2022-2023学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 人体中枢神经系统中约含有千亿个神经元，某种神经元的直径约为微米微米米将微米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3. 如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则相同的视图是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题中，是真命题的有(    )
   对角线相等且互相平分的四边形是矩形
   对角线互相垂直的四边形是菱形
   四边相等的四边形是正方形
   四边相等的四边形是菱形

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 无实数根

7. 如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投次，任意投掷飞镖次，飞镖击中扇形阴影部分的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在的边上任取两点，，过作的平行线交于，过作的平行线交于若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，四边形是边长为的正方形，点在边上，，过点作，分别交、于点、，、分别是、的中点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，矩形的顶点，，与轴负半轴的夹角为，若矩形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第秒时，矩形的对角线交点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 写出一个大于且小于的整数______．
12. 已知，则______．
13. 四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等边三角形，平行四边形、矩形、圆四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出两张，则抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为______．
14. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为，那么主持人站立的位置离点较近的距离为______结果保留根号
15. 如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，的长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：；
    化简：．
17. 本小题分
    为落实我校“着眼终身发展为幸福人生奠基”的办学理念，丰富学生的课余生活，我校组织开设了书法、健美操、乒乓球和朗诵四个社团活动，每个学生选择一项活动参加，为了了解活动开展情况，学校在所有七八九年级学生中随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图：
    请根据以上的信息，回答下列问题：
    抽取的学生有______人，______，______；
    请列式求样本中朗诵的人数并补全条形统计图；
    我校有学生人，请估计参加乒乓球社团活动的学生人数．
     
18. 本小题分

如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上，已知米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度．

19. 本小题分
    如图，在中，，按如下步骤作图：
    分别以和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于、两点；
    作直线，交于点，交于点；
    连接．
    请根据以上材料回答下列问题：
    图中所作的直线是线段的______线；
    若，则______；
    利用中的结论解决问题：若，，求的周长．

20. 本小题分
    如图，在中，，，，分别为，的中点，过点作的平行线与的延长线交于点，连接，．
    求证：四边形为菱形；
    若，求四边形的面积．

21. 本小题分
    年月郑州市遭遇新一轮疫情，为保障民生问题，郑州市市场监督管理局发布提醒告诫函要求：在疫情防控期间不允许哄抬物价．疫情前，经营水果店张阿姨以每斤元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤元的价格出售，每天可售出斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出斤．为了响应政府号召，且保证每天至少售出斤，张阿姨决定降价销售．
    若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______斤用含的代数式表示．
    若要每天盈利元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？
22. 本小题分
    如图，矩形内接于矩形各顶点在三角形边上，，在
    上，，分别在，上，且于点，交于点．
    求证：∽．
    若，，设，则当取何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？

23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，已知▱，，，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
    ______；直接写出结果
    若点在轴上，且．
    点坐标为______；直接写出结果
    求证：∽．
    若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
直接根据倒数的定义解答即可．
本题考查的是倒数，熟知乘积是的两数互为倒数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：微米 米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：主视图、左视图相同，均为：

俯视图为：

故选：．
判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向．
 

4.【答案】 

【解析】解：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；
四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
四边相等的四边形是菱形，正确．
故选：．
直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：和不是同类项，不能合并，故A选项符合题意；
B.，故B选项符合题意；
C.，故C选项不符合题意；
D.，故D选项不符合题意．
故选：．
A.和不是同类项；
B.用同底数的幂相除法则；
C.应用幂的乘方进行计算即可；
D.用平方差公式计算即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
【解答】
解：总面积为，其中阴影部分面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理求出，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
连接，，如图：

是的中点，四边形为矩形．
点为的中点，．
四边形是正方形，
，
又，
为等腰直角三角形．
是的中点，
，
，
为直角三角形，
点为的中点，
，
四边形是边长为的正方形，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
．
故选：．
先判定四边形为矩形，连接，，可得点为的中点，；再证明为等腰直角三角形，然后由直角三角形斜边中线的性质可得，由勾股定理可得的长，即为的长，从而可得的值．
本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股数及直角三角形的斜边中线性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
每秒旋转，次一个循环，，
点和刚开始旋转的位置相同，
点的纵坐标为：，横坐标为：，
点的坐标为
故选：．
求出，每秒旋转，次一个循环，，第秒时，矩形的对角线交点与第六次的点的坐标相同，第六次点和刚开始旋转的位置相同，由此可得到点的坐标．
本题考查旋转变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是明确题意，发现点得变化特点，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】或或 

【解析】解：设所求整数为，
，
，
，
所求的整数的范围是，
即整数可以是、、．
故答案为：、、填其中一个即可．
首先确定和的整数部分，然后在取值范围内确定整数即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
利用合比的性质解决问题即可．
本题考查比例线段，合比的性质等知识，解题的关键是掌握合比的性质，属于中考常考题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：分别用，，，表示画有等边三角形，平行四边形、矩形、圆的卡片，
画树状图得：

