点．【知识链接：四边形的内角和等于】
    若的周长最小，利用无刻度直尺和圆规确定点，的位置不写作法，保留尺规作图痕迹；
    在的条件下，求的度数．

24. 本小题分
    定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
    若是“准互余三角形”，，，则______；
    若是直角三角形，．
    如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由．
    点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数．

25. 本小题分
    如图所示，在中，，的垂直平分线交于点，交或的延长线于点．
    如图所示，若，求的大小；
    如图所示，如果将中的的度数改为，其余条件不变，再求的大小；
    你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：面积相等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；
B.边长相等的两个等边三角形是全等图形，原说法错误，故本选项不合题意；
C.关于某条直线对称的两个三角形全等，说法正确，故本选项符合题意；
D.成轴对称的两个三角形一定面积相等，但不一定位于对称轴的两侧，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据轴对称图形的定义，全等三角形的判断方法，轴对称的性质逐一判断即可．
本题考查了轴对称图形的定义与性质．全等三角形的判断，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据三角形的高的定义，为中边上的高．
故选：．
根据三角形的高线的定义解答．
本题主要考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：三角形三边可以为：，，；，，；，，，可以围成的三角形共有种．
故选：．
根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”组合三角形．
本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，
因为，，，
，
故选：．
由题意得，，根据勾股定理即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
利用等线段代换得到，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
解：、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
B、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
C、由图可知，则无法得出，故不能得出，故此选项错误；
D、由图可知，故能得出，故此选项正确；
故选：．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
，
，
的周长，
故选：．
利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据已知的周长为，可得，最后根据三角形的周长公式进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图连接，
，，
，
，
，
十，
、、共线时，的值最小，最小值为的长度，
故选A．
如图，连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度
本题考查轴对称一最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即，
依次为，，，，，，即当时，，
依次为，，，，，，即当时，，
所以当时，．
故选：．
先根据表中的数据得出规律，根据规律求出、的值，再求出答案即可．
本题考查了勾股数，能根据表中数据得出，是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长交于，延长交于，

≌，
，，，，，
，，
，，
，，
故正确，
，
故是错误的，
，，
，
故是正确的，
故选：．
根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的性质，明确题意，采用数形结合的思想是解答的关键．
 

11.【答案】三角形的稳定性 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的稳定性，注意能够运用数学知识解释生活中的现象．
将窗钩固定，显然是运用了三角形的稳定性．
【解答】
解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故答案为三角形的稳定性．  

12.【答案】 

【解析】解：，
此三角形是直角三角形，
此直角三角形的面积为：
故答案为：．
先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积．
此题考查勾股定理的逆定理问题，关键是能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形．
 

13.【答案】 

【解析】解：为中线，
，
与的周长之差，
，，
与的周长之差．
故答案为：
根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，
在中，，即．
故答案为：．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：≌，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据全等三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，能熟记全等三角形的性质定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：设第一个直角三角形的是三条边分别是，，．
根据勾股定理，得，
由图可知，“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；
由图可知，“生长”次后，所有的正方形的面积和是，

“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．
故答案为：．
根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”次后形成图形中所有正方形的面积之和．
此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求，．
如图，即为所求，．
的面积为：
．
 

【解析】直接利用关于轴对称点的性质进而得出答案；
直接利用关于轴对称点的性质进而得出答案；
采用矩形面积减去三个三角形面积的方法，求出矩形面积和三个小三角形面积，最终作差求得面积．
此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．
 

18.【答案】解：射线即为所求；

．
理由：，
，
平分，
，

等角对等边． 

【解析】根据角平分线的作法求出角平分线；
想办法证明即可．
本题考查作图基本作图，等腰三角形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：．
理由如下：
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：，为边上的中线，
，
，，
，
，
即；
，为边上的中线，
，
，
，
的面积
，
解得：． 

【解析】求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出即可；求出，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
 

21.【答案】解：方法一：如图，连接并延长，

在中，
，
在中，
，
，
李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格．
方法二：如图，延长交于，

，
，
，
，
李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格．
方法三：如图，连接，

，
，
李叔叔量得，就可以断定这个零件不合格． 

【解析】通过与、、的数量关系求出，与实际的测量值比较即可．
本题考查了三角形的外角性质，运用三角形外角的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图是其侧面展开图：，，

在中，．
故他滑行的最短距离约为． 

【解析】要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为的半圆的弧长，矩形的长等于本题就是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
 

23.【答案】解：如图，点，即为所求．

，，
，
，
，，
，
． 

【解析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，此时的周长最小，即为的周长最小值．
求出，，可得结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：是“准互余三角形”，，，
，
，
故答案为：；
是“准互余三角形”，
理由：是的平分线，
，
，
，
，
是“准互余三角形”，
是“准互余三角形”
或，
或，
当，时，，
当，时，，
的度数为：或．
根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是；
由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答，
由题意可得，所以分两种情况，，．
本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
 

25.【答案】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
；
，，
，
是的垂直平分线，
，
；
，
理由是：设
，
，
是的垂直平分线，
，
．
． 

【解析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可；
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可；
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力，求解过程类似．