2022年冬季甘肃省普通高中学业水平合格性考试数学考前模拟卷01（新教材）（含解析）

2022年冬季甘肃省普通高中学业水平合格性考试

数学考前模拟卷01

考试试卷为90分钟，卷面满分100分

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（    ）

A．140 B．60 C．56 D．120

3．复数满足，则（    ）

A． B． C．2 D．

4．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．下列说法中，正确的是（　　）

A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4

B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方根

C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半

D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频数

7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

若某户居民本月缴纳的水费为99元，则此户居民本月的用水量为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．5

9．已知函数在上为增函数，且函数是上的偶函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B． C． D．

10．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0-9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：

102  798  391  925  173  845  812  529  769  683

231  307  592  027  516  588  730  113  977  539

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（    ）

A． B． C． D．

11．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知个人能破译的概率分别是，，求密码被成功破译的概率（    ）

A． B． C． D．

12．的值域是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分

13．在中，，，若有一个解，则的取值范围是________.

14．数据的第63百分位数是，则实数的取值范围是__________.

15．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为_____________．

16．已知向量，，若与垂直，则实数等于____．

17．在中，已知，则_____________．

三、解答题：本大题共3小题，共32分，解答时，应写成必要的文字说明、证明过程或验算步骤

18．（本题满分10分）

已知函数．

(1)求函数的单调递减区间及其图象的对称中心；

(2)已知函数的图象经过先平移后伸缩得到的图象，试写出其变换过程．

19．（本题满分10分）

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.

(1)求A1C1与B1C所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.

20．（本题满分12分）

已知定义域为的函数.

(1)判断函数的单调性，并证明；

(2)解不等式.

参考答案：

1．D

【分析】利用交集运算即可.

【详解】因为，，所以

故选：D

2．A

【分析】首先计算每周的自习时间不少于22.5小时的频率，再根据频数公式，即可求解.

【详解】每周的自习时间不少于22.5小时的频率是,

.

故选：A

3．D

【分析】按照复数的运算法则求出，再根据复数的模长公式求解即可.

【详解】由可得，

所以，

故选：D.

4．C

【分析】根据特称命题改写为否定形式格式判断即可.

【详解】特称命题改写为否定形式格式为特称量词改为全程量词，结论改为原结论的反面，故原命题的否定为.

故选：C

5．A

【分析】根据在上递增列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】的开口向上，对称轴为，

由于在上递增，

所以，解得，

所以的取值范围是.

故选：A

6．C

【分析】求出众数判断A；利用标准差的定义判断B；计算出标准差判断C；利用频率分布直方图的意义判断D作答.

【详解】数据5，4，4，3，5，2的众数是4和5，A不正确；

一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，B不正确；

数据2，3，4，5的平均数为，标准差，

数据4，6，8，10的平均数为，标准差，有，C正确；

频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频率，D不正确.

故选：C

7．A

【分析】由题可得水费与用水量的解析式，进而根据水费即可求得用水量.

【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，

则，

整理得：，

当时，，

当时，，

因此，由得：，

解得，所以此户居民本月的用水量为.

故选：A.

8．D

【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.

【详解】解：因为，所以.

故选：D

9．A

【分析】由题判断出关于对称，且在单调递减，再讨论和时根据单调性求解．

【详解】函数在上为增函数，且函数是上的偶函数，

关于对称，且在单调递减，

当时，由可得，；

当时，则等价于，可解得，，

综上，或．

故选：A

10．D

【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．

【详解】在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的可以通过列举得到共5组随机数：

798，769、588、 977，共4组随机数，

所求概率为，

故选：D．

11．B

【分析】根据独立事件概率乘法公式与对立事件分析即可得密码被成功破译的概率.

【详解】解：由题意知甲、乙两人独立破译的概率分别是，

则被成功破译为事件，则.

故选：B.

12．A

【分析】先由根式求得函数的定义域，再用换元法将函数转化为二次函数，由此利用二次函数的值域的求法即可求得函数的值域.

【详解】因为函数，所以，则，

令，则，所以，

因为开口向下，对称轴为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得最大值为，最小值为负无穷，

所以的值域为.

故选：A.

13．

【分析】根据已知，结合图形，利用三角形的知识进行判断求解.

【详解】

如图，若有一个解，则.

故答案为：.

14．

【分析】直接根据百分位数的定义计算得到答案.

【详解】，故数据的第63百分位数是第个数据为，故.

故答案为：

15．

【分析】先求出球的半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系式，即可得到侧面积表达式，然后用重要不等式即可求解.

【详解】设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，

则由题意知，，解得R=2.

又圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则圆柱的两个底面圆的圆心关于球心对称，且.

则圆柱的侧面积，，

因为，，当且仅当，即，时，等号成立.

所以，

故答案为：.

16．0或4

【分析】根据向量坐标运算的垂直关系计算即可.

【详解】向量，，

若与垂直，

则，解得或，

故答案为：0或4.

17．

【分析】根据余弦，求出正弦，结合诱导公式，余弦的和角公式进行计算.

【详解】中，，故，

因为，所以，

所以

.

故答案为：.

18．(1)单调递减区间为，，对称中心为，．

(2)答案见解析

【分析】（1）整体法求解三角函数的单调区间和对称中心；

（2）先通过向右平移个单位长度，再进行伸缩变换得到答案.

（1）

令，，得，，

因此函数的单调递减区间是，．

令，，得，，因此函数图象的对称中心是，．

（2）

，先将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，

接着把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，

最后把图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象．

19．(1)60°

(2)90°

【分析】（1）作平行线，找到A1C1与B1C所成角，再进行求解；

（2）作辅助线，得到A1C1与EF所成的角，证明出垂直关系，得到所成角为90°.

【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1.

由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，

∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.

在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.

（2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1，

∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.

∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD.

又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，

∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.

20．(1)函数在区间上为增函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）在定义域内任取，，且，化简，与零比较大小，确定和的大小，对函数的单调性下结论.

（2）利用函数的单调性解不等式.

【详解】（1）函数在区间上为增函数，

证明：设，

则，

又由，则，，

则有，故在上为增函数.

（2）由，则，

由（1）知在上为增函数，则，

解可得：，故不等式的解集为.