专题31 两点之间线段最短和垂线段最短综合

专题31 两点之间线段最短和垂线段最短综合

1．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（    ）

A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释

B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释

C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释

D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释

【答案】C

【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．

【详解】解：现象1：测量运动员的跳远成绩时，皮尺与起跳线保持垂直，可用“垂线段最短”来解释；

现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了线段的性质，两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．

2．自习课上，老师出示这样一道题目：

总结学生的回答，有以下几种答案，你认为正确的答案是（    ）A．方案一节省材料，理由是两点之间线段最短

B．方案二节省材料，理由是两点之间线段最短

C．方案一节省材料，理由是垂线段最短

D．方案二节省材料，理由是两点确定一条直线

【答案】C

【分析】垂线段的性质：垂线段最短，根据垂线段的性质解答即可．

【详解】解：∵CE⊥AB，

根据垂线段的性质可知，CE＜CP，

同理，DF＜DP，

∴方案一更节省材料．

故选：C．

【点睛】本题考查了垂线段的性质，垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

3．下列三个日常现象：

其中，可以用“垂线段最短”来解释的是 _____ （填序号）．

【答案】①

【分析】根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．

【详解】解：可以用“垂线段最短”来解释①，

可以“两点之间线段最短” 来解释②，

可以用“两点确定一条直线” 来解释③，

故答案为：①．

【点睛】本题考查了垂线段最短以及直线、线段的相关知识，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．

4．如图，在公园绿化时，需要把管道l中的水引到A，B两处．工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下：

画法：如图，

（1）连接AB；

（2）过点A画线段直线l于点C，所以线段AB和线段AC即为所求．

请回答：工人师傅的画图依据是______．

【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短

【分析】根据两点之间线段最短以及垂线段最短即可判断．

【详解】解：由于两点之间距离最短，故连接AB，

由于垂线段最短可知，过点A作AC⊥直线l于点C，此时AC最短，

故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短．

【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是正确两点之间线段最短以及垂线段最短，本题属于基础题型．

5．在数学课上，王老师提出如下问题：

如图，需要在A，B两地和公路l之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．

小李同学的作法如下：

①连接AB；

②过点A作AC⊥直线l于点C；

则折线段B﹣A﹣C为所求．

王老师说：小李同学的方案是正确的．

请回答：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和______．

【答案】两点之间线段最短

【分析】根据两点之间线段最短即可得到答案．

【详解】解：由题意得可知：该方案最节省材料的依据是垂线段最短和两点之间线段最短，

故答案为：两点之间线段最短．

【点睛】本题主要考查了垂线段最短和两点之间线段最短，熟知二者的定义是解题的关键．

三、解答题

6．如图，汽车站、高铁站分别位于A、B两点，直线a和b分别表示公路与铁路．

（1）从汽车站到高铁站怎样走最近？画出图形，理由是        ．

（2）从高铁站到公路怎样走最近？画出图形，理由是        ．

【答案】（1）连接AB，两点之间，线段最短；

（2）过B作BC⊥a，垂线段最短．

【分析】（1）连接AB，根据两点之间，线段最短；

（2）过B作BC⊥a，根据垂线段最短．

【详解】解：如图所示：

（1）沿AB走，两点之间线段最短；

（2）沿BC走，垂线段最短．

【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段的性质和垂线段的性质．

7．如图，为解决A、B、C、D四个村庄的用水问题．政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）若使蓄水池与四个村庄的距离的和最小，请画出蓄水池P的位置；

（2）为把河道l中的水引入蓄水池P中，需要再修建一条引水渠．若使引水渠的长度最小，请画出引水渠PQ的修建线路．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【分析】（1）利用两点之间距离线段最短，进而得出答案；

