第三章 函数的概念与性质练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一

这是一份第三章 函数的概念与性质练习--2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第三章函数的概念与性质

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 己知函数，且实数a满足则实数a的取值范围为(    )
A. 或或
B. 或
C. 或
D. 或或
2. 设是定义在R上的奇函数，对任意的，，，满足，，则下列结论正确的是(    )
A. 是奇函数，且在区间上是增函数
B. 是奇函数，且在区间上是减函数
C. 是偶函数，且在区间上是增函数
D. 是偶函数，且在区间上是减函数
3. 已知函数，当时，的最大值为，则的取值范围是(    )
A. B. C. D.
4. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为(    )
A. B.
C. D.

二、多选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题有多项符合题目要求）
5. 已知函数的图象关于对称，且对，，当，时，成立，若对任意的恒成立，则a的可取值为(    )
A. B. C. 1 D.
6. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是(    )
A. 若为的“跟随区间”，则
B. 函数存在“跟随区间”
C. 若函数存在“跟随区间”，则
D. 二次函数存在“3倍跟随区间”
7. 已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有(    )
A.  且 B.  且
C.  且 D. 以上都可能
8. 已知，常数，则(    )
A. 当时，在R上单调递减
B. 当时，没有最小值
C. 当时，的值域为
D. 当时，，，有
9. 已知，，，则关于的说法正确的是(    )
A. 最大值是3，最小值为
B. 最大值是，无最小值
C. 增区间是和，减区间是和
D. 增区间是和，减区间是和

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
10. 对于定义在区间D上的函数，若满足对，，且时都有，则称函数为区间D上的“非增函数”．若为区间上的“非增函数”且，，又当时，恒成立．有下列命题：
①，；
②当，且，时，
③；
④当时，
其中你认为正确的所有命题的序号为__________.
11. 已知函数，则该函数图象的对称轴为__________；该函数的最大值为__________.
12. 已知函数，且是的最小值，则实数a的取值范围是__________.

四、解答题（本大题共10小题，共120.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
北京朝阳期末“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．若函数的图像关于点对称，且当时，
求的值；
设函数
证明：函数的图像关于点对称；
若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
14. 本小题分
汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离并集合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示．当车速为米秒，且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，


阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间

秒
秒

距离
米


米
请写出报警距离米与车速米秒之间的函数关系式；
求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间精确到秒；
若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米小时？
15. 本小题分
对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记
若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
若，且求使得等式成立的x的取值范围；
在的条件下，求在区间上的最小值．
16. 本小题分
已知幂函数，，且在上单调递增．
求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；
若在区间上不单调，求实数a的取值范围；
试判断是否存在正数q，使函数在区间上的值域为若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．
17. 本小题分
已知函数，，
当时，求函数的单调递增区间；
若，唯一的，使得，求实数a的取值范围.
18. 本小题分
已知为此函数的定义域同时满足下列两个条件：①函数在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数.
判断函数是否为闭函数？并说明理由；
求证：函数为闭函数；
若是闭函数，求实数k的取值范围.
19. 本小题分
已知_________，且函数
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为
在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，先求出a，b的值，并解答本题．
判断的奇偶性，并证明你的结论；
设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数c的取值范围．
20. 本小题分
已知定义在区间上的函数
若函数分别在区间，上单调，试求t的取值范围；
当时，在区间上是否存在a，b，使得函数在区间上单调，且的值域为，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
21. 本小题分
已知函数
当时，用定义法证明函数在上是减函数；
已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求m的取值范围.
22. 本小题分
已知函数在区间单调递减，在区间单调递增.
求函数在区间的单调性；只写出结果，不需要证明
已知函数，若对于任意的，有恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了函数性质，方程与不等式的解法，考查了推理与计算能力，属于较难题.
先判断函数奇偶性，由进而解得a，联立得到a的范围.
【解答】
解：函数
，
即函数是偶函数，
，
，
①，或②，
由①得，即，解得或
由②得，解得或
同时，当时，为常数，则满足③，
由③得：，
综上，实数 a的取值范围为：或或
  
2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性及单调性的判断，单调性的定义的应用及偶函数对称区间上单调性相反性质的应用，属于中档题．
先判断的奇偶性，然后结合已知不等式及函数单调性定义判断的单调性，根据偶函数的性质即可判断．
【解答】
解：由题意得，，
所以为偶函数，排除A，B；
因为对任意的，，，
不妨设，则，
因为，
所以，
即，
所以，
所以在上是增函数，
根据偶函数对称性得在上是减函数．
故选：
  
