【考点全掌握】人教版数学八年级上册-第2课时-与三角形有关的角-同步考点（知识清单+例题讲解+课后练习）

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第二课时——与三角形有关的角（答案卷）

知识点一：三角形的内角和定理：
1. 三角形的内角和定理：
三角形的三个内角之和等于 180° 。
2. 三角形内角和的证明：
证明思路：过三角形任意一个顶点作对边的平行线即可证明。
如图：过点A作PQ平行于BC。
∵PQ∥BC
∴∠B＝ ∠PAB ；∠C＝ ∠QAC 。
∵∠PAB＋∠QAC＋∠BAC＝ 180° 。
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝ 180° 。

【类型一：利用内角和计算判断三角形形状】
1．在△ABC中，∠A＝85°，∠B比∠A小20°，则△ABC是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断
【分析】由角的和差可求解∠B的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠C的度数，根据三角形的分类可求解．
【解答】解：∵∠A＝85°，∠B比∠A小20°，
∴∠B＝85°﹣20°＝65°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣85°﹣65°＝30°，
∴△ABC为锐角三角形，
故选：C．
2．若一个三角形的三个内角的度数的比为3：5：4，那么这个三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【分析】由三角形内角和定理结合已知条件，求出三角形各内角的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵三角形的三个内角的度数的比为3：5：4，且三个内角的和为180°，
∴这个三角形的三个内角的度数分别为：45°，75°，60°，
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：B．
3．满足条件2∠A＝2∠B＝∠C的△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【分析】利用已知条件金额三角形内角和定理求出三个内角的度数即可判断．
【解答】解：∵2∠A＝2∠B＝∠C的，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
【类型一：求图形角度】
4．如图△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B'处，若∠ADB′＝30°，则∠A＝　 　°．

【分析】根据折叠的性质可得∠CDB和∠ACD，再由三角形外角性质即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
由折叠性质可得：
∠ACD＝∠BCD＝45°，∠B′DC＝∠BDC，
∵∠ADB′＝30°，
∴∠BDC＝75°，
∴∠A+∠ACD＝∠BDC，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30．
5．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（　　）

A．97° B．117° C．63° D．153°
【分析】根据角平分线的定义可知∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，根据三角形的内角和定理可得∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），由∠A的度数可得∠ABC+∠ACB的度数，进一步即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝54°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣×126°＝117°，故选：B．

知识点二：直角三角形的性质与判定：
直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形。用表示直角三角形ABC。
1. 性质：
直角三角形的两个锐角 互余 。
数学语言：∵△ABC是直角三角形，且∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝ 90° 。
2. 判定：
有两个角 互余 的三角形是直角三角形。
数学语言：∵∠A＋∠B＝90°
∴△ABC是 直角 三角形。

【类型一：角度计算】
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝35°，则∠B＝（　　）

A．45° B．55° C．65° D．145°
【分析】根据直角三角形两锐角互余可计算求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A+∠B＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°，
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　）

A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2
【分析】A、B根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断；
C、根据同角的余角来找等量关系；
D、分∠A＝∠B和∠A≠∠B两种情况来讨论．
【解答】解：A、在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，所以∠A与∠1互余，正确；
B、在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，所以∠B与∠2互余，正确；
C、∵∠A+∠1＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠A＝∠2，正确；
D、当∠A＝∠B时，AC＝BC，所以CD既是∠C的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以∠1＝∠2，正确；当∠A≠∠B时，∠1≠∠2，错误；
故选：D．

8．若直角三角形的两锐角之差为34°，则较大一个锐角的度数是 　 　度．
【分析】根据直角三角形的性质、结合题意列出方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：设直角三角形中，较大的锐角为∠A，较小的锐角为∠B，
由题意得：，
解得：，
则较大一个锐角的度数是62°，
故答案为：62．
9．直角三角形中，两个锐角度数之比为1：5，则较小的锐角度数为 　 　．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设较小的一个锐角为x，则另一个锐角为5x，
则x+5x＝90°，
解得：x＝15°，
则较小的一个锐角为15°，
故答案为：15°．
10．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，∠BAD＝40°，∠BEC＝80°，则∠DAC的大小是（　　）

A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】根据三角形的内角和可得∠ABC，再根据角平分线的性质可得∠ABE，再根据三角形外角的性质可得∠DAC．
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝40°，
∴∠ABD＝50°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝25°，
∵∠BEC＝80°，
∴∠ABE+∠BAE＝80°，
∴∠DAC＝80°﹣40°﹣25°＝15°，
故选：D．
11．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（　　）

A．10° B．12° C．14° D．16°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠EAC，求出∠DAC，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠B＝48°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝32°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝68°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°，
故选：A．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠C＝46°，∠DAE＝10°，∠B的度数为（　　）

A．66° B．68° C．50° D．60°
【分析】分别求出∠DAC，∠EAC，利用角平分线的性质定理求出∠BAC，再利用三角形内角和定理求出∠B即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝46°
∴∠CAD＝90°﹣46°＝44°，
∵∠DAE＝10°，
∴∠CAE＝34°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC＝68°，
∴∠B＝180°﹣68°﹣46°＝66°．
故选：A．
13．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝　 　．