（2）利用点到直线的距离垂线段最短，即可得出答案．

【详解】解答：解：（1）如图所示：由两点之间，线段最短，连接AC、BD交点即为P点，

（2）如图所示：由垂线段最短，过P作PQ⊥河道l，垂足即为Q点．

【点睛】本题主要考查了应用设计与作图，正确掌握点与点以及点到直线的距离定义是解题关键．

8．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索

【回顾】

（1）如图①，、是公路两侧的两个村庄.现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由

【探索】

（2）如图②，在村庄附件有一个生态保护区，现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，从村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点的位置

（3）如图③，、是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且村到村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）连接AB交直线l于点C，点C即为所求作．

（2）根据两点之间线段最短解决问题．

（3）作AA′CD，且AA′＝1，连接BA′得到点C，作线段CD⊥河岸即可．

【详解】（1）如图，点C即为所求作．

理由：两点之间，线段最短.

（2）如图，点C即为所求作．

（3）如图，线段CD可即为所求作．

【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

9．在如图所示的方格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D在方格纸中小正方形的顶点上．

（1）画线段；

（2）画图并说理：

①画出点到线段的最短线路，理由是            ；

②画出一点，使最短，理由是         ．

【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，点到直线的距离垂线段最短；（3）图见解析，两点之间线段最短．

【分析】（1）根据题意画图即可；

（2）①借助网格作CE⊥AB，根据点到直线距离垂线段最短可得符合条件的E点；

②连接AD和CE交于P点，根据两点之间线段最短可得．

【详解】（1）连接AB如下图所示；

（2）①如图所示CE为最短路径，理由是点到直线的距离垂线段最短，

故答案为：点到直线的距离垂线段最短；

②如图所示P点为最短，理由是：两点之间线段最短，

故答案为：两点之间线段最短．

【点睛】本题考查两点之间的距离，垂线段最短和根据要求画线段．理解点到直线的距离垂线段最短和两点之间线段最短是解题关键．

10．（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．

【探索】

（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．

（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交l于点C即可；

（2）根据BO＋CO=BC为定长，故需保证AO最小即可，根据垂线段最短，过点A作AO⊥BC于O即可；

（3）根据两点之间线段最短，故连接AC、BD交于点O即可．

【详解】解：（1）连接AB，交l于点C，此时AC＋BC=AB，根据两点之间线段最短，AB即为AC＋BC的最小值，如下图所示：点C即为所求；

（2）∵点O在BC上

∴BO＋CO=BC

∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC为定长，

∴当AO+BO+CO最小时，AO也最小

过点A作AO⊥BC于O，根据垂线段最短，此时AO最小，AO+BO+CO也最小，如下图所示：点O即为所求；

（3）根据两点之间线段最短，若使AO＋CO最小，连接AC，点O应在线段AC上；若使BO＋DO最小，连接BD，点O应在线段BD上，

∴点O应为AC和BD的交点

如下图所示：点O即为所求．

【点睛】此题考查的是两点之间线段最短和垂线段最短的应用，掌握根据两点之间线段最短和垂线段最短，找出最值所需点是解决此题的关键．

11．如图，、、是平面内三点.

（1）按要求作图：

①作射线，过点作直线，使、两点在直线两旁；

②点为直线上任意一点，点为直线上任意一点，连结线段、；

（2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到直线的距离为5，点、之间的距离为8，点、之间的距离为6，则的最小值为_______，依据是_______.

【答案】（1）见解析；（2）5；两点之间，线段最短； 垂线段最短.

【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点按要求作图即可；（2）根据两点之间，线段最短和点到直线的距离垂线段最短回答即可．

【详解】（1）如图所示.

（2）的最小值为点A到直线BC的距离，所以是5.

依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短.