3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的最值，考查分类讨论思想.
通过讨论b的范围，结合二次函数的性质求出，从而求出的最小值即可.
【解答】
解：因为函数，对称轴为，
当，即时，在递增，故，
当，即时，的最大值是或，
令，解得：，
故时，，
时，，
当，即时，，
故，
故时，最小，最小值是，
故选
  
4.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于较难题．
首先要结合奇偶性和单调性对不等式进行转化变形，将问题转化为解不等式，然后再分类讨论即可获得问题的解答．
【解答】
解：函数为定义在R上的奇函数，则，
，
当时，符合题意，
当时，只需，
函数在为减函数，在为增函数，且，，
的解集为
又为奇函数，
在上为减函数，在上为增函数，且，
当时，只需，
的解集为
综上所述，不等式的解集为
故选
  
5.【答案】BC 
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用函数的对称性及单调性求解不等式，还考查不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于较难题.
由已知可得的图象关于对称即为偶函数，且在上单调递减，根据偶函数的单调性及对称性转化原不等式得恒成，结合x的范围进行分离参数，然后结合基本不等式可求．
【解答】
解：因为函数的图象关于对称，
所以的图象关于对称即为偶函数，
因为当，时，成立，
所以在上单调递减，
根据偶函数对称性可知，在上单调递增，
因为，
所以恒成立，
当时，不等式恒成立，
当时，恒成立，
因为，
当且仅当即时取等号，
所以，
即
故选
  
6.【答案】AD 
【解析】
【分析】
本题考查新定义的问题，函数定义域与值域，函数的单调性与单调区间，考查函数与方程思想，考查运算化简的能力，属于中档题.
根据新定义的概念，利用函数的单调性，定义域与值域，对选项逐一判断即可.
【解答】
解：对于A，若为的跟随区间，
因为在区间单调递增，
故其值域为，
根据题意有，解得或，
因为，故，故A正确；
对于B，由题意，因为函数在区间和 上均单调递减，
故若存在跟随区间，则有，
解得：，此时，故不存在，B不正确；
对于C，若函数存在跟随区间，
因为为减函数，
故由跟随区间的定义可知，，
即，
因为，所以，易得，
所以，
令，，代入化简可得，
同理也满足，
即在区间上有两个不相等的实数根，
故，解得故C不正确；
对于D，若存在“3倍跟随区间”，
则可设定义域为，值域为，
当时，易得在区间上单调递增，
此时易得a，b为方程的两根，
求解得或，
故存在定义域，使得值域为，故D正确.
故选
  
7.【答案】BC 
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性及奇偶性的应用，考查分类讨论思想及不等式的性质.
由幂函数的定义可得m的值，结合函数在上的单调性，确定，由函数的单调性及奇偶性可知，根据不等式性质即可判断.
【解答】
解：由函数为幂函数可知，
解得或，
当时，；当时，，
由题意知函数在上为增函数，
因此，在R上单调递增，
且满足，
结合以及
可知，
所以，即，，
当时，，；
当时，，；
当时，或或，故BC都有可能成立.
故选
  
8.【答案】BD 
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的单调性，最值，值域等问题，考查了学生的运算转化能力，属于较难题．
针对各个选项，根据给的条件以及函数的性质判断是否正确．
【解答】
解：选项A：当时，当时，函数单调递减，，
当时，函数单调递减，但，
所以函数在R上不单调，A错误，
选项B：当时，当时，函数显然没有最小值，
则①当时，此时时，，即函数此时没有最小值，
②当时，，此时函数仍然没有最小值，
综上，当时，函数没有最小值，B正确，
选项C：当时，
当时，
当时，，
所以此时函数的值域为错误，
选项D：时，，
当时，
当时，，显然有
则对任意，，有，D正确，
故选：
  
9.【答案】BC 
【解析】
【分析】
本题考查阅读能力和函数图象的画法，考查分段函数及函数的单调性与最值，属中档题．
在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值及单调区间．
【解答】
解：在同一坐标系中先画出与的图象，

