《高考数学二轮复习培优》第10讲 直线与平面平行

  第十讲 直线、平面平行问题

A组

一、   选择题

1．（2017全国卷2理）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）

A．                     B．                C．               D．

【答案】C

【解析】补成四棱柱 ,

则所求角为

因此 ，故选C.

2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为 （     ）

A．     B．   C．     D．

【答案】C

【解析】

由题可知，在正方体中，,所以异面直线与所成的角与异面直线与所成的角相等，连接，BD,为所求角，设正方体的边长为1，在中，三条边长均为，故=.

3．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（     ）

A．充分而不必要条件      B．必要而不充分条件

C．充分必要条件       D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.

4．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（    ）

A．①③        B．②③        C．①④        D．②④

【答案】C

5．已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（    ）

（A）若，，，则    (B)若，，，则

(C)若，，，则       (D)若，，则//

【答案】D

【解析】A中，过直线作平面分别与交于，则由线面平行的性质知，所以，又由线面平行的性质知，所以，正确；B中，由，知垂直于两个平面的交线，则所成的角等于二面角过的大小，即为，所以，正确；C中，在内取一点A，过A分别作直线垂直于的交线，直线垂直于的交线，则由线面垂直的性质知，则，，由线面垂直的判定定理知，正确；D中，满足条件的也可能在内，故D错，故选D.

二、填空题

6．如图，已知四边形是矩形，，，平面，且，

   的中点，则异面直线与所成角的余弦值为          

【解析】取的中点，连接、

  、是中点，是的中位线

   ∥

   （或者其补角）为异面直线与所成角    

   在中，       

，，    

由余弦定理可知

7．是两平面，是两条线段，已知，于，于，若增加一个条件，就能得出，现有下列条件：①；②与所成的角相等；③与在内的射影在同一条直线上；④.其中能成为增加条件的序号是          .

【答案】①③.

【解析】由题意得，，∴，，，四点共面，①：∵，，

∴，又∵，，∴，∵，∴面，

又∵面，∴，故①正确；②：由①可知，若成立，则有面，则有成立，而与，所成角相等是无法得到的，故②错误；③：由与在内的射影在同一条直线上可知面，由①可知③正确；④：仿照②的分析过程可知④错误，故填：①③．

三、解答题

8．如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是上的点，且.

求证：平面

【解析】　连接并延长交于，连接，

因为，所以，

又因为，

所以，所以.

又平面，平面，

所以平面

9．如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形，且平面.

（Ⅰ）求证：平面AED；  

（Ⅱ）若，求多面体的体积V.

【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：∵是菱形，∴，

又平面，平面，∴平面.

又是正方形，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

∵平面，平面，，   

∴平面//平面.

由于平面，知平面.  

（Ⅱ）解：连接，记.

∵是菱形，∴，且.

由平面，平面，.

∵平面，平面BDEF，，

∴平面于O，

即为四棱锥的高. 

由是菱形，，则为等边三角形，由，则，

，，，.

10．如图，在三棱柱中，侧棱底面，

，为的中点，.

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）设，求四棱锥的体积.

【解析】（Ⅰ）连接,设与相交于点,连接，

 ∵ 四边形是平行四边形,

∴点为的中点．

∵为的中点，∴为△的中位线,

∴ ．

∵平面,平面,

∴平面．       

（Ⅱ） ∵平面,平面,

∴ 平面平面，且平面平面．

作，垂足为，则平面，

∵，，

在Rt△中，，，

∴四棱锥的体积

11．如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合．

（1）设面与面相交于直线，求证：；

（2）试类比求解三角形的内切圆（与三角形各边都相切）半径的方法，求出四棱锥的内切球（与四棱锥各个面都相切）的半径．

【解析】（1），面，面

面

面，平面平面

（2）设内切球的半径，内切球的圆心与四棱锥的各个点连接，将四棱锥分成五个小的三棱锥，

由于，，

，面，

，，，

，，

.

B组

一、   选择题

1、已知直线和平面，则下列四个命题正确的是（   ）

A．若，，则     B．若，，则

C．若，，则      D．若，，则

【答案】C

【解析】选项A， 若，，则或或与相交，A错；选项B， 若，，则或，B错；选项C， 若，，则，C正确；选项D， 若，，则或与相交，D错.故选C.

2、已知异面直线，成角，为空间中一点，则过与，都成角的平面（  ）           

A．有且只有一个      B．有且只有两个      C．有且只有三个     D．有且只有四个

【答案】B.

【解析】

分析题意可知，若平面与，都成角，则，与该平面的垂线夹角也为，故原问题等价于求直线，使得与，都都成角，如下图所示，把异面直线，平移到相交，使交点为，此时，过点作直线平分，∴，将直线从旋转至与平面垂直的位置，根据对称性从而可知满足题意的直线有两条，故选B．

3、点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成的角是                                                                                                                                

A．                B．               C．            D．

【答案】A

【解析】作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为，

所以与所成的角就是，由题意可知：，

所以.

4、直三棱柱ABC－A的底面为等腰直角三角形ABC，∠C＝90，且则与所成角为（     ）

A.30      B.45     C.60            D.90

【解析】过得中点F，分别作,的平行线因为..所以.故选D.

二、填空题

5、如图，在正方体中，为棱的中点，则与所在的直线所成角的余弦值等于　　．

【答案】

【解析】连结，，∥，就是与所在的直线所成角，设，则，，．

∴与所在的直线所成角的余弦值等于．故答案为：．

6、在空间四边形中，分别是和上的点，若 ，则对角线AC与平面DEF的位置关系是             ．

AC∥平面DEF

【解析】因为，所以EF∥AC．

又因为AC平面DEF，EF平面DEF，

所以AC∥平面DEF．

三、解答题

7、如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面.

