【五年高考真题】最新五年数学高考真题分项汇编——专题08《平面解析几何（解答题）》（2023全国卷地区通用）

专题08 平面解析几何（解答题）

1．【2022年全国甲卷】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

2．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

3．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

(1)求l的斜率；

(2)若，求的面积．

4．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

5．【2021年甲卷文科】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．

（1）求C，的方程；

（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．

6．【2021年乙卷文科】已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

7．【2021年乙卷理科】已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

8．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.

9．【2021年新高考2卷】已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

10．【2020年新课标1卷理科】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

11．【2020年新课标2卷理科】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

12．【2020年新课标2卷文科】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．

（1）求C1的离心率；

（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．

13．【2020年新课标3卷理科】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．

14．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C：的离心率为，且过点．

（1）求的方程：

（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

15．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，

（1）求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.

16．【2019年新课标1卷理科】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

17．【2019年新课标1卷文科】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．

18．【2019年新课标2卷理科】已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：是直角三角形；

（ii）求面积的最大值.
19．【2019年新课标2卷文科】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．

（1）若为等边三角形，求C的离心率；

（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.

20．【2019年新课标3卷理科】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

21．【2018年新课标1卷理科】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

22．【2018年新课标1卷文科】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：．

23．【2018年新课标2卷理科】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

       （1）求的方程；

       （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

24．【2018年新课标3卷理科】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

25．【2018年新课标3卷文科】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．