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2021-2022学年福建省厦门一中高二（上）期中数学考试试卷（ word无答案）
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这是一份2021-2022学年福建省厦门一中高二（上）期中数学考试试卷（ word无答案），共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线xy+3＝0的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
3．（5分）已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．﹣1D．﹣2
4．（5分）已知A（3，2），点F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．（1，）D．（，1）
5．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，则BM的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（﹣2，0），若将军从山脚下的点A（，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+2y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
8．（5分）如图，已知双曲线的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点），则a的值为（ ）
A．3B．C．D．6
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．yxB．yxC．yxD．y＝±2x
（多选）10．（5分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．AB⊥AC
B．与平面BCD的法向量平行
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
（多选）11．（5分）线段AB是抛物线y2＝2px（p＞0）过焦点F的弦，下列命题正确的有（ ）
A．|AF|最小值是p
B．|AB|最小值是2p
C．∠AOB可能为锐角，其中O为坐标原点
D．以AB为直径的圆一定与直线：相切
（多选）12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则以下说法正确的是（ ）
A．当λ＝μ时，BP∥平面CB1D1
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为
C．当λ+μ＝1时，CP长度的最小值为
D．当λ+μ＝1时，CP与平面BCC1B1所成的角不可能为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量（3，﹣1，2），（x，y，﹣4），且∥，则x+y＝ ．
14．（5分）已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为 ．
15．（5分）三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝AC，∠ABC，则点P到底面ABC的距离为 ．
16．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为 ．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l：ax+（2﹣a）y+1＝0．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆（x﹣2）2+y2＝4相交于A、B两点，且时，求直线l的方程．
18．（12分）中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点A（2，3）；②该曲线的渐近线与圆x2﹣8x+y2+4＝0相切；③点P在该双曲线上，F1，F2为该双曲线的焦点，当点P的纵坐标为时恰好PF1⊥PF2．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）过定点Q（1，1）能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面△PBC是等边三角形，ADAB，∠BCD＝45°，面PBC⊥面ABCD，E、F分别为BC、CD的中点．
（1）证明：AB⊥平面PEF；
（2）求平面PEF与平面PAD所成夹角的余弦值．
20．（12分）已知点A为抛物线y2＝8x上的一个动点（A与坐标原点O不重合），OA中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线L过E（2，0）交曲线C于M，N两点，F为曲线C的焦点，求S△MOE+S△NFE的最小值．
21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点，侧面AA1C1C是菱形，过点B1、B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）在图中作出截面BB1ED，并证明四边形BB1ED为矩形；
（2）若AB＝AC＝2，求CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．
22．（12分）与椭圆（a＞b＞0，c＞0且a2＝b2+c2）相关的两条直线称为椭圆C的准线，已知直线l是位于椭圆C右侧的一条准线，椭圆上的点到l的距离的最大值为6，最小值为2．
（1）求椭圆C的标准方程及直线l的方程；
（2）设椭圆C的左、右两个顶点分别为A1、A2，T为直线l上的动点，且T不在x轴上，TA1与C的另一个交点为M，TA2与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：△FMN的周长为8．
2021-2022学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线xy+3＝0的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．
【解答】解：将已知直线化为yx，
所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
故选：A．
【点评】本题考查直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．
2．（5分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【分析】利用与同向共线的单位向量即可得出．
【解答】解：∵，
∴与同向共线的单位向量（3，0，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了与同向共线的单位向量，属于基础题．
3．（5分）已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】先将题中条件：“”化成“”，利用四点共面的充要条件，列出方程求出m．
【解答】解：∵，
∴，
又动点Q在△ABC所在平面内运动，
∴﹣2+5﹣m＝1，
解得m＝2，
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的基本定理及其意义、四点共面的充要条件：P∈平面ABC，若xyz，则x+y+z＝1．
4．（5分）已知A（3，2），点F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．（1，）D．（，1）
【分析】求出焦点坐标和准线方程，把|PA|+|PF|转化为PA|+|PM|，利用 当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值，把y＝2代入抛物线y2＝2x 解得x值，即得P的坐标．
