高考第一轮复习第20讲 三角变换及综合应用

第二十讲 三角变换及综合应用

A组

一、       选择题

1、若，，，，则（   ）

A．            B．              C．             D．

答案C

解析:，且

，

又，且

从而

故选C．

2、若，则为（         ）

A．5            B．-1            C．6          D．

答案A

解析：由题可知

两式联立可得

3、已知，则（    ）

A．    B．     C．     D．

答案C

解析：，，解得：，

从而．故选C．

4、若都是锐角，且，，则（   ）

A．          B．          C．或    D．或

答案A

解析：都是锐角，且，，所以，，从而，故选A．

二、       填空题

5、已知，且，则的值为________．

答案

解析：.由，平方得，进而得，，由于

，代入得

6、若、均为锐角，且，，则            ．

答案

解析：由于都是锐角，所以，又，，

所以，，．

三、       解答题

7、已知向量.

（1）当时，求的值；

（2）设函数，已知在中，内角的对边分别为若，求的取值范围.

解析：（1）因为，所以，所以.

所以.

（2）.

由正弦定理，得.所以或.

因为，所以,所以

因为 ，所以

所以.

8、已知函数，．

（1）求的值；

（2）若，，求．

解析：（1）因为，

所以；

（2）因为，，则。

所以，。

9、在△中，角的对边分别是，已知向量，，且．

（1）求的值；

（2）若，的面积，求的值．

解析：（1）,

由正弦定理，得，

化简，得﹒

﹒

又,．

（2）, ，．

，﹒①

，由余弦定理得，

，②

由①②，得，从而（舍去负值），.

10、已知满足．

（1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；

（2）已知三个内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值．

解析：（1） ，所以，

令，得

的单调递增区间是

（2），∴，

又，∴，∴．

在中由余弦定理有，

可知（当且仅当时取等号），

∴，即面积的最大值为．

B组

一、       选择题

1、已知，则（   ）

A．            B．            C．               D．

答案D

解析：因为，结合及，得，又，所以,所以.故选D．

2、若，且，则（    ）

A．           B．          C．               D．

答案C

解析：，整理，得，解得或．又，所以.故选C．

3、已知,则等于 （   ）

A．                B．                C．                D．

答案D

解析：由已知，得，即，所以．因为，所以.故选D．

4、已知均为锐角，则（   ）

A．        B．         C．          D．

答案C

解析：由题意得，因为，则，又均为锐角，所以，所以

 ，又均为锐角，所以，所以，故选C.

二、       填空题

5、已知,那么的值是         ．

答案

解析：利用和差角公式将，展开，，，可求得，，两式相除有，代入可求得其值为.

6、在中，角的对边分别为，若，边的中线长为1，则的最小值为            .

答案

解析：因为，

所以，

由正弦定理得，，

设中点为，则， ①

又由余弦定理得②，①②得，由①得，所以，故答案为.

三、解答题

7、已知函数.

（Ⅰ）若是某三角形的一个内角，且求角的大小；

（Ⅱ）当时，求的最小值及取得最小值时的集合.

解析：（Ⅰ）

.由即

所以或

解得或

因为是某三角形的一个内角, 所以，所以或.

（Ⅱ）由（1）知，

因为，  所以

所以，

所以当且仅当，即时，取得最小值，

即的最小值为，此时的取值集合为.

8、已知函数．设时取得最大值．

（1）求的最大值及的值；

（2）在中，内角的对边分别为，且，求的值．

解析

（1）由题意，

．

又，则．

故当，即时，．

（2）由（1）知．

由，即．又．

则，即．故．

9、设函数其中若且图象的两条对称轴间的最近距离是．

（1）求函数的解析式；

（2）若是的三个内角，且求的取值范围．

解析：（1）由条件，

又图象的两条对称轴间的最近距离是，所以周期为，，．  

（2）由，知

是的内角， 从而

由

即.

10、在中，三边所对应的角分别是，已知成等比数列.

（1）若，求角的值；

（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.

答案（1）；（2）.

解析：（1），

又∵成等比数列，得，由正弦定理有，

∵，∴，得，即，

由知，不是最大边，∴.

（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，

由余弦定理，得，又，

∴.当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，

由正弦定理，得.

∴的面积，

∵，∴，∴.

C组

一、       选择题

1、若，且，则等于（ ）

A．      B．     C．     D．

答案A

解析：由得，即，因为，所以，所以①，平方得②，①②联立再由解得，所以，故选A．

2、函数的一条对称轴方程为，则 （    ）

 A． B． C． D．

答案B

解析:由已知，函数的一条对称轴方程为，则，即，所以.

3、在中，已知，给出以下四个论断

①

②

③

④

其中正确的是（     ）

(A)①③      （B）②④   （C）①④   （D）②③

答案B

解析：由，因为

，所以，不一定为1，①错；又，所以也不一定等于，③错；而，④正确；因为，
，从而肯定有，所以②正确；综上可知选B.

4、若，且为第二象限角，则（    ）

A、       B、       C、       D、

答案B

解析:由得

所以，即；因为为第二象限角，所以

则.由两角和的正切公式有.

故正确答案为B.

二、       填空题

5、已知为第三象限的角，则               .

答案

解析:因为为第三象限角，所以，又所以，于是有

，所以.

6、已知，若，化简______________．

答案

解析：，，

又，则，所以

三、解答题

7、在中，内角所对的边分别为，已知，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

解析:（Ⅰ）在中，由及，可得，

又由，有,所以 ；

（Ⅱ）在中，由，可得，

所以，

所以 .

8、已知都是锐角，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）当取最大值时，求的值．

解析：（Ⅰ）

            .

   （Ⅱ）

当且仅当即时，

.

9、已知向量，

（Ⅰ）当时，求函数的值域；

（Ⅱ）不等式当时恒成立，求的取值范围.

解析：（Ⅰ），所以

即

当时，，，

所以当时，函数的值域是；

（Ⅱ）在时的最小值为1，所以函数，既

；由正弦函数图象易得不等式的解集为．

10、已知．，其中、为锐角，且．

（1）求的值；

（2）若，求及的值．

解析：（1）由，得，

得，得．

（2），．

，.

当时，．

当时，．

为锐角，.