【点睛】本题考查直线、射线、线段以及两点之间，线段最短，点到直线的距离，解题关键是掌握直线、射线、线段的特点，牢记两点之间，线段最短，垂线段最短．

12．如图，为了解决、、、四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂，

不考虑其他因素，请你画图确定水厂的位置，使之与四个小区的距离之和最小．

另外，计划把河流中的水引入水厂中，使之到的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由．

【答案】(1)作图见解析；（2）垂线段最短．

【分析】（1）线段AC和BD的交点即是水厂的位置．

（2）过点H作直线EF的垂线段即可．

【详解】解：

连接和，

线段和的交点点就是水厂的位置．

理由是：垂线段最短．

【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短和垂线段最短在生活中的应用，解题时要注意它们的综合应用．

13．如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．

(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．

(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．

【答案】     垂线段最短     两点之间，线段最短

【分析】(1)过A作AC⊥MN，AC最短；

(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．

【详解】(1)过A作AC⊥MN，根据垂线段最短，

故答案为垂线段最短；

(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，

故答案为两点之间线段最短．

【点睛】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．

14．如图，直线l是某天然气公司的主输气管道，点A、B是在l异侧的两个小区，现在主输气管道上寻找支管道连接点，向两个小区铺设支管道，有以下两个方案：

方案一：只取一个连接点P，使得向两个小区铺设的支管道总长度最短，在图中画出点P的位置，依据是　　.

方案二：取两个连接点M和N，使得点M到A小区铺设的支管道最短，使得点N到B小区铺设的管道最短，在图中画出M、N的位置，依据是　.

设方案一中铺设的支管道总长度为m，方案二中铺设的支管道总长度为n，则m与n的大小关系为：m      n（填“＞”、“=”或“＜”）.

【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短；＞

【分析】根据题目要求直接连接AB，以及分别过A，B向直线l作垂线即可，利用直角三角形中斜边大于直角边进而得出答案即可．

【详解】解：方案一、连接AB交直线l于点P，依据是两点之间，线段最短；

方案二、分别过A，B向直线l作垂线即可，如图，AM、BN即为所求，依据是垂线段最短；

方案一中m=AP+PB，

方案二中n=AM+BN，

在Rt∆AMP与Rt∆BNP中，

AM<AP，BN<BP，

∴AM+BN<AP+BP，

即m>n，

故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短；>．

【点睛】题目主要考查两点之间线段最短及垂线段最短，直角三角形斜边大于直角边等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

15．我国“十一五”规划其中一重要目标是，建设社会主义新农村，国家对农村公路建设投资近1000亿人民币．西部的某落后山村准备在A、B两个村庄间修一条公路，再从村庄B修一条公路到河n，如图所示，如何修路才能使公路最短？画出图形并说明理由．

【答案】见解析；两点之间线段最短；垂线段最短

【分析】由两点之间线段最短；垂线段最短即可作出图形：连接AB；过点B作l的垂线段．

【详解】解：如图所示：AB、BC为所求．

作图理由：两点之间线段最短；垂线段最短．

【点睛】此题考查了作图能力，掌握：两点之间线段最短、垂线段最短是解题的关键．

16．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．

（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB上分别画出P，Q两点的位置．

（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出R点的位置．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点；

（2）连接MN交直线AB于点R，点R就是所求．

【详解】（1）作MP⊥AB垂足为P，NQ⊥AB垂足为Q，点p、Q就是所求的点．如图所示：

（2）连接MN交AB于点R，点R就是所求的点．如图所示：

．

【点睛】本题考查了两点之间线段最短、垂线段最短，记住这两个性质是解题的关键．

17．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由．

【答案】见解析

【分析】根据两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短即可得到答案.

【详解】解；如图所示：

连接AB，是两点之间线段最短；

作BC垂直于河岸，是垂线段最短．

【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

18．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．

（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．

（2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．

【答案】（1）沿线段AB走，见解析，两点之间，线段最短；（2）沿垂线段BD走，见解析，垂线段最短

【分析】（1）根据两点之间线段最短解决问题即可．

（2）根据垂线段最短解决问题即可．

【详解】解：（1）如图，沿线段AB走，理由：两点之间，线段最短．

（2）如图，沿垂线段BD走，理由：垂线段最短．

【点睛】本题考查了“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个知识，熟知两个知识点并正确作图是解题关键．