共有种等可能的结果，抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的是：，，，，，．
抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的概率为：．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽出的卡片正面图案均是中心对称图形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，设主持人站立的位置离点较近的点为，
则点是的黄金分割点，
，
，
即主持人站立的位置离点较近的距离为，
故答案为：
由黄金分割点的定义求出的长，即可解决问题．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比值是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图所示，当时，，
，，在同一直线上，
由题可得，，，
中，，
，
，，
∽，
，即，
解得；
如图所示，当，，
由题可得，，
，
，
；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
当是直角三角形时，分两种情况进行讨论，或依据相似三角形的判定与性质以及折叠的性质，即可得到的长．
本题属于折叠问题，主要考查了勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合运用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，解题的关键是利用对应边和对应角相等．
 

16.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分的混合运算，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：抽取的学生有人，
，
，
，
，
故答案为：，，；
参加朗诵社团活动的学生人数为人，
补全条形统计图如图：
；
估计参加乒乓球社团活动的学生人数为人．
答：估计参加乒乓球社团活动的学生人数人．
由参加乒乓球社团活动的学生人数及其所占百分比可得抽取的总人数，用乘以参加健美操社团活动的学生人数所占比例即可得，根据参加书法社团活动的学生人数和抽取的总人数求出参加书法社团活动的学生所占比例可得的值；
先根据参加四个社团活动的学生数之和等于总人数求出参加朗诵社团活动的学生人数，再补全条形统计图；
用总人数乘以样本中参加乒乓球社团活动的学生人数对应的百分比可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

18.【答案】解：由题意可得：，，米，
∽，
则，
米，米，米，
，
解得：，
故AB米，
答：旗杆的高度为米． 

【解析】根据题意可得：∽，进而利用相似三角形的性质得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解题关键．
 

19.【答案】垂直平分   

【解析】解：由作图可知，是线段的垂直平分线．
故答案为：垂直平分．

垂直平分线段，
，
故答案为：．

，，，
，
垂直平分线段，
，
的周长．
根据线段的垂直平分线的作法判断即可．
利用线段的垂直平分线的性质求解即可．
利用勾股定理求出，再证明的周长即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的周长等知识，解题的关键是证明，把三角形的周长转化为．
 

20.【答案】证明：，
，
为中点，
，
在和中

≌，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，为中点，
，
，
，
即，
四边形为菱形；

解：，，分别为，的中点，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，，
，，
四边形的面积． 

【解析】根据平行线的性质得出，求出，证≌，推出，推出四边形是平行四边形，再求出即可；
求出，，推出，由勾股定理得出，求出，求出，，即可求出四边形的面积．
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，含角的直角三角形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．
 

21.【答案】 

【解析】解：将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是斤；
故答案为：；
根据题意得：，
解得：或，
每天至少售出斤，
．
元．
答：若要每天盈利元，张阿姨需将每斤的售价降至元．
销售量原来销售量下降销售量，据此列式即可；
根据销售量每斤利润总利润列出方程求解即可．
本题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，
∽；
∽，
，
，
，
设矩形的面积为，
则．
当取时，矩形的面积最大，，最大面积是． 

【解析】由，可证∽；
由相似三角形的性质可得，表达出与的关系，进而求出矩形的面积与之间的函数关系式，进而解答．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
 

23.【答案】  或 

【解析】解：解，得，，
，
，，
在中，由勾股定理有．
故答案为：．
点在轴上，，
，
，
或．
故答案为：或．
在中，，，，
在中，，，，
，，
∽．
存在，理由如下：
由题意，，
平分，
、是邻边，点在射线上时，，
所以点与重合，
即．
、是邻边，点在射线上时，应在直线上，且垂直平分，
点．
是对角线时，解析式为，的垂直平分线经过点，解析式为，
由题意直线的解析式为，
由，解得，
联立直线与直线求交点，

是对角线时，过做垂线，垂足为，根据等积法求出，勾股定理得出，．
作点关于的对称点即为，，过作轴垂线，垂足为，，

综上所述，满足条件的点有四个：，，，
求得一元二次方程的两个根后，判断出、长度，根据勾股定理求得长．
易得到点的坐标为，还需求得点的坐标，之间的距离是一定的，那么点的坐标可能在点的左边，也有可能在点的右边．根据所给的面积可求得点的坐标．
根据两边成比例夹角相等证明相似即可．
根据菱形的性质，分与是邻边并且点在射线上与射线上两种情况，以及与分别是对角线的情况分别进行求解计算．
本题属于相似形综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．