表示的图象在的图象下方时就取的图象，否则就取的图象，
即可根据定义画出，如图，

就容易看出有最大值，无最小值，故A错误，
当时，由，得舍或，
此时的最大值为：，故B正确，
时，令即，解得：，
故在，递增，在和递减，
故C正确，D错误，
故选

  
10.【答案】①③④ 
【解析】
【分析】

对于①，在等式中取，得，然后直接利用“非增函数”的定义进行判断；
②可以根据“非增函数”的定义进行判断．③利用条件，可得，然后求和的值．
④当时，判断与x的大小关系即可．
本题考查了命题的真假判断与运用，考查了抽象函数的性质，解答的关键是正确理解新定义．
【解答】
解：对于①，因为，且，取，得，
对，根据“非增函数”的定义知所以①正确；
对于②，由定义可知当，且时，与可能相等．所以②不正确；
③由，得
因为当时恒成立，
所以，又，
所以，而，所以，即，
同理有，当时，
由“非增函数”的定义可知，，
即所以
所以，所以③成立．
④由③知，，，
，
因为函数为区间上的“非增函数”，
所以，
所以④正确．
故答案为：①③④．
  
11.【答案】2

 
【解析】
【分析】
本题考查了函数对称性的判断，以及利用基本不等式求函数的最值，考查了换元法的应用，属于难题.
【解答】
解：，
，
，
函数的图象关于直线对称，即函数图象的对称轴为，
令，
则


，
，
当且仅当，即等式成立，此时，
所以函数的最大值为
  
12.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查对勾函数的性质，利用函数的图象和性质求最值，属于拔高题.
当时，函数单调递减，可得，当时，，令，设函数为对勾函数，由对勾函数的性质可得取得最小值，解不等式可得结果.
【解答】
解：因为函数且是的最小值，
所以当时，函数单调递减，
所以，
即，
当时，函数
，
令，设函数为对勾函数，
可得当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，取得最小值2，
即时，取得最小值，
所以，
即，
解得，
综上所述，a的取值范围为，
故答案为
  
13.【答案】解：因为函数的图像关于点对称，  则， 
令，可得
证明：由，
得，
所以函数的图像关于点对称.
，易知函数在上单调递增，所以，
不妨设在上的值域为A，
对任意，总存在，使得成立，则，
当时，，且，当，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，所以，
所以，由，可得解得
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得或，
因为，所以，，
又，，所以，，
所以当时，成立.
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知在上单调递减，因为，，
所以，所以，由，可得解得
综上所述，实数a的取值范围为 
【解析】本题考查函数的对称性的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力、推理能力，属于难题．
由函数的图象关于点对称”的充要条件，计算可得所求和；
计算，由函数的图象关于点对称”的充要条件即可得证；
求得的值域，记函数，的值域为再由二次函数的最值求法和恒成立思想，即可得到所求范围．

14.【答案】解：由题意得，
所以，
当时，，
秒
当且仅当即米/秒时，取等号.
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为秒.
根据题意要求对于任意，恒成立，
即对于任意，，即恒成立，
等价于，，
由，得
所以，即，解得，
所以，千米/小时
即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下. 
【解析】本题主要考查了函数模型的运用，不等式恒成立问题，涉及基本不等式求最值，属于较综合的中档题.
先求出报警距离d关于车速v的函数关系式，
当时，，结合基本不等式求最值解答即可；
由题意得到对于任意，恒成立，转化为对于任意的，恒成立，由于，所以得到不等式，解不等式即可作答.

15.【答案】解：由题意可得，恒成立，
即对任意的x恒成立，
所以，解得；
因为，
所以，
由知，，
所以，
所以时，；
①当时，，所以，
又因为，所以；
②当时，，所以，
因为，，所以，，所以上式不成立；
综上可知，x的取值范围是；
由知，且，
即
所以当时，，所以，
当时，，
①当时，又，即时，；
②当时，即时，；
综上，，
由，解得时，；
由，整理得，无实根；
由，解得时，；
综上， 
【解析】本题考查利用二次函数根的判别式求参数取值范围，考查新定义函数的最值，分类思想，属于拔高题．
根据条件可得对任意的x恒成立，利用根的判别式即可求出m取值范围；
整理为，表示出，分类讨论即可；
由得到，分类讨论求出m取值范围进而得最小值.