【解答】解：由题意得 F（，0），准线方程为 x，设点P到准线的距离为d＝|PM|，
则由抛物线的定义得|PA|+|PF|＝|PA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值为|AM|＝3﹣（）．
把 y＝2代入抛物线y2＝2x 得 x＝2，故点P的坐标是（2，2），
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想．
5．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得a和c的关系式，进而求得e．
【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0）
直线AB斜率为 ，直线BF的斜率为
∵∠FBA＝90°，
∴（ ）•1
整理得c2+ac﹣a2＝0，即（）21＝0，即e2+e﹣1＝0
解得e或
∵0＜e＜1
∴e，
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质，要注意椭圆的离心率小于1．属基础题．
6．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，则BM的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接A1B，AC，AC1，设，利用空间向量的线性运算表示出，再利用模的运算性质以及数量积的定义，化简求解即可．
【解答】解：连接A1B，AC，AC1，
设，
在△A1AB中，，
因为底面ABCD是平行四边形，
所以，
因为AC∥A1C1且AC＝A1C1，
所以，
又点M为线段A1C1的中点，
所以，
在△A1MB中，，
因为以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
所以（）2，
所以，
则BM的长为．
故选：D．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，空间距离的求解，在求解有关空间角和空间距离问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
7．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（﹣2，0），若将军从山脚下的点A（，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+2y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【分析】设点B（﹣2，0）关于直线x+2y＝3的对称点为B'（m，n），根据该直线是BB'的中垂线可列出关于m和n的方程组，解之，再利用两点间距离公式求出|AB'|即可．
【解答】解：根据题意，作出如下所示的图形，
设点B（﹣2，0）关于直线x+2y＝3的对称点为B'（m，n），
则，解得，
∴B'（0，4），
∴“将军饮马”的最短总路程为|AB'|．
故选：A．
【点评】本题考查点关于直线的对称问题，还包含两点间的距离公式，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．（5分）如图，已知双曲线的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点），则a的值为（ ）
A．3B．C．D．6
【分析】设F（c，0），通过c，直线OB方程为yx，直线BF的方程为y（x﹣c），解得B的坐标，求出A的坐标，然后求出AB的斜率，利用AB⊥OB，求出a2＝3，即可得到双曲线C的方程．
【解答】解：设F（c，0），因为b＝1，所以c，
直线OB方程为yx，直线BF的方程为y（x﹣c），解得B（，）
又直线OA的方程为yx，则A（c，），kAB．
又因为AB⊥OB，所以1，解得a2＝3，所以a．
故选：B．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．yxB．yxC．yxD．y＝±2x
【分析】通过焦点所在的轴，结合离心率公式，推出a，b关系，即可求解渐近线方程．
【解答】解：如焦点在x轴上，离心率为，可得c2＝5a2，b2＝4a2，则2，所以双曲线的渐近线方程y＝±2x，
如焦点在y轴上，离心率为，可得c2＝5a2，b2＝4a2，则2，所以双曲线的渐近线方程y＝±x，
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的离心率的应用，注意运用双曲线方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．AB⊥AC
B．与平面BCD的法向量平行
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
【分析】以D为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，设折叠前的等腰三角形ABC的斜边长BC＝2，写出各点坐标，利用向量的数量积为0判断A，C，易证AD⊥平面BCD，从而判断B，求出平面ABC的一个法向量，可判断D．
【解答】解：以D为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，如图所示，
设折叠前的等腰三角形ABC的斜边长BC＝2，
则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，1），
∴（1，0，﹣1），（0，1，﹣1），（0，1，0），（﹣1，0，0），
对于选项A：1≠0，故选项A错误，
对于选项B：∵AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，
∴AD⊥平面BCD，
∴为平面BCD的一个法向量，故选项B正确，
对于选项C：∵0，∴BD⊥AC，故选项C正确，
对于选项D：∵BD⊥AD，BD⊥AC，AD∩AC＝A，
∴BD⊥平面ADC，
∴为平面ADC的一个法向量，
设平面ABC的一个法向量为（x，y，z），则，
∴，令y＝1得，
∴（1，1，1），
∴1≠0，故选项D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查了立体几何中的折叠问题，考查了空间向量的应用，是基础题．
（多选）11．（5分）线段AB是抛物线y2＝2px（p＞0）过焦点F的弦，下列命题正确的有（ ）
A．|AF|最小值是p
B．|AB|最小值是2p
C．∠AOB可能为锐角，其中O为坐标原点
D．以AB为直径的圆一定与直线：相切
【分析】利用抛物线定义及其焦点弦的性质逐一判断即可．
【解答】解：依题意设A（x1，y1），B（x2，y2），
对A：由抛物线定义可得|AF|＝x1，因为x1＞0，所以|AF|＝x1，故A错误；
对B：设直线AB方程为x＝my，联立，得y²﹣2mpx﹣p²＝0，
Δ＝4m²p²+4p²＞0，y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p²，
所以x1+x22pm²+p≥p，
则|AB|＝x1+x2+p≥p+p＝2p，故B正确；
对C：（x1，y1），（x2，y2），
因为y1y2＝﹣p²，y1²＝2px1，y2²＝2px2，
所以x1x2，
则•x1x2+y1y2p²0，
所以∠AOB不肯为锐角，故C错误；
对D：因为|AB|＝x1+x2+p＝2pm²+p+p＝2p（m²+1），
所以以AB为直径的圆的半径为r＝p（m²+1），
又因为AB中点的横坐标x0pm²p（m²），
所以x0﹣（）＝p（m²）p（m²+1）＝r，
故以AB为直径的圆一定与直线x相切，故D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查抛物线的性质，抛物线焦点弦的几何性质，属于中档题．
（多选）12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则以下说法正确的是（ ）
