【考点全掌握】人教版数学九年级上册-第1课时二次函数的定义与形式及其平移-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

第一课时——二次函数的概念与形式及其平移

知识点一：二次函数的概念：

1. 二次函数的概念：

一般地，形如                 的函数叫做二次函数。

其中：是自变量，是函数解析式的              ；是函数解析式           ；是函数解析式的           。

特别提示：也叫做二次函数的一般形式，判断一个函数是否是二次函数应先将函数化为一般形式。

2. 二次函数自变量的取值范围：

   一般情况下，二次函数的自变量取值范围是             。对实际问题，自变量的取

值范围还需使实际问题            。

【类型一：判断二次函数】

1．下列具有二次函数关系的是（　　）

A．正方形的周长y与边长x 

B．速度一定时，路程s与时间t 

C．正方形的面积y与边长x 

D．三角形的高一定时，面积y与底边长x

2．下列函数是二次函数的是（　　）

A．y＝﹣2x+3 B．y＝5x2+1 

C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y＝x3+2x2﹣1

3．下列函数中，属于二次函数的是（　　）

A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2 

C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣

【类型二：根据二次函数的定义求字母的值】

4．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　）

A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1

5．若函数y＝m +4是二次函数，则m的值为（　　）

A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1

6．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是（　　）

A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0

7．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（　　）

A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠1

8．若函数y＝（m2+m）是二次函数，那么m的值是（　　）

A．2 B．﹣1或3 C．3 D．－1±

知识点一：二次函数的三种形式：

1. 二次函数的一般式：

      二次函数的一般式为：                          。

2. 二次函数的顶点式：

   二次函数的顶点式为：                          。

   特别说明：是二次函数的对称轴，是二次函数的最值。函数顶点坐标为（h，k）

3. 二次函数的两点式：

   二次函数的两点式为：                          。

       特别说明：从两点式可以得到二次函数与x轴的交点坐标，分别是和。

【类型一：二次函数一般式与顶点式之间的转化】【提示：一元二次方程的配方法】

9．将二次函数y＝x2﹣4x+3化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，下列结果正确的是（　　）

A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1

10．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（　　）

A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2 

C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4

11．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）

A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 

C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25

12．用配方法将二次函数y＝x2﹣6x+11化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，其结果为　            　．

13．将y＝2x2﹣12x﹣12变为y＝a（x﹣m）2+n的形式，则m﹣n＝　    　．

14．若把二次函数y＝x2+6x+2化为y＝（x﹣h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k＝　    　．

15．二次函数y＝﹣4（1+2x）（x﹣3）的一般形式y＝ax2+bx+c是　             　．

知识点一：二次函数的平移：

1. 左右平移：

  平移规则：左右平移在           上进行加减，右       左       。

  将二次函数的图像右平移m个单位得到新函数的解析式为：

                      。

将二次函数的图像左平移m个单位得到新函数的解析式为：

                         。

将二次函数的图像右平移m个单位得到新函数的解析式为：

                         。

将二次函数的图像左平移m个单位得到新函数的解析式为：

                         。

2. 上下平移：

       平移规则：上下平移在                上加减，上       下       。

   将二次函数的图像上平移m个单位得到新函数的解析式为：

                    。

将二次函数的图像下平移m个单位得到新函数的解析式为：

                    。

将二次函数的图像上平移m个单位得到新函数的解析式为：

                    。

将二次函数的图像下平移m个单位得到新函数的解析式为：

                    。

【类型一：求平移后的函数解析式】

16．将二次函数图象y＝2x2向下平移3个单位长度，所得二次函数的解析式是（　　）

A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2

17．把二次函数y＝3x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为（　　）

A．y＝3（x﹣3）2+5 B．y＝3（x+3）2+5 

C．y＝3（x﹣3）2﹣5 D．y＝3（x+3）2﹣5

18．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）

A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2

19．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　）

A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3

20．将抛物线y＝﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　）

A．y＝﹣2（x+1）2﹣1 B．y＝﹣2（x﹣1）2+3 

C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y＝﹣2（x+1）2+3

【类型二：根据平移前后解析式求平移方法】

 21．将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，下列平移方法正确的是（　　）

A．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位 

B．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位 

C．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位 

D．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位

22．要得到抛物线y＝x2的图象，只需要将抛物线y＝（x+2）2﹣3的图象（　　）

A．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 

B．先向上平移3个单位，再向右平移2个单位 

C．先向下平移3个单位，再向左平移2个单位 

D．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

23．要将抛物线y＝x2平移后得到抛物线y＝x2+2x+3，下列平移方法正确的是（　　）

A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 

B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 

C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 

D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位

24．若抛物线y＝﹣7（x+4）2﹣1平移得到y＝﹣7x2，则必须（　　）

A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 

B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 

C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 

D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

一、选择题（10题）

1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）

A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t﹣1 D．y＝x2+

2．若y＝（m﹣1）是二次函数，则m的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2

3．已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　）

A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数

4．将二次函数y＝x2﹣6x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（　　）

A．y＝（x﹣6）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣9

5．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1配方成顶点式为（　　）

A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣2

6．将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（　　）

A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x+3）2

7．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为（　　）

A．y＝﹣2（x﹣1）2 B．y＝﹣2（x+3）2 

C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6 D．y＝﹣2（x+3）2﹣6

8．抛物线y＝x2+1经过平移得到抛物线y＝（x+1）2，平移的方法是（　　）

A．向左平移1个，再向下平移1个单位 

B．向右平移1个，再向下平移1个单位 

C．向左平移1个，再向上平移1个单位 

D．向右平移1个，再向上平移1个单位

9．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（　　）

A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+1）2+5 D．y＝（x﹣1）2+5

10．若二次函数y＝x2﹣m x+6配方后为y＝（x﹣2）2+k，则m，k的值分别为（　　）

A．0，6 B．0，2 C．4，6 D．4，2

二、填空题（6题）

11．在二次函数y＝﹣x2+1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为　   　．

12．若函数y＝（m2+m）是二次函数，则m＝　        　．

13．如果函数y＝（k﹣3）+k x+1是二次函数，则k的值是　    　．

14．若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝　          　．

15．将抛物线y＝x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是　  　．

16．将抛物线y＝x2+ax向上平移3个单位，再向右平移4个单位后经过点（5，2），则平移后的抛物线解析式为　               　．

三、解答题（4题）

17．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．

（1）若这个函数是一次函数，求m的值；

（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？

18．用配方法把下列函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式．

（1）y＝2x2﹣4x+1；                  （2）y＝﹣x2﹣x﹣．

19．在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝ax2+2bx+2b﹣a（a≠0）．

（1）当x＝﹣1时，求y的值．

（2）将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（﹣1，0），求b的值．

20．把二次函数y＝x2+bx+c的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），写出原抛物线相应的函数表达式．