动量定理与微元法的综合应用练习

专题：动量定理与微元法的综合应用

一、单选题

1．水刀切割具有精度高，无热变形、无毛刺，无需二次加工以及节约材料等特点，因而得到广泛应用。某水刀切割机床如图所示，若横截面直径为d的圆柱形水流垂直射到要切割的钢板上，碰到钢板后水的速度减为零。已知水的流量（单位时间流出水的体积）为Q，水的密度为，则钢板受到水的平均冲力大小为（　　）

A． B． C． D．

2．如图所示，小华发现质量为M的水平平板锅盖刚好被水蒸气顶起。假设水分子的质量均为m，并均以速度v垂直撞击锅盖后以大小为的速度反向弹回，重力加速度为g，忽略水分子的重力，则单位时间撞击锅盖的水分子个数为（　　）

A． B． C． D．

3．最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×106 N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为（　　）

A．1.6×102 kg B．1.6×103 kg C．1.6×105 kg D．1.6×106 kg

4．如图，风力推动风力发电机的三个叶片转动，叶片带动转子（磁极）转动，在定子（线圈）中产生电流，实现风能向电能的转化。已知叶片长为r，风速为v，空气密度为，流到叶片旋转形成的圆面的空气中约有速度减速为0，有原速率穿过，如果不考虑其他能量损耗，下列说法正确的是（　　）

A．一台风力发电机的发电功率约为

B．一台风力发电机的发电功率约为

C．空气对风力发电机一个叶片的平均作用力约为

D．空气对风力发电机一个叶片的平均作用力约为

5．福建属于台风频发地区，各类户外设施建设都要考虑台风影响。已知10级台风的风速范围为，16级台风的风速范围为。若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌，则16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的（　　）

A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍

二、多选题

6．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力大小为f，则（　　）

A．一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量大小为   B．时间内粒子给面积为S的器壁冲量大小为

C．器壁单位面积所受粒子压力大小为            D．器壁所受的压强大小为

7．1899年，苏联物理学家列别捷夫首先从实验上证实了“光射到物体表面上时会产生压力”，我们将光对物体单位面积的压力叫压强或光压。已知频率为的光子的动量为，式中h为普朗克常量（h=6.63×10-34J·s），c为光速（c=3×108m/s），某激光器发出的激光功率为P=1000W，该光束垂直射到某平整元件上，其光束截面积为S=1.00mm2，该激光的波长=500nm下列说法正确的有（　　）

A．该激光器单位时间内发出的光子数可表示为

B．该激光定能使金属钨（截止频率为1.095×1015Hz）发生光电效应

C．该激光不能使处于第一激发态的氢原子（E2=-3.4eV=-5.44×10-19J）电离

D．该光束可能产生的最大光压约为6.67Pa

三、解答题

8．物理学中有一个非常有趣的现象：研究微观世界的粒子物理、量子理论，与研究宇宙的理论竟然相互沟通，相互支撑。目前地球上消耗的能量，追根溯源，绝大部分还是来自太阳内部核聚变时释放的核能。

（1）已知太阳向各个方向辐射能量的情况是相同的。如果太阳光的传播速度为c，到达地球需要的时间为t，在地球大气层表面每秒钟每平方米垂直接收到的太阳辐射能量为E0。请你求出太阳辐射的总功率P的表达式。

（2）根据量子理论可知，光子既有能量也有动量，光子的动量，其中h为普朗克常量，λ为光的波长。太阳光照射到地球表面时，大量光子碰撞地面其动量发生变化，会产生持续均匀的“光压力”。为了将问题简化，我们假设太阳光垂直照射到地球上且全部被地球吸收，到达地球的每个光子能量均为，每秒钟照射到地球的光子数为个。已知真空中光速，太阳对地球的万有引力大小约为。请你结合以上数据分析说明，我们在研究地球围绕太阳公转时，是否需要考虑太阳“光压力”对地球的影响。（结果保留一位有效数字）

