苏科版数学九年级上册期末专区-专题10 点到圆的距离

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专题10 点到圆的距离
1．若所在平面内一点P到上的点的最大距离为8，最小距离是2，则此圆的半径是（       ）
A．5 B．3 C．5或3 D．10或6
【答案】C
【分析】由于点与的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】解：设的半径为，
当点在圆外时，；
当点在内时，．
综上可知此圆的半径为3或5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键．
2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（       ）

A．3 B．14 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P＇位置时，O P＇取得最小值，据此即可求解AB的最大值．
【详解】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°．
∵点A与点B关于原点O对称，
∴AO＝BO．
∴AB＝2OP．
若要使AB取得最大值，则OP需取得最大值，连接OM，交⊙M于点P＇，当点P位于P＇位置时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，

则OQ＝3，MQ＝4，
由勾股定理得：OM＝5．
∵MP＇＝2，
∴OP＇＝3．
∵P在OP＇ 的延长线与⊙M的交点上时，OP取最大值，
∴OP的最大值为3＋2×2＝7．
则AB的最大值为7×2＝14．
故选：B．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最大值时点P的位置．
3．如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM= ，求出A'C的最大值即可．
【详解】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），

则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴OM是△AA'C的中位线，
∴OM=，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3 ．
∴OM的最大值 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．
4．如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为的上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（             ）

A．8 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】连接BP，根据三角形中位线定理可得，从而得到当BP最大时，DE最大，再由当PB过圆心A时，PB最大，即可求解．
【详解】解：如图，连接BP，

∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD=12，
∵E是PC的中点，
∴，
∴当BP最大时，DE最大，
∵P是半径为的上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A、B三点共线，
∵AD=5，BD=12，
∴AB=13，
∴PB的最大值为13+3=16，
∴DE的最大值为8．
故选：A
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键．
5．如图，正比例函数y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的⊙C上运动，点Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（       ）


A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，先根据反比例函数与正比例函数的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据圆的性质可得当经过圆心时，取得最大值，最大值为，联立两个函数的解析式求出点的坐标，利用两点之间的距离公式可得的长，从而可得的值，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，


正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
点关于原点对称，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
由圆的性质可知，当经过圆心时，取得最大值，最大值为，
联立，解得或，
，
，
，
点在1为半径的上运动，
，
，
长的最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质、三角形中位线定理、圆的性质等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键．
6．如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边的一动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长CD到G，使GD=CD，CN+MN=GN+MN，当G，N，M三点共线时，GN+MN的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆弧上，圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM=GB-4，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：延长CD到G，使GD=CD，

CN+MN=GN+MN，
当G，N，M三点共线时，GN+MN的值最小，
∵正方形ABCD中，EF=8，点M为EF的中点，
∴BM=EF=4，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆弧上，
圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM=GB-4，
∵BC=CD=10，
∴CG=20，
∴GB=．
∴CN+MN的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到N点的位置是解题的关键．
7．如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，点C是OB中点，点D是弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是________．

【答案】
【分析】先证明△ECM≌△DCO（SAS），得到EM＝OD＝4，点E在以点M为圆心，半径为4的圆上，当A、E、M三点共线时，AE取最小值AM－EM，过点M作MN⊥AO交AO的延长线于点N，证明四边形COMN是正方形，得到MN＝OC＝ON＝2，用勾股定理求出AM，得到答案．
【详解】解：过点C作MC⊥OB，且使得CM＝OC，连接EM，OD，则∠OCM＝90°，

∵点C是OB中点，
∴OC＝BC＝OB＝2，
∴CM＝OC＝2，
∵CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴∠OCM＝∠DCE，
∴∠OCM＋∠OCE＝∠DCE＋∠OCE，
∴∠ECM＝∠DCO，
在△ECM和△DCO中，
，
∴△ECM≌△DCO（SAS），
∴EM＝OD＝4，
∴点E在以点M为圆心，半径为4的圆上，
∴当A、E、M三点共线时，AE取最小值，
作M作MN⊥AO交AO的延长线于点N，
∴∠MNO＝∠MCO＝∠CON＝90°，
∴四边形COMN是矩形，
∵CM＝OC，
∴四边形COMN是正方形，
∴MN＝OC＝ON＝2，
∴AN＝AO＋ON＝6，
∴AM＝，
∴AE的最小值为AM－EM＝，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了圆的基本性质、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，构造辅助圆是解决此题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心，则过点的所有弦中最短的弦长为______．