16.【答案】解：由题意知，
解得
又，
或，
分别代入原函数，得
由已知得
要使函数不单调，则，则
由已知，
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数的图象是开口向下的抛物线，
其对称轴为，
因而，函数在上的最小值只能在或处取得，
又，
从而必有，解得
此时，，其对称轴，
在上的最大值为
，符合题意．
存在，使函数在区间上的值域为 
【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，幂函数的性质，属于较难题．
由已知在上单调递增，结合幂函数的单调性可构造关于k的不等式，解不等式求出实数k的值，并得到函数的解析式；
由中结果，可得函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可构造关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围；
由中结果，可得函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可求出q的值．

17.【答案】解：由题意，
即，
所以函数单调递增区间为和
，
设在上的值域为D，则对，直线与函数的图象在上有1个交点，
令，，，，，时，，
①当时，，，即，无解；
②当时，，，
当时，，，，需，即，得，
；
当时，，，，需即，得，
；
③当时，，，同得，；
④当时，，，在上单调递增，
需，即，得，；
综上得
所以a的取值范围为 
【解析】本题考查函数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
写出分段函数的解析式，进而可得答案．
，设在上的值域为D，则对，直线与函数的图象在上有1个交点，
分4种情况①当时，②当时，③当时，④当时，讨论a的取值范围．

18.【答案】解：函数，
可知：函数在区间上单调递增，在上单调递减；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．
先证符合条件①：对于任意，，且，
有，
，故是R上的减函数．
又因为在上的值域是
所以函数为闭函数；
易知是上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为，则有；
故a，b是的两个不相等的根，
即方程组为：有两个不等非负实根；
设，为方程的两个不等非负实根，
则，
解得：，
实数k的取值范围是
 
【解析】本题主要考查新定义的问题，函数的性质与应用问题，属于较难题.
根据在区间上不是单调函数，得出在上不是“闭函数”；
得出的单调性，得到在上的值域是，即可得证；
先判断在定义域上的单调性，再根据“闭函数”的定义列出方程组，利用转化思想求出k的取值范围．

19.【答案】解：选择①．由在上是偶函数， 
得，且，所以，所以
选择②．当时，在上单调递增，
则，解得，所以
为奇函数．证明如下：的定义域为R.
因为，所以为奇函数．
当时，，
因为，当且仅当，即时等号成立，所以； 
当时，因为为奇函数，所以； 
当时，，所以的值域为
因为在上单调递减，所以函数的值域是
因为对任意的R，总存在，使得成立， 
所以，所以，解得
所以实数c的取值范围是
 
【解析】本题考查函数奇偶性的判断以及函数值域的求解.
分别选择①或②得到a，b的值，求出
由①或②得，利用奇偶函数的定义判断；
根据条件转化为的值域是的值域的子集，求实数c的取值范围.

20.【答案】解：因为，所以当且仅当，即时，取等号，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使得函数在区间，上单调，则，，所以，解得，所以t的取值范围为
当时，，作出图象如下：

当时，，
所以，，
所以，得，即，
所以，由解得，
因为区间，即，则，所以，
由，
可得，又时，，故，
当时，，
由，，即，
所以，即可得，
与区间在定义域内矛盾，实数a，b不存在．
综上，m的取值范围为 
【解析】本题考查函数的性质，值域，参数的取值范围，解题中注意分类讨论思想的应用，属于较难题．
因为，由对勾函数得，函数在上单调递减，在上单调递增，令，结合题意可得所以，解得t的取值范围．
当时，，作出图象，分两种情况当时，当时，根据的值域，进而求得m的取值范围．

21.【答案】解：证明：当时，
设，


，
由，
可得，，
即，即有，
所以在上为减函数；
设，
则，
由，
可得，
则，，
解得，，
即有，
不等式恒成立，
即为，即对恒成立，
由，
当时，取得最小值，
可得
即m的取值范围是 
【解析】本题考查函数的单调性的判断和证明，以及二次函数的解析式的求法、不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力．
运用单调性的定义证明即可，注意取值、作差、变形、定符号、下结论等步骤；
设，由题意可得a，b，c的方程，解得a，b，c，可得，由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围．

22.【答案】解：函数在区间单调递增，在区间单调递减；
由题意，对任意的，有恒成立，
即对于任意的，恒成立，
等价于恒成立，，
设，
易知，当且仅当，即时，函数取得最小值，
由题设知，函数在上单调递减，在上单调递增．
又因为，且，，而，
所以当时，，
所以，即，
故所求实数a的取值范围是 
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力．
由函数的奇偶性和对勾函数的单调性，可得所求函数的单调性；
由题意可得，设，运用基本不等式和对勾函数的单调性，结合x为正整数，求得的最小值，可得a的范围．