9．光子不仅具有能量，也具有动量。照到物体表面的光子被物体吸收或被反射都会对物体产生一定的压强，这就是光压。光压的产生机理与气体压强产生的机理类似：大量气体分子与器壁的频繁碰撞产生持续均匀的压力，器壁在单位面积上受到的压力称为气体的压强。体积为V的正方体密闭容器中有大量的光子。为简化问题，我们做如下假定：每个光子的频率均为ν，光子与器壁各面碰撞的机会均等，光子与器壁碰撞为弹性碰撞，且碰撞前后瞬间，光子动量方向都与器壁垂直，不考虑器壁发出的光子数和对光子的吸收，光子的总数保持不变，且单位体积内光子个数为n；光子之间无相互作用。已知单个光子的能量ε和动量p间存在关系ε＝pc（其中c为光速），普朗克常数为h。

（1）①写出单个光子的动量p的表达式（结果用c、h和ν表示）；

②写出光压I的表达式（结果用n、h、ν表示）。

（2）类比理想气体，我们将题目所述的大量光子的集合称为光子气体，把容器中所有光子的能量称为光子气体的内能。

①求出容器内光子气体内能U的表达式（结果用V和光压I表示）；

②体积为V的容器内存在单个气体分子质量为m、单位体积内气体分子个数为n′的理想气体，分子速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，分子动量方向都与器壁垂直，且速率不变。求气体内能U′与体积V和压强p气的关系；并从能量和动量之间关系的角度说明光子气体内能表达式与气体内能表达式不同的原因。

10．2020年12月2日4时53分，探月工程“嫦娥五号”的着陆器和上升器组合体完成了月壤采样及封装。封装结束后上升器的总质量为，它将从着陆器上发射离开月面。已知月球质量为，表面重力加速度为，引力常量为，忽略月球的自转。

（1）求月球的平均密度；

（2）月球表面没有大气层。上升器从着陆器上发射时，通过推进剂燃烧产生高温高压气体，从尾部向下喷出而获得动力。已知喷口横截面积为，喷出气体的密度为，若发射之初上升器加速度大小为，方向竖直向上，不考虑上升器由于喷气带来的质量变化，求喷出气体的速度大小。

11．雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。

(1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W；

(2)将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数；

a.设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；

b.示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v—t图线，其中_____对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v—t图线。

(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f ∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。

12．在科学研究中，常用电磁场来控制带电粒子的轨迹。如图所示，真空中有一半径为r 的圆形磁场区域，与x轴相切于坐标原点O，磁场磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，在圆形磁场区域的右侧有两水平放置的正对的平行金属板M、N，板间距离也为r， 板长为L，板间中心线O2O3的反向延长线恰好过磁场圆的圆心O1，在O点处有一粒子源， 能向磁场中各个方向（纸面内）源源不断地发射速率相同、质量为m、比荷为k且带正电的粒子，单位时间内发射的粒子数为n，沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能沿直线O2O3的方向射入平行板间。不计重力、阻力及粒子间的相互作用。求

（1）粒子入射的速度v0的大小；

（2）若已知两平行金属板间电场强度，在平行板的右端适当位置固定一平行于 y轴方向的探测板（图中未画出），使从M、N板右端射出平行板间的粒子全部打在探测板上，则板长至少为多少？

（3）在满足第（2）问的前提下，若打到探测板上的粒子被全部吸收，求粒子束对探测板 的平均作用力的大小。

13．目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭载了一种全新的推进装置——霍尔推力器。其工作原理简化如下：由阴极逸出（初速度极小）的一部分电子进入放电室后，在电场力与磁场力的共同作用下被束缚在一定的区域内，与推进剂工质（氙原子）发生碰撞使其电离；电离后的氙离子在磁场中的偏转角度很小，其运动可视为在轴向电场力作用下的直线运动，并最终被高速喷出，霍尔推力器由于反冲获得推进动力。设某次核心舱进行姿态调整，开启霍尔推力器，电离后的氙离子初速度为0，经电压为U的电场加速后高速喷出，单位时间内喷出氙离子的数目为N，已知一个氙离子的质量为m，电荷量为q，忽略离子间的相互作用力和电子能量的影响，求：

