2021-2022学年江苏省连云港市海州区新海中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2021-2022学年江苏省连云港市海州区新海中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1. 在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图所示的是由个小立方块搭建而成的几何体，其左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组名学生的单元测试成绩如下单位：分：，，，，，这组数据的平均数和中位数分别为(    )

A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分

5. 如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 使关于的二次函数在轴右侧随的增大而减小，且使得关于的分式方程有整数解的整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一直线型路线从地出发前往地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发分钟．乙骑行分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程单位：米与乙骑行的时间单位：分钟之间的关系如图所示，小明同学得到如下结论：
   乙的速度为米分钟，甲的原速为米分钟；
   ；
   当乙出发分钟时，甲、乙两人相距米；
   乙比甲晚分钟到达地．
   其中，正确的结论有个．(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本题共8小题，共24分）

9. “浮云游子意，明月故乡情”，今年初我国向非洲国家免费提供新冠疫苗支，其中数字“”用科学记数法表示为______．
10. 使代数式在实数范围内有意义的的取值范围是______．
11. 因式分解：______．
12. 一个圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的侧面积为______．
13. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则的度数为______．
14. 若，则的值为______．
15. 如图，中，，，的平分线交于点，过点分别作，，垂足分别为，，设，与面积之和为，则与之间的函数表达式为______．
16. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，，且，长是关于的方程的两个实数根，以为直径的与交于，作射线，交轴于点，点为的中点，则线段的长为______．

三、解答题（本题共11小题，共102分）

17. 计算：．
18. 解方程组：．
19. 先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作为的值代入求值，
20. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
    
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的周长．
21. 扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．
    
    根据以上信息，回答下列问题：
    本次调查的样本容量是______，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为______；
    补全条形统计图；
    学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
22. 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到组体温检测、组便民代购、组环境消杀．
    小红的爸爸被分到组的概率是______；
    某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程
23. 在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了、两种不同型号的口罩，已知型口罩的单价比型口罩的单价多元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．
    、两种型号口罩的单价各是多少元？
    根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元，则增加购买型口罩的数量最多是多少个？
24. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，直线的表达式为，双曲线经过点，与边相交于点．
    填空：______．
    若点关于轴的对称点为点，求直线的表达式：
    连接、，求的面积．

25. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图是政府给贫困户新建的房屋，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点点，，在同一水平线上参考数据：，，，
    求屋顶到横梁的距离；
    求房屋的高结果精确到．
     
26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，与轴的另一交点为点．
    
    求抛物线的解析式；
    如图，连接，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
    如图，连接，交轴于点，点是线段上的动点不与点，点重合，将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，请直接写出线段的长．
27. 【问题情境】：
    如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______．
    【类比探究】；
    如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且：：，连接、判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
    【拓展提升】：
    如图，在的条件下，点是从点运动点，直接写出点的运动路径长度；
    如图，在的条件下，连接，求的最小值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在，，，这四个数中，最小的数是．
故选：．
根据正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可．
本题考查的是有理数的大小比较，熟记有理数大小比较法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是同类项，不能合并，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确．
故选：．
根据合并同类项、完全平方公式、积的乘方、二次根式加减运算法则分别进行计算即可．
本题考查合并同类项，二次根式的加减，积的乘方，完全平方公式的运算．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边是一个小正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数，
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，
这组数据的中位数，
故选：．
根据平均数和中位数的定义即可得到结论．
本题考查了平均数和中位数，熟练掌握求平均数和中位数的方法是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，
是正三角形，
，
，
，
，
故选：．
根据正多边形的性质和三角形的内角和解答即可．
此题考查多边形的内角和外角，关键是根据正多边形的性质和三角形的内角和解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由，得出，再由，得出，求得，进一步得出，进一步利用圆周角定理得出的度数即可．
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的二次函数在轴右侧随的增大而减小，
，
解得，，
由分式方程，得，
则使得关于的分式方程有整数解的整数的值为，，，，
又，
的整数值为，，
，
故选：．
根据二次函数在轴右侧随的增大而减小和分式方程，可以求得的所有可能性，从而可以求得所有符合条件的的和，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，乙的速度为米分，
设甲的速度为米分．则有：
，
解得，
即甲出发时速度是米分，乙出发时速度是米分，故错误；
分钟后甲的速度为米分，
分，
分，
即甲出发了分钟；故错误；
当乙出发分钟时，甲、乙两人相距：，
故错误；
由题意得，总里程米，
分钟乙的路程为米，
分钟．
即乙比甲晚分钟到达地，故正确．
综上，正确的结论只有个，
故选：．
根据乙出发分钟行驶米可得乙的速度；根据甲出发分钟后两人相距米可得甲的速度；
首先求出甲后来的速度，再根据甲比乙晚出发分钟可得答案；
甲乙两人距离为甲、乙的速度差相遇后行驶的时间即可得出结论；
首先求出总里程，再求出甲到达地时，乙离地的距离即可解决问题．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
所以且，
所以．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设侧面展开图所得扇形的半径为，
根据题意得，解得，
所以该圆锥体的侧面积．
故答案为：．
设侧面展开图所得扇形的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后根据扇形面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
．
故答案为：．
由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，根据平行线的性质，可得，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及平行线的性质；熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，



，
故答案为：．
先求出，再把化为，整体代入计算即可．
本题主要考查了因式分解的应用，掌握用因式分解的方法将式子变形，然后整体代入求值是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
四边形是矩形，
平分，，，
，
四边形是正方形；
，，，
将绕点顺时针旋转，得到，，如图所示：