【分析】先根据∠FCD＝60°及三角形内角与外角的性质及∠A：∠B＝1：2可求出∠A的度数，再由DE⊥AB及三角形内角和定理解答可求出∠AFE的度数，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵∠FCD＝75°，
∴∠A+∠B＝75°，
∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A＝×75°＝25°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CFD＝∠AFE＝65°，
∵∠FCD＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．
故答案为：40°
【类型一：直角三角形的判定】
14．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
15．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180，
解得：x＝18°，
∴∠5＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．

知识点三：三角形的外角及其性质：
1. 外角的定义：如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。
特别提示：三角形一个顶点只算一个外角。
2. 外角性质：
（1） 三角形的一个外角等于它 不相邻 的两个内角之和。
即∠1＝ ∠2＋∠3 。
（2） 三角形的外角 大于 它不相邻的任意一个内角。
即∠1 ＞ ∠2，∠1 ＞ ∠3。
（3） 三角形的外角与它相邻的内角 互补 。
即：∠1＋∠4＝ 180° 。
（4） 三角形的外角和：三角形的三个外角之和等于 360° 。

【类型一：内外角关系求角度】
16．如图，x＝　 　，y＝　 　．

【分析】根据三角形的外角的性质列出方程，解方程求出x的值，根据邻补角的性质计算，求出y的值．
【解答】解：根据三角形的外角的性质得，x+70＝x+x+10，
解得，x＝60，
则x+70＝130，
180°﹣130°＝50°，
则x＝60，y＝50，
故答案为：60；50．
17．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（　　）

A．27° B．42° C．45° D．70°
【分析】由平行线的性质可得∠ABE＝∠C＝27°，再由三角形外角性质可得∠AEC＝∠A+∠ABE即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，
∴∠ABE＝∠C＝27°，
∵∠A＝15°，
∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，
故选：B．
18．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（　　）

A．20° B．30° C．50° D．70°
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．

19．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为（　　）

A．60° B．65° C．75° D．85°
【分析】根据三角形的外角性质求解即可．
【解答】解：根据外角的性质，得∠α＝30°+45°＝75°，
故选：C．
20．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）

A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】设AE交BC于G，交CD于F，根据三角形的外角性质求出∠AFC，再根据对顶角的性质可求得∠DFE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠D+∠E即可．
【解答】解：如图，

∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，
∵∠C＝30°，
∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EFD＝∠AFC＝70°，
∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，
∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
21．将一副三角板如图所示的位置放在直尺上，则∠1的度数是（　　）

A．115° B．105° C．110° D．95°
【分析】由题意可求得∠BAD＝75°，利用邻补角可求得∠DAF＝105°，再由平行线的性质即可求∠1的度数．
【解答】解：如图，

由题意得：∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝75°，
∴∠DAF＝180°﹣∠BAD＝105°，
∵EG∥BF，
∴∠1＝∠DAF＝105°．
故选：B．
22．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F为多少度（　　）

A．360° B．720° C．540° D．240°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根据邻补角求出∠EOF，然后求解即可．
【解答】解：如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，

∵∠BOF＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
故选：D．
【类型二：角平分线与内外角】
23．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC＝　 　度．

【分析】根据三角形的内角和是180°，得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°；
又O为三条角平分线的交点，得：∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝×100°＝50°；
再根据三角形的内角和定理，得：∠BOC＝130°．
【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°．
又∵O为三条角平分线的交点
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝×100°＝50°．
在三角形OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°．
24．如图，△ABC中，若∠BOC＝126°，O为△ABC两条内角平分线的交点，则∠A＝　 　度．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵△BOC中，∠BOC＝126°，
∴∠1+∠2＝180°﹣126°＝54°．
∵BO和CO是△ABC的角平分线，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝2×54°＝108°，
在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB＝108°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣108°＝72°．
故答案为：72．
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 　 　．

【分析】根据三角形的内角和是180°，可知∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，由BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，可知∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，即∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和是180°，得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，从而求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，
故答案为：120°．


26．如图，△ABC中，∠A＝56°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于点D，则∠D的度数（　　）

A．28° B．56° C．30° D．26°
【分析】根据角平分线的性质和三角形外角的性质进行计算即可．
【解答】解：设∠B＝2α，
根据外角性质可知：∠ACE＝∠A+∠ABC＝56°+2α，
∵BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，
∴∠DBC＝，．
根据外角性质：∠DCE＝∠DBC+∠D，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝28°+α﹣α＝28°．
故选：A．
27．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝　 　．

【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°．
故答案为：90°．
28．如图，在△ABC中，∠C＝62°，△ABC两个外角的角平分线相交于G，则∠G的度数为 　 　．