A．当λ＝μ时，BP∥平面CB1D1
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为
C．当λ+μ＝1时，CP长度的最小值为
D．当λ+μ＝1时，CP与平面BCC1B1所成的角不可能为
【分析】当λ＝μ时，P的轨迹为线段DA1，证明BP∥平面CB1D1即可判断A；当时，点P的轨迹为线段EF，可得当P与E重合时，DP与直线CB1所成角最大，求出最大角判断B；当λ+μ＝1时，P点轨迹为线段D1A，分别求出CP长度的最小值与CP与平面BCC1B1所成的角的最大值判断C与D．
【解答】解：当λ＝μ时，如图（1），P的轨迹为线段DA1，
由正方体的结构特征，可知平面CB1D1∥平面A1BD，而BP⊂平面A1BD，
∴BP∥平面CB1D1，故A正确；
当时，如图（1），点P的轨迹为线段EF，直线CB1∥直线DA1，
当P与E重合时，DP与直线DA1所成角最大，即DP与直线CB1所成角最大，最大为，
故B错误；
当λ+μ＝1时，如图（2），P点轨迹为线段D1A，当P为D1A的中点时，
CP长度最小，
此时CP，故C正确；
当点P在线段D1A上运动时，P在平面BB1C1C上的射影在C1B上，
P到平面BB1C1C的距离为定值为1，
当P为D1A的中点时，CP的射影最短，
则CP与平面BCC1B1所成的角的正切值最大，
其正切值为，
∴CP与平面BCC1B1所成的角不可能为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查共线向量基本定理的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量（3，﹣1，2），（x，y，﹣4），且∥，则x+y＝ ﹣4 ．
【分析】由向量（3，﹣1，2），（x，y，﹣4），且∥，求解x，y，由此能法语出结果．
【解答】解：∵向量（3，﹣1，2），（x，y，﹣4），且∥，
∴，
解得x＝﹣6，y＝2，
x+y＝﹣6+2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查实数和的求法，解题时要注意空间向量的平行的条件的灵活运用，是基础题．
14．（5分）已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为 （x≥2） ．
【分析】由圆与圆的位置关系可得|MC1|﹣|MC2|＝4，再结合双曲线的定义，即可得点M的轨迹方程，易错点为在求解双曲线的标准方程时，忽略定义中“距离之差的绝对值”，而漏写x≥2这一限制条件．
【解答】解：设动圆M的半径为r，
圆的圆心为C1（﹣4，0），半径为2，圆的圆心为C2（4，0），半径为2，
因为动圆M与圆外切与圆内切，
所以|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，
所以|MC1|﹣|MC2|＝4，
又C1（﹣4，0），C2（4，0），
所以|C1C2|＝8＞4，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1（﹣4，0），C2（4，0）为焦点的双曲线的右支，
且a＝2，c＝4，
所以b2＝c2﹣a2＝12，
所以点M的轨迹方程为1（x≥2）．
故答案为：1（x≥2）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆的标准方程，圆与圆的位置关系等，熟练掌握双曲线的定义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．（5分）三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝AC，∠ABC，则点P到底面ABC的距离为 ．
【分析】利用已知条件，求出底面ABC的外接圆半径，然后求解点P到底面ABC的距离．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝AC，∠ABC，
可知三棱锥P﹣ABC在以P为顶点，ABC的外接圆为底面的圆锥上，
底面三角形的半径为：R，2R2，所以R＝1，
则点P到底面ABC的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的点线面距离的求法，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．
16．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为 [，1] ．
【分析】设点A（acsα，bsinα），从而可得（﹣c﹣acsα，﹣bsinα）（﹣c+acsα，bsinα）＝0，从而化简可得csα，而sinθ，从而可得，从而可得，从而求得．
【解答】解：设点A（acsα，bsinα），则B（﹣acsα，﹣bsinα）（0≤α）；
F（﹣c，0）；
∵AF⊥BF，
∴•0，
即（﹣c﹣acsα，﹣bsinα）（﹣c+acsα，bsinα）＝0，
故c2﹣a2cs2α﹣b2sin2α＝0，
cs2α2，
故csα，
而|AF|，
|AB|2c，
而sinθ
，
∵θ∈[，]，
∴sinθ∈[，]，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，e1；
故答案为：[，1]．
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l：ax+（2﹣a）y+1＝0．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆（x﹣2）2+y2＝4相交于A、B两点，且时，求直线l的方程．
【分析】（1）易知直线l的截距不能为0，分别令方程ax+（2﹣a）y+1＝0中x＝0，y＝0，即可求解．
（2）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）易知直线l的截距不能为0，令，令，
则，
故a的值为1．
（2）因为圆的半径为2及，
由垂径定理可以得到圆心（2，0）到直线l的距离或a，
将a＝0或a代入ax+（2﹣a）y+1＝0，即可得直线l的方程为或10x﹣24y﹣7＝0，
故直线l的方程为或10x﹣24y﹣7＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．
18．（12分）中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点A（2，3）；②该曲线的渐近线与圆x2﹣8x+y2+4＝0相切；③点P在该双曲线上，F1，F2为该双曲线的焦点，当点P的纵坐标为时恰好PF1⊥PF2．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）过定点Q（1，1）能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意可得c的值，选①时，设双曲线的方程将点A的坐标代入双曲线的方程，再由a，b，c的关系可得a，b的关系，求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；选②时，设双曲线的方程可得渐近线的方程，求出圆心的坐标和半径r，求出圆心到渐近线的距离d，由题意可得r＝d，可得a，b的关系，进而求出a，b的值，求出双曲线的方程；选③时，设双曲线的方程，将P的纵坐标代入求出P的横坐标，再由PF1⊥PF2，则0求出P的横坐标，可得a，b的值，进而求出双曲线的方程；
（2）设两点的坐标，由点差法求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与双曲线联立，由判别式小于0可得这样的直线不存在．
【解答】解：（1）若选①，设双曲线的方程为：1，
由题意可得2c＝4，所以c＝2，
因为过A（2，3），
则解得a2＝1，b2＝3，
所以的方程为：x21；
若选②，由题意设双曲线的方程：1，
由题意可得2c＝4，所以c＝2，
所以渐近线的方程为：bx±ay＝0，