【答案】
【分析】设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C，根据勾股定理得到DE=，根据D（2，4），B（2，3），得到DB∥y轴，推出过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C，

∵⊙D与y轴相交的弦长为6，
∴AE=6，
∴CE=3，
∵D（2，4），
∴CD=2，
∴DE=，
∵D（2，4），B（2，3），
∴DB∥y轴，
∴过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，
过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN，
在Rt△DBN中，∠DBN=90°，DB=1，DN=，
∴BN=，
∴MN=2BN=，
故过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．如图，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为1，点坐标为，点是上一动点，则的最小值为 __．

【答案】
【分析】由点是上一动点，当，，三点共线时，即有最小值，连接交于点，过点作于点，利用勾股定理求解PA即可解答．
【详解】解：点是上一动点，当，，三点共线时，有最小值，
连接交于点，过点作于点，

点坐标为，点坐标为，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求一点与圆上点距离的最值、两点之间线段最短、坐标与图形、勾股定理，会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键．
10．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则PAB面积的最大值与最小值之和是___．

【答案】
【分析】过作于，的延长线交于，连接，根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线AB最近的点为CM与的交点，从而求出面积的最小值，根据圆上距离直线AB最远的点为，即可求得最大值，进而求得答案．
【详解】解：过作于，连接，

将x=0，代入中，得y=-3，
将y=0代入中，得x=4
∴点B的坐标为（0，-3）点A的坐标为（4,0）
∴OA=4，OB=3，BC=1－（-3）=4
根据勾股定理可得AB=
则由三角形面积公式得，，
∴，
∴，

的半径
∴圆上点到直线的最小距离是，即点P为CM与的交点时
∴面积的最小值是，
当圆上点到直线的最大距离是，即点P为CM与的交点时
∴面积的最小值是，

故答案是：．
【点睛】此题考查的是求一次函数图象与坐标轴的交点坐标、圆上动点问题和三角形的面积，掌握坐标轴上点的坐标特征、利用等面积求高和求圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．

三、解答题(共0分)
11．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．

【答案】3
【分析】由题意易得，BE＝1，AF＝2，进而把问题转化为求PB＋PA－3的最小值，即为求PB＋PA的最小值，过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得BE＝1，AF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，
∴，，
欲求PE＋PF的最小值，需先求PB＋PA－3的最小值，即求PB＋PA的最小值（如图5-2），
过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，如图5-3，
∴，
∵，，BC∥AD，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点B与关于DC对称，
∴PB＋PA的最小值为，，
∴PE＋PF的最小值等于3．

【点睛】本题主要考查菱形的性质及圆的基本性质，熟练掌握菱形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．


(1)如图，点，．
①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；
②当点C的坐标为时，且的“全距”为1，求m的取值范围；
(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的上．请直接写出△DEF的“全距”d的取值范围．
【答案】(1)①2，1；②-1≤ m ≤ 2且m ≠ 1
(2)

【分析】（1）①根据新定义，可得原点O到线段AB上一点的最大距离为原点O到点A或点B的距离，由两点间公式求得即可，最小的距离是原点O到线段AB中点(0,1)的距离；
②当点C的坐标为时，且的“全距”为1时，有两种情况讨论如下：当点C在线段AB上方时，当点C在线段AB下方时，分别表示出“全距”，求解即可；
（2）由题意得，原点O到等边△DEF上一点的最大距离为原点O到与线段OM延长线的交点的距离，原点O到等边△DEF上一点的最小距离为原点O到与线段OM的交点的距离，求解即可．
(1)
① 点，
原点O到线段AB上一点的最大距离为原点O到点A或点B的距离

