专题3-3 圆锥曲线最值问题-(人教A版2019选择性必修第一册) (学生版+教师版)

圆锥曲线最值问题

1 常见的几何模型

① 圆外点到圆上点的距离

圆外一点与圆上一点的距离最小值是，最大值是圆的半径.

② 圆上点到圆外直线的距离

圆上一动点到圆外一定直线的距离最小值是，最大值是圆的半径，是圆心到直线的距离；

③三点共线模型

一动点到两定点的距离分别为，

当共线，且点在之间时，取到最小值；

当共线，且点在同侧时，取到最大值；

其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

④ 将军饮马模型

点在直线同侧，点在直线上，那；

⑤垂线段最值模型

点是内外的一点，点在上，与点到射线的距离之和为．

(1) 点是外，   (2) 点是内，

⑥ 胡不归模型

如图，求，构造射线，使得角度，则，问题转化为“垂线段模型”，则.

⑦ 阿氏圆模型

如图，圆半径是，点在圆外，点是圆上一动点，已知，求的最小值.

在线段上截取，则，即，

则的最小值转化为的最小值，当然是，即.

2最值问题常见处理方法

① 几何法

通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型.

② 代数法

理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值.

【方法一】几何法

  【典题1】 已知椭圆：内有一点为椭圆的左、右焦点为椭圆上的一点，求：

的最大值与最小值；的最大值与最小值．

【解析】(1)由椭圆：1可知

则

则当且仅当三点共线时成立，

所以

所以的最大值与最小值分别为和；

(2)

设是椭圆上任一点，由，

等号仅当时成立，此时共线，

由，

等号仅当时成立，此时共线，

故的最大值与最小值为．

【点拨】本题采取几何法，通过三点共线模型与椭圆的定义进行求解.

  【典题2】 设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则　   ．

【解析】如图所示，

过点作垂直于直线，垂足为点，

由抛物线的定义可得，

所以点到直线的距离为，

所以

(三点共线模型)

当且仅当三点共线时，取到最小值，即．

如图所示，

过点作直线垂直于直线，垂足为点，

由抛物线的定义可得

点到直线的距离为，

所以，

当且仅当三点共线时，等号成立，即，

(垂线段最值模型)

因此．

【点拨】

① 本题采取几何法，通过几何模型与抛物线的定义进行求解；

② 处理抛物线类似的题目，注意点在抛物线之内还是之外，比如本题点在抛物线外，点在抛物线内.

【典题3】已知双曲线方程为如图，点的坐标为是圆上的点，点在双曲线的右支上，求的最小值．

【解析】设点的坐标为0)，则点是双曲线的焦点，

由双曲线的定义，得．

，

(此时相当于把点看成“定点”看待，当三点共线时取到最小值，这是处理两动点的常规方法)

又是圆上的点，圆心为

半径为，故，

从而，

当点在线段上时取等号，即的最小值为．

【点拨】本题眨眼一看，存在两动点，有些头疼.题中通过双曲线的定义把的最小值转化为最小值问题，这就是圆外一点到圆上最短距离问题，即.注意两动点最值问题处理的方式.

【典题4】 椭圆上的点到直线的距离的最大值为      .

【解析】 设与直线平行的直线与椭圆相切，

由得，

由得

设直线与直线的距离为，

当时； 当时.

椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.

【点拨】通过观察，可知与直线平行且与椭圆相切的直线与椭圆的切点即是取到最小距离的点，最小距离为两平行线的距离.

【方法二】代数法

【典题1】 求点到椭圆上的点之间的最短距离．

【解析】设椭圆上的点，其中，

则  (曲线消元)

设，其对称轴为，

(构造函数，问题转化为二次函数定区间动轴最值问题)

① 当，即时，在上递增，

则，即的最小值为；

②当，即时，在上先递减再递增，

则，即的最小值为；

③当，即时，在上递减，

则，即的最小值为；

综上，当时，最小为|；

时，最小为；

时，最小为．

【点拨】

① 两点距离往往用两点距离公式表示；

② 本题把求距离最值问题转化为函数的最值问题，函数问题优先讨论定义域，函数含有参数，则按照“二次函数动轴定区间最值问题”的解题套路根据对称轴与区间的相对位置进行分类讨论；

③ 本题还是利用椭圆的参数方程，设椭圆上点，从而构造函数进行分析，相当引入变量表示，而解析中是引入变量.

【典题2】 已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为离心率为点是椭圆上的动点的面积的最大值为．

求椭圆的方程；

设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点线段的中垂线为．若直线与直线相交于点与直线相交于点求的最小值．

【解析】过程略，椭圆的方程为．

(采取代数法，思路很直接，引入变量表示再求其最值，而是线段，用两点距离公式和弦长公式求出，由于它们是由直线引起，故该变量与直线方程有关)

由题意知直线的斜率不为，故设直线的方程为，

设．

联立得．

此时．

．

由弦长公式，得，

(用表示，弦长公式求得)

又．

，

直线与直线相互垂直，

即，

，

，

当且仅当即时等号成立．

当，即直线的斜率为时取得最小值．

【点拨】

① 本题中求表示出来，用到了弦长公式，而用两点距离公式，最后，则问题就转化为求函数的最小值，利用了基本不等式求解；

② 求时，也可以.

