人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质优秀第1课时学案及答案

5.4.2   正弦函数、余弦函数的性质

第1课时  正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性  

【学习目标】

【自主学习】

一．函数的周期性

1.函数的周期性

一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数.

____________叫做这个函数的周期．

2.最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．

解读：

(1)并不是每一个函数都是周期函数.

(2)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期内的性质，就可以知道它的整体性质．

(3)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．

二．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

【小试牛刀】

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)所有的周期函数都有最小正周期.(　　)

(2)周期函数y＝f(x)的周期可能只有一个.(　　)

(3)若sin＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期.(　　)

(4)因为sin＝sin，所以函数y＝sin的周期为4π.(　　)

(5)函数y＝是奇函数.(　　)

(6)函数y＝sin是奇函数.(　　)

【经典例题】

题型一  正、余弦函数的周期性

点拨：求三角函数周期的方法：

1.定义法：即利用周期函数的定义求解．

2.公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝；形如y＝|Asin(ωx＋φ)|或y＝|Acos(ωx＋φ)| (A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.

3.图象法：即通过观察函数图象求其周期．

例1 求下列函数的最小正周期．

(1)f(x)＝cos；(2)f(x)＝|sinx|.

【跟踪训练】1  利用周期函数的定义求下列函数的周期．

(1)y＝cos 2x，x∈R； (2)y＝sin，x∈R.

题型二  正、余弦函数的奇偶性

点拨：1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：

一看函数的定义域是否关于原点对称；

二看f(x)与f(－x)的关系．

2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．

例2 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sinxcosx；(2)f(x)＝.

【跟踪训练】2 判断下列函数的奇偶性：

 (1)f(x)＝cos＋x2sin ;  (2)f(x)＝sin|x|.

题型三  正、余弦函数周期性与奇偶性的应用

点拨：1.三角函数周期性与奇偶性的解题策略

探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．

2.与三角函数奇偶性有关的结论

(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；

(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；

(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．

例3  (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)

A．y＝cos|2x|　 B．y＝|sin 2x|

C．y＝sin   D．y＝cos

(2)若函数f(x)＝sin是偶函数，则φ的一个取值为(　　)

A．2010π    B．－

C．－    D．－

【跟踪训练】3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．

【当堂达标】

1.如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)

2.设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x), f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

3．函数f(x)＝3sin是(　　)

A．周期为3π的偶函数    B．周期为2π的偶函数

C．周期为3π的奇函数    D．周期为的偶函数

4.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为        ．

5.函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________．

6.判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin＋2；

(2)f(x)＝x·cosx；

(3)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x) .

【参考答案】

【自主学习】

一．非零常数T　f(x＋T)＝f(x)　非零常数T 最小的正数

二．2π　2π　奇函数　偶函数

【小试牛刀】

 (1)×   (2)×　(3)×　 (4)×　 (5)×　 (6)√

【经典例题】

例1 解：(1)解法一：定义法

∵f(x)＝cos＝cos＝＝f(x＋π)，

即f(x＋π)＝f(x)，

∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.

解法二：公式法

∵y＝cos，∴ω＝2.又T＝＝＝π.

∴函数f(x)＝cos的最小正周期为π.

(2)解法一：定义法

∵f(x)＝|sinx|，

∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，

∴f(x)的最小正周期为π.

解法二：图象法

函数y＝|sinx|的图象如图所示，

由图象可知最小正周期为π.

【跟踪训练】1  解：(1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，

由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.

(2)因为＝sin＝sin，

由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.

例2　解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．

∵f(－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，

∴f(x)＝sinxcosx为奇函数．

(2)由得cosx＝1，

∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．

当cosx＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)＝既是奇函数又是偶函数．

【跟踪训练】2 解： (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，

又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)因为函数的定义域为R，

f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，

所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．

例3  (1)D 解析：y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin2x|是偶函数，y＝sin (＋2x)＝cos2x是偶函数，y＝cos (－2x)＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.

 (2)D 解析：当φ＝－时，f(x)＝sin＝cosx为偶函数，故选D.

【跟踪训练】3 解：∵f(x)的最小正周期是π，

∴f＝f＝f.

∵f(x)是R上的偶函数，

∴f＝f＝sin＝.

∴f＝.

【当堂达标】

1.D 解析：观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．

2.B 解析：由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.

3.A 解析：∵f(x)＝3sin＝3sin＝－3sin＝－3cosx

∴T＝＝3π，而f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．

4.4 解析：由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.

5. 4π 解析：由题意得＝≤2，∴k≥4π.∴正整数k的最小值为4π.

6. 解：(1)因为x∈R，f(x)＝sin＋2＝cos＋2，

所以f(－x)＝cos＋2＝cos＋2＝f(x)，

所以函数f(x)＝sin＋2是偶函数．

(2)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，

所以f(x)＝xcosx是奇函数．

(3)由得－1＜sin x＜1，

解得定义域为，

∴f(x)的定义域关于原点对称．

又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，

∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]

＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．