最小的距离是原点O到线段AB中点(0,1)的距离，

故答案为：2，1；
②当点C的坐标为时，且的“全距”为1
有两种情况讨论如下：
当点C在线段AB上方时
三角形上一点到原点的最大距离为点C 到原点的距离

三角形上一点到原点的最小距离为线段AB中点(0,1 )到原点的距离

此时若“全距”为1，即m - 1 = 1
则m= 2
当点C在线段AB下方时，
三角形上一点到原点的最大距离为线段AB上点A或点B 到原点O的距离

三角形上一点到原点的最小距离为点C 到原点的距离

此时若“全距”为1，即2-|m|= 1
解得m =±1
假设m= 1，则A，B，C三点不构成三角形，
故m =-1
综上所述，m的取值范围是一1≤ m ≤ 2且m ≠ 1
(2)
OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的上
等边△DEF的三个顶点与的交点不存在O、M、D（或E或F）三点共线的情况
原点O到等边△DEF上一点的最大距离为原点O到与线段OM延长线的交点的距离
即
原点O到等边△DEF上一点的最小距离为原点O到与线段OM的交点的距离
即
综上，“全距”d的取值范围为 ．
【点睛】本题是新定义类题目，涉及两点间距离公式、点与线段的位置关系、点与圆的位置关系，准确理解新定义是解题的关键．
13．如图①，将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，．


(1)求点的坐标；
(2)以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，．
①如图②，当时，与轴交于点，求点的坐标；
②如图③，在（1）的条件下，点不变，继续旋转三角形，当点落在射线上时，求证四边形为矩形；
(3)点不变，记为线段的中点，为线段的中点，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
(3)

【分析】（1）过点作轴，根据点的坐标，勾股定理求解即可；
（2）①以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，，且，可得OF=．即可求得点的坐标；
②根据题意证明，计算，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可得证；
（3）连接，根据三角形中位线的性质可得，根据题意可知点在以为圆心为半径的圆上运动，根据点圆的位置关系即可求得，然后即可求得的取值范围．
(1)
解：如图，过点作轴，


点，点，
∴AB=8，又，，
∴在Rt△ABC中，BC=4，在Rt△GBC中，BG=2，CG=．
又点在第一象限，
∴；
(2)
①以点为中心，顺时针旋转三角形，得到三角形，点，的对应点分别为，，且，
∴．
∴在Rt△FOB中， OB=6，
∴OF=．
∴；
②∵点落在射线上，
∴．
由①知，，
∴．
∵，
∴．
又，
∴四边形是平行四边形.
又，
∴四边形是矩形.
(3)
如图，连接，


分别为的中点

，，
旋转
则点在以为圆心为半径的圆上运动，

即

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，坐标与图形，矩形的判定，点与圆的位置关系，掌握以上知识点是解题的关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1
给出如下定义：记线段AB的中点为M ，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点）．线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）已知点A的坐标为（－1，0），点B在x轴上．
①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为________；
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为________；
（2）若点A，B都在直线上，AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1最小值；
（3）若点A的坐标为（3，4），AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．

【答案】（1）①；②（-5，0）或（7，0）；（2）；（3）
【分析】（1）①先求出M的坐标，然后根据线段AB到圆O的“平移距离”=线段AM的长进行求解即可；
②线段AB到⊙O的“平移距离”为2，且A、B都在x轴上，得到此时线段AB到圆O的：“平移距离”=线段AM的长，即可得到M的坐标，从而确定B的坐标；
（2）设直线与x轴，y轴的交单分别为F，E，过点O作OH⊥EF于H，交圆O于K，先利用勾股定理求出EF=5，然后利用面积法求出OH的长，再由当AB的中点M与H重合时，线段AB到圆O的“平移距离”最小，最小值为HK，进行求解即可；
（3）根据题意可得AB的中点M在以A为圆心，以1为半径的圆上运动，连接OA与M点所在的圆交于Q，与圆O交于P，延长OA与M所在的圆交于R，则“平移距离”的最小值即为PQ，“平移距离”的最大值即为PR．
【详解】解：（1）①∵A（-1，0），B（0，0），
∴线段AB的中点M坐标为（-，0），
∴线段AB到圆O的“平移距离”=线段AM的长=，
故答案为：；
②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，且A、B都在x轴上，
∴此时线段AB到圆O的：“平移距离”=线段AM的长，
∴AM=2，
∵A点坐标为（-1，0），
∴M点的坐标为（-3，0）或（3，0），
∵M是AB的中点，
∴B点的坐标为（-5，0）或（7，0）；
故答案为：（-5，0）或（7，0）；
（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交单分别为F，E，过点O作OH⊥EF于H，交圆O于K，
∴E（0，4），F（-3，0），
∴OF=3，OE=4，
∴，
∵，
∴，
观察图形可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到圆O的“平移距离”最小，最小值为HK，
∵圆O的半径为1，
∴OK=1，
∴；