【典题3】 是抛物线上的动点，过作圆：的两条切线交轴于两点，

若两条切线的斜率乘积为求点的纵坐标；

求当时面积的取值范围．

【解析】(1)设点直线的斜率分别为，记

的方程：，

则由直线与圆相切得：

同理直线与圆相切可得

所以是的两根，

又．

又

．

(2)由(1)得

由知：；

，

故令，

在上递增，

故函数值域为，

即面积的取值范围为．

【点拨】

① 若满足，则是一元二次方程的两根；

② 本题求面积的取值范围，则先求出本题给出了的范围，作为变量表示面积很自然)，则问题就变成求函数的值域问题，用到了换元法与对勾函数的性质.

【典题4】 如图，已知抛物线：为圆：上一动点，由向引切线，切点分别为当点坐标为时的面积为．

求的方程；

当点在圆：上运动时，记分别为切线的斜率，求||的取值范围．

【解析】设切线方程为：，不妨设．

联立化为，

则，化为．

方程化为，解得．

，由对称性可知，

的面积为，，解得．

．

的方程为：．

设，则．

设切线方程为：，

联立化为，

．

，，

．

.

||的取值范围是]．

【点拨】理解到本题的变化源头在点，利用直线与抛物线相切把用表示，由于，想到消元，得到，把问题转化为求函数的值域，注意到的取值范围.

巩固练习

1(★★) 已知抛物线的焦点为定点在此抛物线上求一点使最小，则点坐标为(　　)

A． B． C． D．

【答案】   

【解析】根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，

设点到准线的距离为

则所求的最小值，即的最小值；

根据平面几何知识，可得当三点共线时最小，

的最小值为到准线的距离；

此时的纵坐标为，代入抛物线方程得的横坐标为，得

故选：．

2(★★) 是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是(　　)

A． B． C． D．

【答案】    

【解析】椭圆的，

如图，设椭圆的右焦点为，

则；

；

由图形知，当在直线上时，，

当不在直线上时，

根据三角形的两边之差小于第三边有，；

当在的延长线上时，取得最小值

的最小值为．

故选：．

3(★★) 点是双曲线的右支上一点分别是和上的点，则的最大值是(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】

【解析】双曲线中，如图：

，

，…①

，

可得，…②

相加，得

故选：．

4(★★★) 【多选题】已知抛物线的焦点为过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，设线段的中点为．若抛物线上存在一点到焦点的距离等于．则下列说法正确的是(　　)

A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是 

C．的最小值是 D．线段的最小值是

【解析】(1)抛物线的焦点为F(0)，

得抛物线的准线方程为

点点到焦点的距离等于，可得，解得，

则抛物线的方程为；所以不正确；

抛物线的准线方程：，所以正确；

(2)由题知直线l的斜率存在，，

设，直线的方程为，

由消去得，

所以，

所以，

所以的中点的坐标为，

|，

所以圆的半径为，

在等腰中，

当且仅当时取等号．

所以的最小值为．所以正确；

线段的最小值是：．所以不正确；

故选：．

5(★★) 设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是　 　．

【答案】  

【解析】设椭圆上的点为，则

圆的圆心为，半径为

椭圆上的点到圆心的距离为

两点间的最大距离是．

6(★★★) 是椭圆的左、右焦点，点上，则∠的最大值是　　．

【答案】

【解析】设，

则(当且仅当时取等号)

此时.

7(★★★) 已知过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为　 　．

【答案】  

【解析】设，

再设的方程为，

联立得．

，则．

，

则．

的最小值为．

8(★★★)  如图，抛物线：的焦点为以为直角顶点的等腰直角的三个顶点均在抛物线上．

(1)过作抛物线的切线切点为点到切线的距离为求抛物线的方程；

(2)求面积的最小值．

【答案】  

【解析】(1)设过点的抛物线的切线，

联立抛物线，得，

则，得，

到切线的距离为，

化简得，

，，得，

．抛物线方程为．

(2)已知直线不会与坐标轴平行，

设直线，

联立抛物线方程，得，

则，则，

同理可得．

，即，

，即．

．

(当且仅当时，等号成立)，

(当且仅当t=1时等号成立)，

所以面积的最小值为．

9(★★★★) 已知抛物线:焦点为直线交抛物线于

两点为的中点，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)若求的最小值．

【答案】

【解析】(1)根据抛物线的定义知，

，

，．

(2)设直线的方程为，代入抛物线方程，得，

，即

，即，

，

，

令，

则；

即的最小值为．