圆x2﹣8x+y2+4＝0的圆心坐标（4，0），半径r，
所以圆心到渐近线的距离d2b，
由渐近线与圆相切可得d＝r，
即2b，解得b2＝3，所以a2＝c2﹣b2＝4﹣3＝1，
所以双曲线的方程为：x21；
若选③，设双曲线的方程为：1，
由题意可得2c＝4，所以c＝2，
当点P的纵坐标为时，将P的纵坐标代入椭圆的方程可得横坐标1，
可得，x2＝a2（1），
因为PF1⊥PF2，则0，即（﹣2﹣x，）•（2﹣x，）＝0，
所以x2﹣40，可得x2，
所以a2（1），
而a2＝c2﹣b2＝4﹣b2，
解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线的方程为：x21；
（2）设于Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），而Q（1，1）为它们的中点，
所以x1+x2＝2，y1+y2＝2，
则作差可得x12﹣x22，
所以k3，
所以直线Q1Q2的方程为：y﹣1＝3（x﹣1），即y＝3x﹣2，
代入双曲线的方程x21，整理可得：6x2﹣12x+7＝0，
则Δ＝122﹣4×6×7＝﹣1＜0，
显然没有两个交点，所以这样的直线不存在．
【点评】本题考查求双曲线的方程的方法及直线与双曲线的综合应用，点差法求直线的斜率的方法，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面△PBC是等边三角形，ADAB，∠BCD＝45°，面PBC⊥面ABCD，E、F分别为BC、CD的中点．
（1）证明：AB⊥平面PEF；
（2）求平面PEF与平面PAD所成夹角的余弦值．
【分析】（1）只要证明CD垂直于平面PEF内相交直线EF和EP即可；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：不妨设AB＝2，则，所以，所以，
所以CF2+EF2＝CE2，所以EF⊥CF，在等边三角形PBC中E为BC的中点，所以PE⊥BC，
因为面PBC⊥面ABCD，PE⊂面PBC，面PBC∩面ABCD＝BC，
所以PE⊥面ABCD，因为CD⊂面ABCD，所以PE⊥CD，
因为EF⊥CD，EF∩PE＝E，所以CD⊥面PEF，
因为AB∥CD，所以AB⊥面PEF．
（2）解：由（1）知BD＝2，DE⊥BC，以E为坐标原点，ED、EC、EP分别为x、y、z轴建立直角坐标系，
则，
，，
设PAD的法向量，
因为，，所以，取z＝1，得，
平面PEF的法向量为，
所以，所以面PEF与面PAD所成锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角计算问题，属于中档题．
20．（12分）已知点A为抛物线y2＝8x上的一个动点（A与坐标原点O不重合），OA中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线L过E（2，0）交曲线C于M，N两点，F为曲线C的焦点，求S△MOE+S△NFE的最小值．
【分析】（1）设出P的坐标，求解A的坐标，代入抛物线方程，推出结果即可．
（2）设直线L为x＝my+2联立y2＝4x，利用韦达定理，转化求解三角形的面积．
【解答】解：（1）设P（x，y），则A（2x，2y），
∵A在抛物线y2＝8x上，
∴（2y）2＝8（2x），即y2＝4x
∴曲线C的方程为y2＝4x． （5分）
（2）设直线L为x＝my+2联立y2＝4x得到，y2﹣4my﹣8＝0，
y1+y2＝4m，y1⋅y2＝﹣8，
，，
所以．当且仅当y1＝2，y2＝﹣4时，或y1＝﹣2，y2＝4取等号．（12分）
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，轨迹方程的求法，是中档题．
21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点，侧面AA1C1C是菱形，过点B1、B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）在图中作出截面BB1ED，并证明四边形BB1ED为矩形；
（2）若AB＝AC＝2，求CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．
【分析】（1）只要证明四边形BB1ED为平行四边形，且BD⊥DE即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．
【解答】解：（1）四边形BB1ED为矩形，证明如下：
取A1C1中点为E，连接B1E，DE，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形，所以B1B∥A1A，
因为B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1，所以B1B∥平面A1ACC1．
因为B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，所以B1B∥DE．
因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，平面BB1D∩平面ABC＝BD，平面BB1D∩平面A1B1C1＝B1E，
所以BD∥B1E，所以四边形BB1ED为平行四边形．
在△ABC中，因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC．
由题可知A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BD，A1D⊥AC，因为AC∩A1D＝D，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE，
故四边形BB1ED为矩形．
（2）由（1）知DB，AC，A1D两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
AD＝1，，在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，
所以，所以，
则，因为，所以，即，
因为C（0，1，0），所以．设平面ABB1A1的法向量为，
则即所以令，得．
设CB1与平面ABB1A1所成角为θ，θ∈（0，]，
则．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．
22．（12分）与椭圆（a＞b＞0，c＞0且a2＝b2+c2）相关的两条直线称为椭圆C的准线，已知直线l是位于椭圆C右侧的一条准线，椭圆上的点到l的距离的最大值为6，最小值为2．
（1）求椭圆C的标准方程及直线l的方程；
（2）设椭圆C的左、右两个顶点分别为A1、A2，T为直线l上的动点，且T不在x轴上，TA1与C的另一个交点为M，TA2与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：△FMN的周长为8．
【分析】（1）由已知条件，列出关于a和c的方程组，求出a，c，进而求出b，即可得到答案；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线A1T的方程为，直线A2T的方程为，
联立方程组求出M，N的坐标，求出直线MN的方程，然后求解定点坐标，转化求解△FMN的周长．
【解答】（1）解：由题意可得，，解得a＝2，c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝3，椭圆C的标准方程为，直线l的方程为x＝4．
（2）证明：题意可知，A1（﹣2，0），A2（2，0），T（4，t）（t≠0）为直线x＝4上一点．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线A1T的方程为，直线A2T的方程为，
联立方程组
可得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108＝0，可得，
所以，故．
同理可得，
故直线MN的方程为，
化简得，
即，
故直线MN过定点（1，0），所以△FMN的周长为定值8．