【解析】（1）在中，因为是的中点，是的中点，

所以.                                    

又平面，平面，所以平面.   

（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，

又，即，而面，且，

所以面.                                 

而面，所以，

又是正方形，所以，而面，且，

所以面.                                 

又面，所以面面.              

8、在长方体中，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．

（Ⅰ）求棱的长；

（Ⅱ）若的中点为，求异面直线与所成角的余弦值．

[来源:学科网]

【解析】（Ⅰ）设，由题意得：

∴，解得，故的长度为3.

（Ⅱ）∵在长方体中，∥

∴为异面直线与所成的角（或其补角）

在中，

∴，

∴

则

∴异面直线与所成角的余弦值为．

9、如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，.面，且.为中点，在棱上，且.

（Ⅰ）求证：面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

【解析】

（Ⅰ）证明：如图所示，取的中点，连接，连接交于，连接．

由题可知，为的中点，为的中点，∴∥；又为的中点，为的中点，

∴∥，又面；面，

∴平面∥平面，又∵面，∴面．

（Ⅱ）解：∵⊥平面，所以是三棱锥的高，又

∴，同理，

则

10、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上．

（1）求证：平面；

（2）当为何值时，∥平面？写出结论，

并加以证明．

【解析】（1）在梯形中，，

四边形是等腰梯形，

且

又平面平面，交线为，

平面

（2）当时，平面，

在梯形中，设，连接，则

，而，

，四边形是平行四边形，

又平面，平面平面

C组

二、   选择题

1、若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件

【解析】若m⊥α，l⊥m，则l⊂α或l∥α；若m⊥α，l∥α，则l⊥m．故选B．

2、设线段AB，CD是夹在两平行平面α，β间的两异面线段，点．若分别为AB，CD的中点，则有（   ）

A．        B．       

C．        D．≤

【解析】如图，连接AC，BD，AD，取AD的中点P，连接MN，NP，PM，则．又两线段异面，所以M，N，P不可能共线．在△MNP中，即．

3、已知l是过正方体的顶点的平面与下底面的交线，则下列结论错误的是（   ）

A．∥                      B．∥平面       

C．∥平面                D．∥

【解析】因为∥，由直线和平面平行的判定定理，知B正确；∥平面，又平面平面，由线面平行的性质定理知，∥，∥平面，所以C，D正确．故选A．

4、长方体中，已知二面角的大小为，若空间有一条直线与直线所成角为，则直线与平面所成角的取值范围是（     ）

（A）    （B）     （C）     （D）

【答案】A

【解析】

试题分析：如图所示，过点作，连接，则，则为二面角，所以，因为，取角的角平分线，此时即为直线，过点做，即平面，此时直线与平面所成角的最大角是，另外一种情况是，，此时直线为直线，则直线与平面平面所成最小角为，所以直线平面所成角的范围是，故选A．

二、填空题

5、已知正方体，下列结论中正确的是         ．（只填序号）

①∥；   ②平面∥平面；

③∥；     ④∥平面．

①②④  解析：连接、，因为∥且=，所以四边形是平行四边形，故∥，从而①正确；易证∥，∥，又，，所以平面∥平面，从而②正确；由图易知与异面，故③错误；由∥，平面，平面，所以∥平面，故④正确．

6、如图11所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列四个结论：

①存在点，使得//平面；

②存在点，使得平面；

③对于任意的点，平面平面；

④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.

其中，所有正确结论的序号是___________．

【答案】①③④

【解析】

当点为的中点时，由对称性可知也是的中点，此时//,因为，，所以//，故①正确；假设，因为，所以。所以四边形为菱形或正方形，即。因为为正方体所以。所以假设不成立。故②不正确。因为为正方形，所以，因为，，所以，因为，所以。因为，所以。同理可证，因为，所以，因为，所以。故③正确。

设正方体边长为，则。故④正确。

综上可得正确的是①③④。

三、解答题

7、如图所示，矩形中，平面，
，为上的点，且平面
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：平面；
(Ⅲ) 求三棱锥的体积.
【解析】 (Ⅰ)证明：∵平面，，∴平面，则 

又平面，则平面

(Ⅱ)由题意可得是的中点，连接

平面，则，而，

是中点,在中，，平面

(Ⅲ) 平面，，

而平面，平面

是中点，是中点，且，

平面，，中，，

8、如图，在直三棱柱中，是正三角形，点分别是棱，，的中点.

（1）求证：；

（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论.

【解析】（1）证明:因为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以，因为就正三角形，为棱的中点，所以

又因为，所以平面，

因为平面，所以       

(2)直线平面，证明如下:

如图，连接交于点，连.

因为四边形为矩形，所以为的中点，又为的中点，所以.

因为点分别为的中点，所以，所以.

因为平面，平面，所以直线平面

9、如图，四边形为菱形，平面，，.

 （Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面.

 【解析】(1)设与的交点为，连接，因为，所以，

因为，所以，故四边形为平行四边形，所以，

又平行，平行，所以平面；

（Ⅱ）连结，因为，所以，因为，所以，

故四边形为平行四边形.

所以.因为平面，所以平面，

又平行，所以，

因为四边形为菱形，所以，

又平行，平行，

所以平面，又，所以平行，

因为平面，所以平面平面.

10、在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点.

（1）求证：面；

（2）求二面角的大小的正弦值；

（3）求点到面的距离.

【解析】

（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴ 面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，

∴即为二面角的平面角，在中，；

（3）∵，∴.