【2023高考奠基】高中数学(人教A版2019)选择性必修第三册 第7章《随机变量及其分布》基础知识汇总

第7章 随机变量及其分布

§7.1 条件概率与全概率公式

1.条件概率：设,为两个随机事件，且 ，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.

2.乘法公式：对任意两个事件与，若，则.

3.全概率公式：设 是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件,有.

§7.2 离散型随机变量及其分布列

1.随机变量：对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.随机变量常用大写英文字母表示，例.

2.概率分布列：

（1）定义：设离散型随机变量可能取的不同值为，我们称取每一个值的概率：，为的概率分布列，简称分布列.常用表格表示：

（2）性质：① ②

3.两点分布：

若的分布列如表所示

我们称服从两点分布或分布.

§7.3 离散型随机变量的数字特征

1.离散型随机变量的均值

（1）定义：若离散型随机变量的分布列如表所示

则称则称为离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

（2）性质：.

2.离散型随机变量的方差

（1）定义：若离散型随机变量的分布列为

则称为离散型随机变量的方差，也记为，并称为随机变量的标准差.记为.它反映了离散型随机变量取值的离散程度.

越小，取值越集中; 越大，取值越分散.

（2）性质：

§7.4 二项分布与超几何分布

1.二项分布

我们只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验，重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为

随机变量的具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作.

2.超几何分布

在含有件次品的件产品中，任取件（不放回）,用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为,

其中,,,.

如果随机变量的分布列具有上式形式,那么称随机变量服从超几何分布.

§7.5 正态分布

1.正态分布定义：

若连续性随机变量的概率分布密度函数为，

则称随机变量服从正态分布，记为记作它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

当 时，称随机变量服从标准正态分布.

2.正态曲线的特点：

曲线是单峰的，它关于直线 对称；

曲线在处达到峰值；

当无限增大时，曲线无限接近轴；

当较小时，峰值高，正态曲线瘦高，表示随机变量的分布比较集中；

当较大时，峰值低，正态曲线矮胖；表示随机变量的分布比较分散.

3.正态分布的期望、方差

若，则.

4.原则

若，由此看到一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，在此区间外的概率大约只有0.0027，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.