【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
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1．（5分）直线xy+3＝0的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
3．（5分）已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．﹣1D．﹣2
4．（5分）已知A（3，2），点F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．（1，）D．（，1）
5．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，则BM的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（﹣2，0），若将军从山脚下的点A（，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+2y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
8．（5分）如图，已知双曲线的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点），则a的值为（ ）
A．3B．C．D．6
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．yxB．yxC．yxD．y＝±2x
（多选）10．（5分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．AB⊥AC
B．与平面BCD的法向量平行
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
（多选）11．（5分）线段AB是抛物线y2＝2px（p＞0）过焦点F的弦，下列命题正确的有（ ）
A．|AF|最小值是p
B．|AB|最小值是2p
C．∠AOB可能为锐角，其中O为坐标原点
D．以AB为直径的圆一定与直线：相切
（多选）12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则以下说法正确的是（ ）
A．当λ＝μ时，BP∥平面CB1D1
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为
C．当λ+μ＝1时，CP长度的最小值为
D．当λ+μ＝1时，CP与平面BCC1B1所成的角不可能为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量（3，﹣1，2），（x，y，﹣4），且∥，则x+y＝ ．
14．（5分）已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为 ．
15．（5分）三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝AC，∠ABC，则点P到底面ABC的距离为 ．
16．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为 ．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l：ax+（2﹣a）y+1＝0．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆（x﹣2）2+y2＝4相交于A、B两点，且时，求直线l的方程．
18．（12分）中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点A（2，3）；②该曲线的渐近线与圆x2﹣8x+y2+4＝0相切；③点P在该双曲线上，F1，F2为该双曲线的焦点，当点P的纵坐标为时恰好PF1⊥PF2．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）过定点Q（1，1）能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面△PBC是等边三角形，ADAB，∠BCD＝45°，面PBC⊥面ABCD，E、F分别为BC、CD的中点．
（1）证明：AB⊥平面PEF；
（2）求平面PEF与平面PAD所成夹角的余弦值．
20．（12分）已知点A为抛物线y2＝8x上的一个动点（A与坐标原点O不重合），OA中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线L过E（2，0）交曲线C于M，N两点，F为曲线C的焦点，求S△MOE+S△NFE的最小值．
21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点，侧面AA1C1C是菱形，过点B1、B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）在图中作出截面BB1ED，并证明四边形BB1ED为矩形；
（2）若AB＝AC＝2，求CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．
22．（12分）与椭圆（a＞b＞0，c＞0且a2＝b2+c2）相关的两条直线称为椭圆C的准线，已知直线l是位于椭圆C右侧的一条准线，椭圆上的点到l的距离的最大值为6，最小值为2．
（1）求椭圆C的标准方程及直线l的方程；
（2）设椭圆C的左、右两个顶点分别为A1、A2，T为直线l上的动点，且T不在x轴上，TA1与C的另一个交点为M，TA2与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：△FMN的周长为8．
2021-2022学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线xy+3＝0的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．
【解答】解：将已知直线化为yx，
所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
故选：A．
【点评】本题考查直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．
2．（5分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【分析】利用与同向共线的单位向量即可得出．
【解答】解：∵，
∴与同向共线的单位向量（3，0，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了与同向共线的单位向量，属于基础题．
3．（5分）已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ）
A．0B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】先将题中条件：“”化成“”，利用四点共面的充要条件，列出方程求出m．
【解答】解：∵，
∴，
又动点Q在△ABC所在平面内运动，
∴﹣2+5﹣m＝1，
解得m＝2，
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的基本定理及其意义、四点共面的充要条件：P∈平面ABC，若xyz，则x+y+z＝1．
4．（5分）已知A（3，2），点F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．（1，）D．（，1）
【分析】求出焦点坐标和准线方程，把|PA|+|PF|转化为PA|+|PM|，利用 当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值，把y＝2代入抛物线y2＝2x 解得x值，即得P的坐标．
【解答】解：由题意得 F（，0），准线方程为 x，设点P到准线的距离为d＝|PM|，
