“填空题”高考剖析及备考指南原卷及解析

“填空题”高考剖析及备考指南

一、题型分类

1.内容上分为两类：

①定量型填空题。

这类题目需要学生去填写数值或数集（包括用字母表示的数），如方程或不等式的解集；[解析]式的运算结果；函数的定义域、值域（或最值)周期；数列的通项与部分和；排列组合的种数；参变量的变化范围；几何图形中的长度、角度、面积；二次曲线的几何参数等。

②定性型填空题。

这类题目需要学生去填写具有某种性质的数学对象或数学对象的某些关系，比如，确定图形之间的全等、相似、平行、相交、垂直、相切；确定集合的子、交、并、补关系；判别命题的充要条件；确定非零向量的平行、垂直；确定数量之间的相等、不等关系；求二次曲线的轨迹方程、准线方程等。

2.形式上分为两类：

①单空题

②双空题

（1）并列式两空并答：利用同一解题思路与过程，一次性得出两个空的[答案]

例：（2020年浙江）已知，则_______，_______．

（2）分列式一空一答：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问。

例：（2020年天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

（3）递进式逐空解答：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，只要第一空作对，第二空便可顺势解答。

例：（2020年天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

三、解题策略

1.直接推演

就是直接从题目的条件出发，利用概念、定理、公式、法则等数学基础知识得出[答案]，然后按照要求将最后结果填入空位处。填空题的直接法更像做解答题，但由于填空题不需要过程，因而可以跳过一些步骤，大跨度前进。为了节省时间还可手写与心算相结合，力求快速，避免“小题大做”，从这一意义上说，填空题的直接法又像是选择题的求解对照法。

例：（2020年全国高考2卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

2.特殊化法

当填空题暗示[答案]是一个“定值”或具“定性”特征时，可以取特殊数值、特殊图形、特殊位置或特殊结构来确定这个“定值”“定性”，以节省推理论证的过程。这些解填空题的方法统称为特殊化法。对于解答题，特例常常只是提供论证的方向，而对填空题来说，往往不需要过程，就成为答案了。当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤为有效。

例：（2020年北京）若函数的最大值为2，则常数的一个取值为______．

例：（2021年全国甲卷）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

3.数形结合

“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到“形帮数”的目的；同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的。对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例：（2019年江苏）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是.

4．等价转化

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。常用的几种经典转化方法有配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法等等。

例：（2021年全国新高考2卷）已知向量，，，_______．

例：（2020年北京）已知正方形的边长为2，点P满足，则______；_________．

例：（2020年江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

例：（2020年全国新高考2卷）设复数，满足，，则=__________.

三、特别提醒

1.从难度的角度看填空题中的考点分布

（1）简单题：函数的定义域与值域、函数的图象、对数与指数、双曲线、期望与方差、二项式系数等；

（2）中档题：分段函数、基本函数的图像与性质、三角函数基本关系与诱导公式、三角函数图象与性质、数列的性质与基本运算、基本不等式、向量坐标运算、数量积的几何意义、直线与圆、椭圆、几何体的面积与体积、排列组合等；

（3）压轴题：主要考查数学学科能力，特别注意情境试题（包括数学文化）、空间的动态问题（角）、函数的性质（分段函数要特别注意）与不等式为背景的问题、围绕平面向量的模与数量积设计的综合问题、[解析]几何有关的动态问题等.

2.从题型创新的角度看可能的情况，填空题一直是新题型的试验田

（1）开放探索题

例：（2019年北京）已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:

①；②；③

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题:______.

（2）多项填空题（类似于多项选择题）

例：（2021年北京）已知函数，给出下列四个结论：

①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有个1零点；

③存在负数，使得恰有个3零点；④存在正数，使得恰有个3零点．

其中所有正确结论的序号是_______．

（3）实际应用题

例：（2020年北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

（4）数学文化情境题

例：（2019年全国2卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

（5）答案不唯一型

例：（2021年北京）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．

例：（2005年福建）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数的图象与的图象关于对称，则函数=。

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

(6)信息迁移型

例：（2007年福建）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意，都有；

（2）对称性：对于，若，则有；

（3）传递性：对于，若，，则有．

则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．

四、前瞻预测

1.已知函数，，则__________.

2.已知函数满足任意实数,都有,设，若，则____________

3．已知不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是________．

4.若函数在上单调递减，则的取值范围是______.

5.在中，为的中点，，若，则          

6.在中，的面积，则          

7.已知抛物线与圆：，过圆心的直线，与圆相交于两点，与抛物线相交于两点，四点按自上而下的顺序，若线段的长度成等差数列，则直线的斜率为           .

8.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，过作抛物线的切线交轴于点，若的面积为10，则点的横坐标为           .

9.在正三棱柱中，，是直线上的动点，则异面直线与所成的角的最小值是           .

10.在在棱长为3的正方体中，圆内切与，为圆上一点，当取最小值时，          

11.已知三棱锥中，三棱锥体积为，则三棱锥外接球的表面积为           .