则、、三点共线，，
，即，
，
与之间的函数关系式为．
证明四边形是矩形，由角平分线的性质得出，则可得出结论；将绕点顺时针旋转，得到，，由得出，由二次函数的性质可得出答案．
本题主要考查了正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质等知识；熟练掌握角平分线的性质和旋转的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：、长是关于的方程的两实根，，则，
得，的半径为；
，
．
连接，是的直径，则，为的中点，
，
，
又，
，
，
是的切线．
，，
∽，
，
，
．
先根据根与系数的关系求出的长，故可得出圆的半径．连接，是的直径，则，由为的中点得出，故可得出，再由得出，故，再根据，，得出∽，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
本题考查的是圆的综合题，涉及到圆周角定理及相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与系数的关系，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先算乘方，再算乘法，最后算加减即可．
本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解题关键．
 

18.【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是． 

【解析】得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
 

19.【答案】解：原式
，
，
整数为，，，
，，
可取，
则原式． 

【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．
 

20.【答案】证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长． 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
证，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的性质得出，，，由勾股定理得，即可得出答案．
 

21.【答案】解：；；
等级的人数为：人，
补全的条形统计图如图所示；

人，
答：估计该校需要培训的学生有人． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示等级的扇形圆心角的度数；
根据中的结果，可以计算出等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．
【解答】
解：本次调查的样本容量是，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为：，
故答案为：，；
见答案；
见答案．  

22.【答案】 
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中“王老师与小红的爸爸”在同一组的有种，
． 

【解析】共有种可能出现的结果，被分到“组”的有种，即可求出概率．
用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“王老师与小红的爸爸”分到同一组的概率．
本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．
 

23.【答案】解：设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，
根据题意，得：．
解方程，得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
所以．
答：型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元；
设增加购买型口罩的数量是个，
根据题意，得：．
解不等式，得：．
因为为正整数，所以正整数的最大值为．
答：增加购买型口罩的数量最多是个． 

【解析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，根据“用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同”列出方程并解答；
设增加购买型口罩的数量是个，根据“增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元”列出不等式．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，
针对于直线的解析式为，
令，则，
，
，令，则，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故答案为：；
由知，，，
点到是向右移动个单位，再向上移动，
点到点是向右移动个单位，再向上移动，
，
，
点是点关于轴对称，
点，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为；
由知，，，
根据勾股定理得，，
，
．
作轴，利用一次函数的性质求出，的坐标，由“一线三直角”证明∽用相似比求出，的值，进而求出点坐标，点在上，值可求；
矩形上，由平移的性质和，，坐标可知坐标，求出关于轴对称点，利用点斜式设直线方程，将，坐标代入，可求；
利用勾股定理求出，的值，的面积等于矩形面积的．
此题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，待定系数法，求出点的坐标是解本题的关键．
 

25.【答案】解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
米；
答：屋顶到横梁的距离为米；
过作于，
设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
解得：，
米，
答：房屋的高为米． 

【解析】根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论；
过作于，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

26.【答案】解：抛物线经过点和点，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
存在，理由是：
在轴正半轴上取点，使，过点作，垂足为，
在中，
令，解得：或，
点坐标为，
点坐标为，
可知：点和点关于轴对称，
，即，
，
，
在中，有，
即，解得：，
，
，
若，
则，
，，
则，
为锐角，
当点在第三象限时，
为钝角，不符合；
当点在轴上方时，
，设点坐标为，
过点作轴的垂线，垂足为，
则，，
，
解得：，
，
点的坐标为；

当点在第四象限时，
同理可得：，，
，
解得：，
，
点的坐标为，
综上：点的坐标为或；

设与交于点，
，，设直线表达式为，
则，解得：，
直线表达式为，
设点的坐标为，
，，设直线表达式为，
则，解得：，
直线表达式为，
令，则，
点坐标为，
可得：点是线段中点，
和的面积相等，
由于折叠，
≌，即，
由题意可得：
当点在直线上方时，
，
即，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
解得：或舍，
，
，

当点在直线下方时，如图，
同理可得：四边形为平行四边形，
，
由于折叠可得：，
，

综上：的长度为或． 

【解析】根据点和点的坐标，利用待定系数法求解；
在轴正半轴上取点，使，过点作，垂足为，构造出，分点在第三象限时，点在轴上方时，点在第四象限时，共三种情况分别求解；
设与交于点，分点在直线上方和点在直线下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得，，从而证明四边形为平行四边形，继而求解．
本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图象和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．
 

27.【答案】 

【解析】解：结论：．
理由：正方形，
，，
正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；
结论：，．
理由：如图中，延长、相交于点．

四边形、四边形都是矩形，
，
，
：：：，
：：，
：：，
，
∽，
，，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
．
，；
如图中，作于，交的延长线于．

，，
，
，
∽，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，
设交于点，则四边形是矩形，．
当点从到时，点的运动轨迹是线段，
点的运动轨迹的长是；
作点关于直线的对称点，连接交于，
此时的值最小，最小值是，
由知，，
，
，
的最小值就是的最小值，
，
，
，
的最小值为．
通过证明和全等，得到；
通过证明∽得到，所以延长、相交于点因为矩形，所以，所以，，所以，所以；
作于，交的延长线于首先证明点的运动轨迹是线段，设交于点，则四边形是矩形，当点从到时，点的运动轨迹是线段，进而可以解决问题；
将的最小值转化为求的最小值，然后根据勾股定理即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．