高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念教学设计

5.2　三角函数的概念

5.2.1　三角函数的概念

1．单位圆

在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．

2．任意角的三角函数的定义

(1)条件

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

(2)结论

①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；

②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；

③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．

(3)总结

＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．

3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域

4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

(1)图示：

(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

5．公式一

1．sin(－315°)的值是(　　)

A．－　　　B．－　　　C.　　　D.

C　[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.]

2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

B　[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]

3．sinπ＝________.

　[sinπ＝sin＝sin＝.]

4．角α终边与单位圆相交于点M，则cos α＋sin α的值为________．

　[cos α＝x＝，sin α＝y＝，

故cos α＋sin α＝.]

三角函数的定义及应用

[探究问题]

1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？

提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？

提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．

【例1】　(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．

(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

[思路点拨]　(1)→

(2)→

(1)或　[因为r＝，cos θ＝，

所以x＝.

又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.

又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．

当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.

当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，

则sin θ＋tan θ＝.]

(2)[解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；

在第四象限取直线上的点(1，－)，

则r＝＝2，

所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.

由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：

(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．

三角函数值符号的运用

【例2】　(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在(　　)

A．第一象限　　　 B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)判断下列各式的符号：

①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.

[思路点拨]　(1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限．

(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．

(1)C　[因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．]

(2)[解]　①∵145°是第二象限角，

∴sin 145°＞0，

∵－210°＝－360°＋150°，

∴－210°是第二象限角，

∴cos(－210°)＜0，

∴sin 145°cos(－210°)＜0.

②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，

∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，

∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.

判断三角函数值在各象限符号的攻略：

1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；

2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；

3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.

提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.

1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．

－2＜a≤3　[因为cos α≤0，sin α＞0，

所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，

所以所以－2＜a≤3.]

2．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．

四　[角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，

∵＝－sin，∴角是第四象限角．]

诱导公式一的应用

【例3】　求值：

(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；

(2)sincos＋tancos.

[解]　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)

＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°

＝1－1＋＝.

(2)原式＝sincos＋tan·cos

＝sincos＋tancos

＝×＋1×＝.

利用诱导公式一进行化简求值的步骤

1定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z.

2转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.

3求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.

3．化简下列各式：

(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；

(2)sin＋cosπ·tan 4π.

[解]　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)

＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°

＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.

(2)sin＋cosπ·tan 4π

＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.

1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．

2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．

3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．

1．思考辨析

(1)sin α表示sin与α的乘积．(　　)

(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．(　　)

(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)

(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.(　　)

[提示]　(1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．

(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝.但y变化时，sin α是定值．

(3)正确．

(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　　)

A．1　　　　 B．－1

C.   D．－

B　[由三角函数定义知tan α＝＝－1.]

3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝，则sin β＝________.

－　[设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，

则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，

由题意知y＝sin α＝，所以sin β＝－y＝－.]

4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.

(2)cos＋tan.

[解]　(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.

(2)cos＋tan

＝cos＋tan

＝cos＋tan＝＋1＝.