（1）氙离子喷出加速电场的速度v及其所形成的等效电流为I；

（2）霍尔推力器获得的平均推力大小F；

（3）可以用离子推进器工作过程中产生的推力与电压为U的电场对氙离子做功的功率的比值S来反映推进器工作情况．通过计算说明，如果要增大S可以采取哪些措施。

参考答案：

1．D

【详解】设时间内有体积为的水打在钢板上，则这些水的质量

以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为，以水运动的方向为正方向，由动量定理得

解得

水流速度

得

根据牛顿第三定律，钢板受到水的冲力

故选D。

2．A

【详解】设单位时间撞击锅盖的水分子个数为n，则由动量定理

其中

解得

故选A。

3．B

【详解】设它在∆t时间内喷射的气体质量为∆m，根据动量定理

解得

则它在1 s时间内喷射的气体质量约为1.6×103 kg。

故选B。

4．D

【详解】AB．发电机叶片形成面积为

经过时间t，这段时间内形成风柱的长度为

风柱的体积为

空气中约有速度减速为0，有穿过，则与叶片发生相互作用的风柱的质量为

由动能定理，风力在这一段位移过程中做的功为

一台风力发电机获得的风能的功率为

AB错误；

CD．对与叶片发生相互作用的空气柱为研究对象，规定空气流动的方向为正方向，由动量定理得

代入数据得

根据牛顿第三定律得，空气对一台风力发电机的平均作用力为

一台风力发电机有三个叶片，所以空气对风力发电机的一个叶片的作用力约为

C错误，D正确；

故选D。

5．B

【详解】设空气的密度为，风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌的横截面积为，在时间的空气质量为

假定台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌的末速度变为零，对风由动量定理有

可得

10级台风的风速，16级台风的风速，则有

故选B。

6．CD

【详解】A．根据动量定理可知一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量是

I=mv-（-mv）=2mv

故A错误；

B．在△t时间内面积为S的容器壁上的粒子所占据的体积为

V=SvΔt

因为粒子与器壁各面碰撞的机会均等，即可能撞击到某一个器壁面的粒子数为

根据动量定理得Δt时间内粒子给面积为S的器壁冲量大小为

故B错误；

C．根据动量定理可得面积为S的器壁所受粒子的压力大小为

所以器壁单位面积所受粒子压力大小为

故C正确；

D．根据压强的定义可知器壁所受的压强大小即为器壁单位面积所受的压力大小，即

故D正确。

故选CD。

7．AC

【详解】A．单位时间内射到平整元件上的光能为

每个光子的能量为

则该激光器单位时间内发出的光子数

故A正确；

B．入射光的频率为

入射光的频率小于金属钨的截止频率，不能发生光电效应，故B错误；

C．入射光子的能量

光子能量小于处于第一激发态的氢原子的电离能，不能使其电离，故C正确；

D．对单位时间内发出的光子，根据动量定理

根据以上分析可知

代入， 可得

故D错误。

故选AC。

9．（1）；（2），我们在研究地球围绕太阳公转时，不需要考虑太阳“光压力”对地球的影响。

【详解】（1）日地之间的距离为

距离太阳中心为r的球面面积为

太阳辐射的总功率为

解得

（2）每个光子的能量为

每个光子的动量为

光照射到地球表面被吸收时，根据动量定理得

光压与万有引力之比为

解得

由此可知，光压力远小于太阳对地球的万有引力，我们在研究地球围绕太阳公转时，不需要考虑光压力对地球的影响。

11．（1）①p＝；②I＝nhν；（2）①U＝3IV；②U′＝p气V；原因见解析

【详解】（1）①光子的能量

且

ε＝pc

联立上述两式解得

②在容器壁上取面积为S底，以c·Δt为高构成的柱体中，光子在Δt时间内有与容器壁发生碰撞，则在Δt时间内能够撞击在器壁上的光子总数为

N＝cΔtSn

设器壁对这些光子的平均作用力为F，则根据动量定理有

FΔt＝2Np

由牛顿第三定律有，这些光子对器壁的作用力大小

F′＝F

由压强定义，光压

（2）①设容器内光子的总个数为N，则光子的内能

U＝Nε＝nVhν

且

I＝nhν

联立上述两式解得

U＝3IV

②一个气体分子每与器壁碰撞一次动量变化大小为2mv，以器壁上的面积S为底，以vΔt为高构成柱体，由题设可知，柱内的分子在Δt时间内有与器壁S发生碰撞，碰壁分子总数