则由抛物线的定义得|PA|+|PF|＝|PA|+|PM|，
故当P、A、M三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值为|AM|＝3﹣（）．
把 y＝2代入抛物线y2＝2x 得 x＝2，故点P的坐标是（2，2），
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想．
5．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得﹣1，进而求得a和c的关系式，进而求得e．
【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0）
直线AB斜率为 ，直线BF的斜率为
∵∠FBA＝90°，
∴（ ）•1
整理得c2+ac﹣a2＝0，即（）21＝0，即e2+e﹣1＝0
解得e或
∵0＜e＜1
∴e，
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质，要注意椭圆的离心率小于1．属基础题．
6．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，则BM的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接A1B，AC，AC1，设，利用空间向量的线性运算表示出，再利用模的运算性质以及数量积的定义，化简求解即可．
【解答】解：连接A1B，AC，AC1，
设，
在△A1AB中，，
因为底面ABCD是平行四边形，
所以，
因为AC∥A1C1且AC＝A1C1，
所以，
又点M为线段A1C1的中点，
所以，
在△A1MB中，，
因为以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
所以（）2，
所以，
则BM的长为．
故选：D．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，空间距离的求解，在求解有关空间角和空间距离问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
7．（5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题﹣﹣“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B（﹣2，0），若将军从山脚下的点A（，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+2y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【分析】设点B（﹣2，0）关于直线x+2y＝3的对称点为B'（m，n），根据该直线是BB'的中垂线可列出关于m和n的方程组，解之，再利用两点间距离公式求出|AB'|即可．
【解答】解：根据题意，作出如下所示的图形，
设点B（﹣2，0）关于直线x+2y＝3的对称点为B'（m，n），
则，解得，
∴B'（0，4），
∴“将军饮马”的最短总路程为|AB'|．
故选：A．
【点评】本题考查点关于直线的对称问题，还包含两点间的距离公式，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．（5分）如图，已知双曲线的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点），则a的值为（ ）
A．3B．C．D．6
【分析】设F（c，0），通过c，直线OB方程为yx，直线BF的方程为y（x﹣c），解得B的坐标，求出A的坐标，然后求出AB的斜率，利用AB⊥OB，求出a2＝3，即可得到双曲线C的方程．
【解答】解：设F（c，0），因为b＝1，所以c，
直线OB方程为yx，直线BF的方程为y（x﹣c），解得B（，）
又直线OA的方程为yx，则A（c，），kAB．
又因为AB⊥OB，所以1，解得a2＝3，所以a．
故选：B．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A．yxB．yxC．yxD．y＝±2x
【分析】通过焦点所在的轴，结合离心率公式，推出a，b关系，即可求解渐近线方程．
【解答】解：如焦点在x轴上，离心率为，可得c2＝5a2，b2＝4a2，则2，所以双曲线的渐近线方程y＝±2x，
如焦点在y轴上，离心率为，可得c2＝5a2，b2＝4a2，则2，所以双曲线的渐近线方程y＝±x，
故选：CD．
【点评】本题考查双曲线的离心率的应用，注意运用双曲线方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．AB⊥AC
B．与平面BCD的法向量平行
C．BD⊥AC
D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直
【分析】以D为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，设折叠前的等腰三角形ABC的斜边长BC＝2，写出各点坐标，利用向量的数量积为0判断A，C，易证AD⊥平面BCD，从而判断B，求出平面ABC的一个法向量，可判断D．
【解答】解：以D为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，如图所示，
设折叠前的等腰三角形ABC的斜边长BC＝2，
则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，1），
∴（1，0，﹣1），（0，1，﹣1），（0，1，0），（﹣1，0，0），
对于选项A：1≠0，故选项A错误，
对于选项B：∵AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，
∴AD⊥平面BCD，
∴为平面BCD的一个法向量，故选项B正确，
对于选项C：∵0，∴BD⊥AC，故选项C正确，
对于选项D：∵BD⊥AD，BD⊥AC，AD∩AC＝A，
∴BD⊥平面ADC，
∴为平面ADC的一个法向量，
设平面ABC的一个法向量为（x，y，z），则，
∴，令y＝1得，
∴（1，1，1），
∴1≠0，故选项D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查了立体几何中的折叠问题，考查了空间向量的应用，是基础题．
（多选）11．（5分）线段AB是抛物线y2＝2px（p＞0）过焦点F的弦，下列命题正确的有（ ）
A．|AF|最小值是p
B．|AB|最小值是2p
C．∠AOB可能为锐角，其中O为坐标原点
D．以AB为直径的圆一定与直线：相切
【分析】利用抛物线定义及其焦点弦的性质逐一判断即可．
【解答】解：依题意设A（x1，y1），B（x2，y2），
对A：由抛物线定义可得|AF|＝x1，因为x1＞0，所以|AF|＝x1，故A错误；
对B：设直线AB方程为x＝my，联立，得y²﹣2mpx﹣p²＝0，
Δ＝4m²p²+4p²＞0，y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p²，
所以x1+x22pm²+p≥p，
则|AB|＝x1+x2+p≥p+p＝2p，故B正确；
对C：（x1，y1），（x2，y2），
因为y1y2＝﹣p²，y1²＝2px1，y2²＝2px2，
所以x1x2，
则•x1x2+y1y2p²0，
所以∠AOB不肯为锐角，故C错误；
对D：因为|AB|＝x1+x2+p＝2pm²+p+p＝2p（m²+1），
所以以AB为直径的圆的半径为r＝p（m²+1），
又因为AB中点的横坐标x0pm²p（m²），
所以x0﹣（）＝p（m²）p（m²+1）＝r，
故以AB为直径的圆一定与直线x相切，故D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查抛物线的性质，抛物线焦点弦的几何性质，属于中档题．
（多选）12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则以下说法正确的是（ ）
