2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破+第29讲　解三角形应用举例及综合问题+精品讲义+Word版含解析【精编版】

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第29讲　解三角形应用举例及综合问题






1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.













Ø 考点1 解三角形应用举例

[名师点睛]
1.距离问题的类型及解法
(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
2.高度问题的类型及解法
（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
3.角度问题的类型及解法
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
[典例]　
1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.

2. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373 C.446 D.473
3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点处，测得仰角为30°，再行走80米到点处，测得仰角为.则______________.
[举一反三]　
1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（       ）

A． B． C． D．
2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（       ）
A．20m B．10m C．m D．m
3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．

4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.




5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为45°，求塔高．







Ø 考点2 求解平面几何问题

[名师点睛]
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
[典例]　
1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
(1)若AB＝，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.








2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.
(1)证明：，；
(2)若，，求的最小值.





[举一反三]　
1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．

(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．







2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若边上的高线长为，求面积的最小值.








3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________.
(1)求角；
(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.

























Ø 考点3 三角函数与解三角形的交汇问题

[名师点睛]
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
（1）利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
（2）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
[典例]　
（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．
(1)求的值及的对称中心；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．













[举一反三]　
1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式；
(2)在锐角中，若边，且，求周长的最大值．


















2.（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长



第29讲　解三角形应用举例及综合问题






1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.













Ø 考点1 解三角形应用举例

[名师点睛]
1.距离问题的类型及解法
(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.
2.高度问题的类型及解法
（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.
（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.
（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.
3.角度问题的类型及解法
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
[典例]　
1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.

【答案】2
【分析】由题意确定相应的各角的度数，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案.
【详解】由题意可知，, ,
故在中，，
故 ，，
在中，，
故 ，，
所以在中，，则 ,
故答案为：2
2. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373 C.446 D.473
答案　B
解析　如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝.
在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，
则BD＝A′B′＝，又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，
所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE
＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373.
3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点处，测得仰角为30°，再行走80米到点处，测得仰角为.则______________.
【答案】
【解析】首先得到，然后由余弦定理得：，，然后求出即可
【详解】
如图，为楼脚，为楼高，则，易得：.
由余弦定理得：，
，
两式相加得：，
则，
故.
故答案为：
[举一反三]　
1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM，即可得解.
【详解】连接FD，并延长交AB于M点，如图，

因为在中，
所以；又因为在中，
所以，所以，
所以，即，
故选：A．
2．（2022·江苏南通·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（       ）
A．20m B．10m C．m D．m
【答案】B
【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出 ，等边的长度，然后在中用余弦定理即可解得答案.
【详解】如图示，AB表示旗杆，

由题意可知：，
所以设 ，则，
在 中， ,
即 ，解得 ，（舍去），
故选：B.
3．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
①测量、、；
②测量、、；
③测量、、；
④测量、、．
其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．

【答案】②③
【分析】利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.
【详解】对于①，由正弦定理可得，则，
若且为锐角，则，此时有两解，
则也有两解，此时也有两解；
对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；
对于③，若已知、、，由余弦定理可得，
则唯一确定；
对于④，若已知、、，则不确定.
故答案为：②③.
4．（2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

(1)求小岛A到小岛C的距离；
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.
解：(1)在中，
，根据余弦定理得：.


.
所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.
(2)根据正弦定理得：
解得
在中，
为锐角

.
由得游船应该沿北偏东的方向航行
答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.
5．（2022·广东·高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为45°，求塔高．

【解】在中，，
∵，
由正弦定理得.
在中．∴．
所以塔高为米．



Ø 考点2 求解平面几何问题

[名师点睛]
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
[典例]　
1. (2021·新高考八省联考)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1.
(1)若AB＝，求BC；
(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.
解　(1)如图所示，
在△ABD中，由余弦定理可知，
cos∠ABD＝＝＝.
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝.
在△BCD中，由余弦定理可得，
BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝12＋12－2×1×1×，∴BC＝.
(2)设BC＝x，则AB＝2BC＝2x.由余弦定理可知，
cos∠ABD＝＝＝x，①
cos∠BDC＝＝＝.②
∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，
即cos∠BDC＝cos∠ABD.联立①②，可得＝x，整理得x2＋2x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝－－1(舍去).将x1＝－1代入②，解得cos∠BDC＝－1.
2.（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.
(1)证明：，；
(2)若，，求的最小值.
解：(1)在和中，可得，，
所以，，
由正弦定理，得，，
两式相除得，可得，，
又由，根据余弦定理得
所以
代入可得
.
(2)由，及，可得
根据基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立，
又由，，可得，
所以的最小值是3.
[举一反三]　
1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．

(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
解：（1）因为，,所以，因为，所以由正弦定理知，即，因为，所以，，在中，．
（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或．因为，所以，因为AM为的平分线，所以（h为底边BC的高）所以，故，而由（1）知，所以．
2．（2022·福建省福州第一中学三模）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若边上的高线长为，求面积的最小值.
解：(1)由已知，所以，
所以，由正弦定理得，
因为、，则，，，
所以，，则，所以，所以，则.
(2)由，得，
由余弦定理，
即，因为，则，当且仅当取等号，
此时面积的最小值为.
3．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________.
(1)求角；
(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.
解：(1)选①，由及正弦定理可得，
所以，，
因为、，所以，，则，
所以，，；
选②，由及正弦定理可得，
所以，，
、，，所以，，则.
(2)因为，所以，，
由已知，即，所以，，
所以，，
即
，
所以，.


Ø 考点3 三角函数与解三角形的交汇问题

[名师点睛]
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
（1）利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
（2）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
[典例]　
（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为．
(1)求的值及的对称中心；
(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求周长的取值范围．
解：(1)，
显然的最大值为1，最小值为，则时，的最小值等于，则，则，；
令，解得，则的对称中心为；
(2)，，又，则，
由正弦定理得，则，
则周长为

，又，则，
则，故周长的取值范围为.
[举一反三]　
1．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式；
(2)在锐角中，若边，且，求周长的最大值．
解：(1)由图得，

，又，所以，
将点代入，得，即，
考虑到，故，
即的解析式为
(2)由，得及，故，
因为为锐角三角形，且，故
由正弦定理，得
所以

又，故，
故周长的最大值为3.
2.（2022·山东淄博·三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为．
(1)求函数的解析式；
(2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长．
解：(1)因为，
设函数的周期为，由题意，即，解得，
所以.
(2)由得：，即，解得，
因为，所以，
因为的平分线交于，
所以，即，可得，
由余弦定理得：，，而，
得，因此