N′＝n′SvΔt

对这些分子用动量定理有

FΔt＝2N′mv

联立上述两式解得

F＝n′mv2S

由牛顿第三定律有，气体对容器壁的压力大小

F′＝F

由压强定义，气压

p气＝＝n′mv2

理想气体分子间除碰撞外无作用力，故无分子势能。所以容器内所有气体分子动能之和即为气体内能，即

U′＝n′Vmv2＝p气V

由上述推导过程可见，光子内能表达式与理想气体内能表达式不同的原因在于光子和气体的能量与动量的关系不同。

对于光子，能量和动量的关系为

ε＝pc

而对于气体则为

Ek＝mv2＝pv

12．（1）；（2）

【详解】（1）质量为的物体放在月球表面，受到的万有引力等于重力，可得

解得

又

联立解得

（2）设喷出气体对上升器的作用力大小为，对上升器由牛顿第二定律可得

设在时间内喷射出气体质量为，由动量定理可得

其中

由牛顿第三定律有

联立解得

13．(1)；(2)a. ；b. ①；；(3)见解析

【分析】(1)对雨滴由动能定理解得：雨滴下落h的过程中克服阻做的功；

(2) 雨滴的加速度为0时速度最大；

(3)由动量定理证明

【详解】(1)对雨滴由动能定理得：

解得：；

(2)a。半径为r的雨滴体积为：，其质量为

当雨滴的重力与阻力相等时速度最大，设最大速度为，则有：

其中

联立以上各式解得：

由可知，雨滴半径越大，最大速度越大，所以①对应半径为的雨滴，

不计空气阻力，雨滴做自由落体运动，图线如图：

(3)设在极短时间内，空气分子与雨滴碰撞，设空气分子的速率为，

在内，空气分子个数为：，其质量为

设向下为正方向，对圆盘下方空气分子由动量定理有：

对圆盘上方空气分子由动量定理有：

圆盘受到的空气阻力为：

联立解得：。

14．（1）；（2）；（3）

【详解】（1）由题意可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为

   ①

根据牛顿第二定律有

   ②

由题意可知

   ③

联立①②③解得

   ④

（2）如图所示，设某粒子从O射出时与y轴夹角为θ，根据几何关系可知四边形OO1PO′为菱形，由此可推知所有粒子从磁场射出时的速度方向都平行于x轴。

粒子在两金属板间做类平抛运动的加速度大小为

   ⑤

运动时间为

   ⑥

侧移量为

  ⑦

由题意可知

   ⑧

联立④⑤⑥⑦⑧解得

   ⑨

所以紧贴极板入射的粒子将从O3射出，沿O2O3入射的粒子将从极板右边缘射出，若使从M、N板右端射出平行板间的粒子全部打在探测板上，探测板紧贴M、N右端时长度最小，为。

（3）在满足第（2）问的前提下，假设粒子在两金属板间向下偏转，设紧贴N板射入的粒子从O点射出时的速度方向与y轴夹角为θ，根据几何关系有

   ⑩

解得

   ⑪

而沿y轴正方向射出的粒子恰好沿O2O3射入，所以与y轴速度夹角在0~30°范围内的粒子可以最终打到探测板上。所以射入平行板间的粒子与射入磁场的粒子数之比为

   ⑫

Δt时间内打在探测板上的粒子数为

   ⑬

粒子打在探测板上时，根据动量定理，在水平方向上有

   ⑭

在竖直方向上有

   ⑮

根据运动学公式有

   ⑯

探测板对粒子束的平均作用力大小为

   ⑰

联立⑤⑥⑬⑭⑮⑯⑰解得

   ⑱

根据牛顿第三定律可知粒子束对探测板的平均作用力的大小为。

根据对称性可知，若粒子在金属板间向上偏转，则可得到相同的结论。

15．（1），；（2）；（3）见解析

【详解】（1）由动能定理

①

解得

②

由电流定义，等效电流

③

（2）以内喷出的n个氙离子为研究对象：由动量定理

④

推出

⑤

根据牛顿第三定律得，推力器获得推力

⑥

联立②⑤⑥得

⑦

（3）设内电场对n个氙离子做功为W，则电场做功功率为

⑧

又

⑨

联立⑧⑨得

⑩

根据题意，由⑦⑩推出

⑪

根据上式可知：增大S可以通过减小q、U或增大m的方法。