A．当λ＝μ时，BP∥平面CB1D1
B．当时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为
C．当λ+μ＝1时，CP长度的最小值为
D．当λ+μ＝1时，CP与平面BCC1B1所成的角不可能为
【分析】当λ＝μ时，P的轨迹为线段DA1，证明BP∥平面CB1D1即可判断A；当时，点P的轨迹为线段EF，可得当P与E重合时，DP与直线CB1所成角最大，求出最大角判断B；当λ+μ＝1时，P点轨迹为线段D1A，分别求出CP长度的最小值与CP与平面BCC1B1所成的角的最大值判断C与D．
【解答】解：当λ＝μ时，如图（1），P的轨迹为线段DA1，
由正方体的结构特征，可知平面CB1D1∥平面A1BD，而BP⊂平面A1BD，
∴BP∥平面CB1D1，故A正确；
当时，如图（1），点P的轨迹为线段EF，直线CB1∥直线DA1，
当P与E重合时，DP与直线DA1所成角最大，即DP与直线CB1所成角最大，最大为，
故B错误；
当λ+μ＝1时，如图（2），P点轨迹为线段D1A，当P为D1A的中点时，
CP长度最小，
此时CP，故C正确；
当点P在线段D1A上运动时，P在平面BB1C1C上的射影在C1B上，
P到平面BB1C1C的距离为定值为1，
当P为D1A的中点时，CP的射影最短，
则CP与平面BCC1B1所成的角的正切值最大，
其正切值为，
∴CP与平面BCC1B1所成的角不可能为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查共线向量基本定理的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量（3，﹣1，2），（x，y，﹣4），且∥，则x+y＝ ﹣4 ．
【分析】由向量（3，﹣1，2），（x，y，﹣4），且∥，求解x，y，由此能法语出结果．
【解答】解：∵向量（3，﹣1，2），（x，y，﹣4），且∥，
∴，
解得x＝﹣6，y＝2，
x+y＝﹣6+2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查实数和的求法，解题时要注意空间向量的平行的条件的灵活运用，是基础题．
14．（5分）已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为 （x≥2） ．
【分析】由圆与圆的位置关系可得|MC1|﹣|MC2|＝4，再结合双曲线的定义，即可得点M的轨迹方程，易错点为在求解双曲线的标准方程时，忽略定义中“距离之差的绝对值”，而漏写x≥2这一限制条件．
【解答】解：设动圆M的半径为r，
圆的圆心为C1（﹣4，0），半径为2，圆的圆心为C2（4，0），半径为2，
因为动圆M与圆外切与圆内切，
所以|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，
所以|MC1|﹣|MC2|＝4，
又C1（﹣4，0），C2（4，0），
所以|C1C2|＝8＞4，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1（﹣4，0），C2（4，0）为焦点的双曲线的右支，
且a＝2，c＝4，
所以b2＝c2﹣a2＝12，
所以点M的轨迹方程为1（x≥2）．
故答案为：1（x≥2）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，圆的标准方程，圆与圆的位置关系等，熟练掌握双曲线的定义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．（5分）三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝AC，∠ABC，则点P到底面ABC的距离为 ．
【分析】利用已知条件，求出底面ABC的外接圆半径，然后求解点P到底面ABC的距离．
【解答】解：三棱锥P﹣ABC，PA＝PB＝PC＝AC，∠ABC，
可知三棱锥P﹣ABC在以P为顶点，ABC的外接圆为底面的圆锥上，
底面三角形的半径为：R，2R2，所以R＝1，
则点P到底面ABC的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的点线面距离的求法，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．
16．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为 [，1] ．
【分析】设点A（acsα，bsinα），从而可得（﹣c﹣acsα，﹣bsinα）（﹣c+acsα，bsinα）＝0，从而化简可得csα，而sinθ，从而可得，从而可得，从而求得．
【解答】解：设点A（acsα，bsinα），则B（﹣acsα，﹣bsinα）（0≤α）；
F（﹣c，0）；
∵AF⊥BF，
∴•0，
即（﹣c﹣acsα，﹣bsinα）（﹣c+acsα，bsinα）＝0，
故c2﹣a2cs2α﹣b2sin2α＝0，
cs2α2，
故csα，
而|AF|，
|AB|2c，
而sinθ
，
∵θ∈[，]，
∴sinθ∈[，]，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，e1；
故答案为：[，1]．
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l：ax+（2﹣a）y+1＝0．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆（x﹣2）2+y2＝4相交于A、B两点，且时，求直线l的方程．
【分析】（1）易知直线l的截距不能为0，分别令方程ax+（2﹣a）y+1＝0中x＝0，y＝0，即可求解．
（2）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】解：（1）易知直线l的截距不能为0，令，令，
则，
故a的值为1．
（2）因为圆的半径为2及，
由垂径定理可以得到圆心（2，0）到直线l的距离或a，
将a＝0或a代入ax+（2﹣a）y+1＝0，即可得直线l的方程为或10x﹣24y﹣7＝0，
故直线l的方程为或10x﹣24y﹣7＝0．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．
18．（12分）中心在原点的双曲线E焦点在x轴上且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点A（2，3）；②该曲线的渐近线与圆x2﹣8x+y2+4＝0相切；③点P在该双曲线上，F1，F2为该双曲线的焦点，当点P的纵坐标为时恰好PF1⊥PF2．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）过定点Q（1，1）能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意可得c的值，选①时，设双曲线的方程将点A的坐标代入双曲线的方程，再由a，b，c的关系可得a，b的关系，求出a，b的值，进而求出双曲线的方程；选②时，设双曲线的方程可得渐近线的方程，求出圆心的坐标和半径r，求出圆心到渐近线的距离d，由题意可得r＝d，可得a，b的关系，进而求出a，b的值，求出双曲线的方程；选③时，设双曲线的方程，将P的纵坐标代入求出P的横坐标，再由PF1⊥PF2，则0求出P的横坐标，可得a，b的值，进而求出双曲线的方程；
（2）设两点的坐标，由点差法求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与双曲线联立，由判别式小于0可得这样的直线不存在．
【解答】解：（1）若选①，设双曲线的方程为：1，
由题意可得2c＝4，所以c＝2，
因为过A（2，3），
则解得a2＝1，b2＝3，
所以的方程为：x21；
若选②，由题意设双曲线的方程：1，
由题意可得2c＝4，所以c＝2，
所以渐近线的方程为：bx±ay＝0，
圆x2﹣8x+y2+4＝0的圆心坐标（4，0），半径r，
所以圆心到渐近线的距离d2b，
由渐近线与圆相切可得d＝r，