（3）如图所示，∵A是定点，AB=4是定长，
∴B在以A为圆心，半径为2的圆上，
∴AB的中点M在以A为圆心，以1为半径的圆上运动，
连接OA与M点所在的圆交于Q，与圆O交于P，延长OA与M所在的圆交于R，则“平移距离”的最小值即为PQ，“平移距离”的最大值即为PR，
∵A（3，4），
∴，
∴QP=OA-OP-AQ=3，PR=OA+AR-OP=5，
∴

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，圆外一点到圆上一点的距离最值问题，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
15．在平面直角坐标系 XOY中，对于任意两点 (,)与 (,)的“非常距离”，给出如下定义： 若 ，则点 与点 的“非常距离”为 ；若 ，则点 与点的“非常距离”为 .
例如：点 (1,2)，点 (3,5)，因为 ，所以点 与点 的“非常距离”为 ，也就是图1中线段 Q与线段 Q长度的较大值（点 Q为垂直于 y轴的直线 Q与垂直于 x轴的直线 Q的交点）．

（1）已知点 A(-,0)， B为 y轴上的一个动点，①若点 A与点 B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点 B的坐标；②直接写出点 A与点 B的“非常距离”的最小值；       
（2）已知 C是直线 上的一个动点，①如图2，点 D的坐标是（0，1），求点 C与点 D的“非常距离”的最小值及相应的点 C的坐标； ②如图3， E是以原点 O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点 C与点 E的“非常距离”的最小值及相应的点 E和点 C的坐标．
【答案】（1）①B（0，2）或（0，﹣2）；②； （2）① , C（﹣， ）;②点C的坐标为（﹣，），E（﹣,）,最小值为1．   
【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为（0，y）．因为，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|--0|=；
（2）①设点C的坐标为，根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点C的坐标；
②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即，解答思路同上．
【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（0，y）．
∵|--0|=≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；
②点A与点B的“非常距离”的最小值为  
（2）解：①如图2，

取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．即AC=AD，
∵C是直线y= x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），
∴设点C的坐标为（x0，x0+3），
∴﹣x0= x0+2，
此时，x0=﹣，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|= ，
此时C（﹣，）；
②如图3，

当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，
此时直线CE的解析式为:
设E（x，）（点E位于第二象限）．则，
,解得（因为在第二象限，已舍去正值），
故E（﹣，）．
﹣﹣x0= x0+3﹣，
解得，x0=﹣，
则点C的坐标为（﹣，），
最小值为1．
【点睛】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．
16．阅读下列材料，回答问题.
材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”.解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变.从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值.
解决问题：
（1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件____________时，有最小值为____________.
（2）如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到的距离最小值为__________.
（3）如图③，，P、Q分别是射线、上两个动点，C是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由.
（4）如图④，在矩形中，，，点E是中点，点F是上一点，把沿着翻折，点B落在点处，求的最小值，并说明理由.
（5）如图⑤，在中，，，，以边中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由.

【答案】（1）A，B，O在一条直线上（或）；2；（2）2；（3），见解析；（4），见解析；（5）1，见解析.
【分析】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，这时A，B，O在一条直线上；
（2）作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出AD的长度，用AD的长度减去半径即为圆上动点P到的距离最小值；
（3）根据点C与点O之间的距离永远不变说明点C的运动轨迹为圆，利用弧长公式求路径长即可；
（4）先根据EB为定值，确定点B’的运动轨迹，然后当D,B’,E三点共线时，DB’最小，利用勾股定理求出DE的长度，再减去半径即可；
（5）过O点作，利用三角形中线的性质得出OP,OQ 的长度，从而求出PQ的最小值.
【详解】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，有最小值为3-1=2此时A，B，O在一条直线上（或）；   
（2）如图，作AD⊥BC于点D

∵

由勾股定理得
点P到的距离最小值为
（3）如图，连接，

∵，C是中点，，∴所以C是以O为圆心，半径为2的圆上，所以
（4）如图，连接DE

因为点E是定点，，所以的轨迹为以E为圆心，2为半径的圆上.，∴的最小值为
（5）如图，过O点作，交圆O于点Q，

由三角形中线的性质得，，所以最小值为1
【点睛】本题主要考查根据材料求最小距离，找到动点的运动轨迹是解题的关键.