浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二上学期期中数学试题含参考答案

2022年学年第一学期9+1高中联盟期中考试

高二年级数学学科试题

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．若，，则“复数为纯虚数（㖷虚数单位）”是“”的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

3．向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

4．已知定义域为的奇函数，满足，且当时，，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

5．若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（    ）

A．圆锥的母线长为1  B．圆锥的底面半径为2

C．圆锥的体积为  D．圆锥的侧面积为

6．在三棱锥中，，且，，分别是棱CD，AB的中点，则EF和AC所成的角等于（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．在正方体中，点满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（    ）

A．若，，，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

10．已知，对于，，下述结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知，双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（    ）

A．  B．

C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为

12．在正三棱锥中，，，，，分别为BC，PC的中点，若点是此三棱锥表面上一动点，且，记动点围成的平面区域的面积为，三棱锥的体积为，则（    ）

A．当时，  B．当时，

C．当时，  D．当时，

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．将函数的图象向右平移个单位长度后的图象过原点，则的最小值______．

14．若点在幂函数的图象上，则的值为______．

15．已知四面体ABCD中，，平面，平面ABD，则四面体ABCD外接球的半径是______．

16．已知，分别是椭圆的左石焦点，是椭圆上一点，若线段上有且中点满足（其中是坐标原点），则椭圆的离心率是______．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分10分）

已知圆的圆心在轴上，且经过点，．

（1）求圆的标准方程；

（2）若过点的直线与圆相交于M，N两点，且，求直线的方程．

18．（本题满分12分）

已知函数．

（1）求函数的值域；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

19．（本题满分12分）

某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

（1）估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数；

（2）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率．

20．（本题满分12分）

已知四棱锥中，，，，，，．

（1）求证：；

（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．

21．（本题满分12分）

在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．

已知的内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，______．

（1）若，求；

（2）求的最大值．

22．（本题满分12分）

已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段PQ，Q为垂足，动点满足．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点的动直线与曲线交于A，B两点，与圆交于C，D两点．

（i）求的最大值；

（ii）是否存在定点T，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

2022年学年第一学期9+1高中联盟期中考试

高二数学参考答案

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13． 14．4 15．1 16．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．解：（1）设圆的标准方程为，其中，半径为，

记线段AB中点为，则，

又直线AB的斜率为1，由条件得线段AB中垂线CD方程为，

由圆的性质，圆心在直线CD上，化简得，

所以圆心，，所以圆的标准方程为．

（2）设为MN中点，则，得，

圆心到直线的距离，

当直线的斜率不存在时，的方程，此时，不符合题意，舍去．

当直线的斜率存在时，设的方程，即，

由题意得，解得或，

故直线的方程为或，即或，

综上直线的方程为或．

18．解：（1）因为定义域为，

则，

设，，

所以值域为．

（2）因为，

所以，

设，则原问题化为对任意，，即，

因为，当且仅当，时，取到最小值，

所以．

19．解：（1）由，

可得．

样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，

在130分以下所占比例为，

因此，第80百分位数一定位于内，由，

所以样本数据的第80百分位数约为115．

（2）由题意可知，分数段的人数为（人），

分数段的人数为（人）．

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在内抽取2人，分别记为，，内抽取3人，分別记为x，y，z，

设“从样本中抽取2人，至少有1人分数在内”为事件，则样本空间为共包含10个样本点，

而事件，包含7个样本点，

所以，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为．

20．解：（1）在梯形ABCD中，，，，，

可算得，所以，

在中，，，满足，

所以，所以面PBD，所以．

（2）由（1）证明可知，面面ABCD，取BD中点，连OP，OC，

因为，所以，面PBD，所以就是PC与平面PBD所成的角，

在中，易得，

在中，，，计算可得，

所以，

所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．

解法2：由（1）证明可知，面面ABCD，通过计算可得，

建立以，为轴，轴的正方向，以过与平面ABCD垂直的向量为轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，

设平面PBD的法向量为，

则，即，

取，

设直线PC与平面PBD所成角为，则，

所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．

21．解：（1）若选①，由正弦定理可得，

当时，代入得，，

整理可得，，

在中，，所以，所以，

所以，所以．

若选②，当时，代入得，，

，

，

又因为，，所以，所以．

（2）若选①，因为，

所以，

，

，

在中，，，所以．

选②，因为，

所以，

，

，

在中，，

所以，，

由，及在上递减，可得，进一步得，

所以，

所以，

设，则，

，

当时，最大值为．

22．解：（1）设点，，

因为，所以，所以，

即动点的轨迹的方程为

（2）（i）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，

可得，则恒成立，

且，，，

，

所以，

设，则，

则，得，

当且仅当时取到，此时最大值是16．

②当直线的斜率不存在时，则直线为，可得，，

此时，综上，最大值是16．

（ii）当直线的斜率存在时，设，，，可得，

要使得上式为定值，即与无关，则满足且，

解得，，即点，此时，

当直线的斜率不存在时，直线为，解得，，所以，

综上可得，存在定点，使得．