初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时教案

第3课时　利润问题与几何图形的面积问题

1．掌握用利润公式、面积法建立一元二次方程的数学模型的方法，并运用它解决实际问题．

2．进一步掌握通过探究等量关系，列出一元二次方程解决实际问题的能力．

▲重点

列一元二次方程解决利润问题与几何图形的面积问题．

▲难点

1．寻找利润问题中的等量关系．

2．将不规则图形分割或组合成规则图形，动点问题．

◆活动1　新课导入

1．提出问题：

(1)直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式又是什么？

(2)正方形的面积公式是什么？长方形的面积公式又是什么？

(3)梯形的面积公式是什么？

(4)菱形的面积公式是什么？

(5)平行四边形的面积公式是什么？

(6)圆的面积公式是什么？

2．如图，(1)一块长方形铁皮的长是10cm，宽是8cm，四角各截去一个边长为2cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__24__cm2__，高是__2__cm__，体积是__48__cm3__．

(2)一块长方形铁皮的长是10cm，宽是8cm，四角各截去一个边长为xcm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__(10－2x)(8－2x)cm2__，高是__x__cm__，体积是__x(10－2x)(8－2x)cm3__．

3．一件进价为100元的衣服，按标价200元出售，每天能卖出10件，则每天所获利润为__1__000__元．现在为了尽快清仓，降价销售，若每降价10元，就能多卖出1件，则降价50元，每天可卖出__15__件，所获利润为__750__元．

◆活动2　探究新知

1．教材P20　探究3.

提出问题：

(1)本题中有哪些数量关系？

(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？

(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

(4)如果将问题中的等量关系(四周彩色边衬所占面积是整个长方形面积的四分之一)转化为中央长方形面积与整个长方形面积之间的关系时，结论如何？由此你又能列出怎样的方程呢？

2．教材P21　思考．

学生完成并交流展示．

◆活动3　知识归纳

1．利润＝售价－进价；利润率＝×100%；售价＝进价×(1＋利润率)；总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销量．

2．在利用一元二次方程解几何图形面积的问题时，灵活运用“平移变换”，把分离的图形进行“整合”，使问题简化．

◆活动4　例题与练习

例1　某西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批良种西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种良种西瓜每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg，另外每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克良种西瓜降价多少元？

解：设每千克良种西瓜降价x元，则有(3－x－2)·－24＝200，解得x1＝0.2，x2＝0.3.∵为了促销，∴x＝0.3.

答：要想每天盈利200元，应将每千克良种西瓜降价0.3元．

例2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2?

解：设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，则AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P，Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

练习

1．教材P21　习题21.3第8，9题．

2．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是(　B　)

　A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0

　C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝0

3．某种商品，平均每天可销售40件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每降价1元，则每天可多售5件．若每天要盈利2400元，则每件应降价__4__元．

◆活动5　课堂小结

1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式和利润公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．

2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．

1．作业布置(1)教材P26　复习题21第11，12题；(2)对应课时练习．

2．教学反思