即2b，解得b2＝3，所以a2＝c2﹣b2＝4﹣3＝1，
所以双曲线的方程为：x21；
若选③，设双曲线的方程为：1，
由题意可得2c＝4，所以c＝2，
当点P的纵坐标为时，将P的纵坐标代入椭圆的方程可得横坐标1，
可得，x2＝a2（1），
因为PF1⊥PF2，则0，即（﹣2﹣x，）•（2﹣x，）＝0，
所以x2﹣40，可得x2，
所以a2（1），
而a2＝c2﹣b2＝4﹣b2，
解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线的方程为：x21；
（2）设于Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），而Q（1，1）为它们的中点，
所以x1+x2＝2，y1+y2＝2，
则作差可得x12﹣x22，
所以k3，
所以直线Q1Q2的方程为：y﹣1＝3（x﹣1），即y＝3x﹣2，
代入双曲线的方程x21，整理可得：6x2﹣12x+7＝0，
则Δ＝122﹣4×6×7＝﹣1＜0，
显然没有两个交点，所以这样的直线不存在．
【点评】本题考查求双曲线的方程的方法及直线与双曲线的综合应用，点差法求直线的斜率的方法，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面△PBC是等边三角形，ADAB，∠BCD＝45°，面PBC⊥面ABCD，E、F分别为BC、CD的中点．
（1）证明：AB⊥平面PEF；
（2）求平面PEF与平面PAD所成夹角的余弦值．
【分析】（1）只要证明CD垂直于平面PEF内相交直线EF和EP即可；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：不妨设AB＝2，则，所以，所以，
所以CF2+EF2＝CE2，所以EF⊥CF，在等边三角形PBC中E为BC的中点，所以PE⊥BC，
因为面PBC⊥面ABCD，PE⊂面PBC，面PBC∩面ABCD＝BC，
所以PE⊥面ABCD，因为CD⊂面ABCD，所以PE⊥CD，
因为EF⊥CD，EF∩PE＝E，所以CD⊥面PEF，
因为AB∥CD，所以AB⊥面PEF．
（2）解：由（1）知BD＝2，DE⊥BC，以E为坐标原点，ED、EC、EP分别为x、y、z轴建立直角坐标系，
则，
，，
设PAD的法向量，
因为，，所以，取z＝1，得，
平面PEF的法向量为，
所以，所以面PEF与面PAD所成锐二面角的余弦值为．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角计算问题，属于中档题．
20．（12分）已知点A为抛物线y2＝8x上的一个动点（A与坐标原点O不重合），OA中点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线L过E（2，0）交曲线C于M，N两点，F为曲线C的焦点，求S△MOE+S△NFE的最小值．
【分析】（1）设出P的坐标，求解A的坐标，代入抛物线方程，推出结果即可．
（2）设直线L为x＝my+2联立y2＝4x，利用韦达定理，转化求解三角形的面积．
【解答】解：（1）设P（x，y），则A（2x，2y），
∵A在抛物线y2＝8x上，
∴（2y）2＝8（2x），即y2＝4x
∴曲线C的方程为y2＝4x． （5分）
（2）设直线L为x＝my+2联立y2＝4x得到，y2﹣4my﹣8＝0，
y1+y2＝4m，y1⋅y2＝﹣8，
，，
所以．当且仅当y1＝2，y2＝﹣4时，或y1＝﹣2，y2＝4取等号．（12分）
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，轨迹方程的求法，是中档题．
21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，点A1在平面ABC的射影为线段AC的中点，侧面AA1C1C是菱形，过点B1、B，D的平面α与棱A1C1交于点E．
（1）在图中作出截面BB1ED，并证明四边形BB1ED为矩形；
（2）若AB＝AC＝2，求CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．
【分析】（1）只要证明四边形BB1ED为平行四边形，且BD⊥DE即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．
【解答】解：（1）四边形BB1ED为矩形，证明如下：
取A1C1中点为E，连接B1E，DE，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ABB1为平行四边形，所以B1B∥A1A，
因为B1B⊄平面A1ACC1，A1A⊂平面A1ACC1，所以B1B∥平面A1ACC1．
因为B1B⊂平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，所以B1B∥DE．
因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，平面BB1D∩平面ABC＝BD，平面BB1D∩平面A1B1C1＝B1E，
所以BD∥B1E，所以四边形BB1ED为平行四边形．
在△ABC中，因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC．
由题可知A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BD，A1D⊥AC，因为AC∩A1D＝D，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE，
故四边形BB1ED为矩形．
（2）由（1）知DB，AC，A1D两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
AD＝1，，在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，
所以，所以，
则，因为，所以，即，
因为C（0，1，0），所以．设平面ABB1A1的法向量为，
则即所以令，得．
设CB1与平面ABB1A1所成角为θ，θ∈（0，]，
则．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．
22．（12分）与椭圆（a＞b＞0，c＞0且a2＝b2+c2）相关的两条直线称为椭圆C的准线，已知直线l是位于椭圆C右侧的一条准线，椭圆上的点到l的距离的最大值为6，最小值为2．
（1）求椭圆C的标准方程及直线l的方程；
（2）设椭圆C的左、右两个顶点分别为A1、A2，T为直线l上的动点，且T不在x轴上，TA1与C的另一个交点为M，TA2与C的另一个交点为N，F为椭圆C的左焦点，求证：△FMN的周长为8．
【分析】（1）由已知条件，列出关于a和c的方程组，求出a，c，进而求出b，即可得到答案；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线A1T的方程为，直线A2T的方程为，
联立方程组求出M，N的坐标，求出直线MN的方程，然后求解定点坐标，转化求解△FMN的周长．
【解答】（1）解：由题意可得，，解得a＝2，c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝3，椭圆C的标准方程为，直线l的方程为x＝4．
（2）证明：题意可知，A1（﹣2，0），A2（2，0），T（4，t）（t≠0）为直线x＝4上一点．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线A1T的方程为，直线A2T的方程为，
联立方程组
可得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108＝0，可得，
所以，故．
同理可得，
故直线MN的方程为，
化简得，
即，
故直线MN过定点（1，0），所以△FMN的周长为定值8．
【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．
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