【分析】利用三角形的内角和以及外角和性质即可进行解答即可．
【解答】解：∵∠C＝62°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣62°＝118°，
∴∠DAB+∠EBA＝360°﹣∠BAC﹣∠ABC＝242°，
∵AG、BG分别平分∠DAB，∠EAB，
∴∠BAG+∠ABG＝（∠DAB+∠ABE）＝×242°＝121°，
∴∠G＝180°﹣∠BAG﹣∠ABG＝180°﹣121°＝59°，
故答案为：59°．
29．如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°，则∠A的大小为（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°
【分析】利用三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】证明：∵BP、CP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PCB＝∠ECB，∠PBC＝∠DBC，
∵∠ECB＝∠A+∠ABC，∠DBC＝∠A+∠ACB，
∴∠PCB+∠PBC＝（∠A+∠ABC+∠A+∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠A＝60°，
故选：B．
30．在△ABC中，∠A＝70°．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC＝　 　 ；
（2）如图2，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O'，则∠BO'C＝　 ；
（3）探究如图3，△ABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD的平分线相交于点O，设∠A＝n°，则∠BOC的度数是 　 　．（用n的代数式表示）

【分析】（1）根据三角形内角和定理，由∠A＝70°，得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．根据角平分线的定义，由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，得∠OBC＝，∠OCB＝，那么∠OBC+∠OCB＝＝＝55°，从而推断出∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
（2）根据三角形外角的性质，得∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，故∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝250°．根据角平分线的定义，由BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，得∠O′BC＝，∠O′CB＝，故∠O′BC+∠O′CB＝＝＝125°，那么∠BO′C＝180°﹣（∠O′BC+∠O′CB）＝55°．
（3）根据角平分线的定义，由BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，得∠ABC＝2∠OBC，∠ACE＝2∠OCE．根据三角形外角的性质，得∠A＝∠ACE﹣∠ABC，故∠A＝2∠OCE﹣2∠OBC＝2（∠OCE﹣∠OBC）＝2∠BOC，那么∠BOC＝＝．
【解答】解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝，∠OCB＝．
∴∠OBC+∠OCB＝＝＝55°．
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
故答案为：125°．
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+70°＝250°．
∵BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，
∴∠O′BC＝，∠O′CB＝．
∴∠O′BC+∠O′CB＝＝＝125°．
∠BO′C＝180°﹣（∠O′BC+∠O′CB）＝180°﹣125°＝55°．
故答案为：55°．
（3）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACE＝2∠OCE．
∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∴∠A＝2∠OCE﹣2∠OBC＝2（∠OCE﹣∠OBC）＝2∠BOC．
∴∠BOC＝＝．
故答案为：．











一、选择题（10题）
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，直线DE经过点A，∠DAB＝55°，则∠EAC的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】根据三角形内角和可以先求出∠BAC的度数，再根据平角的定义，可知∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，从而可以求得∠EAC的度数．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵∠DAB＝55°，∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠EAC＝180°﹣∠DAB﹣∠BAC＝180°﹣55°﹣60°＝65°，
故选：C．
2．若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】设三个内角的度数为2x，3x，5x，根据三角形的内角和定理列方程，解出三个内角的度数即可进行判断．
【解答】解：设三个内角的度数为2x，3x，5x，
根据三角形的内角和定理，可得2x+3x+5x＝180°，
解得x＝18°，
∴三个内角的度数为36°，54°，90°，
故三角形是直角三角形，
故选：C．
3．如图，直线AB∥CD，如果∠EFB＝31°，∠END＝70°，那么∠E的度数是（　　）

A．31° B．40° C．39° D．70°
【分析】由平行线的性质可得∠EMB＝∠END＝70°，再利用三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠EMB＝∠END＝70°，
∵∠EFB＝31°，∠EMB＝∠E+∠EFB，
∴∠E＝70°﹣31°＝39°，
故选：C．
4．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（　　）

A．56° B．34° C．36° D．24°
【分析】利用平行线的性质可得∠1＝∠CDE，再利用三角形外角和定理可得∠A，再根据三角形内角和定理可求得∠B．
【解答】解：如图，

∵a∥b，∠1＝58°，
∴∠CDE＝∠1＝58°，
∵∠CDE＝∠2+∠A，∠2＝24°，
∴∠A＝∠CDE﹣∠2＝34°，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣34°＝56°，
故选：A．
5．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】利用三角形的内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，在△ADE中，
∵∠A+∠1+∠2＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2），
在△BMN中，
∵∠B+∠3+∠4＝180°，
∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4），
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°，
∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，
∴∠5＝220°﹣180°＝40°，
故选：B．



6．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　）

A．180° B．90° C．270° D．240°
【分析】连接CD，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，再由三角形的内角和定理，即可得出五角星的五个角之和．
【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，
由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，
即五角星的五个内角之和为180°．
故选：A．

7．如图，把一副直角三角板如图那样摆放在平行直线AB，CD之间，∠EFG＝30°，∠MNP＝45°．则：①EG∥PM；②∠AEG＝45°；③∠BEF＝75°；④∠CMP＝∠EFN．其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由直角板可得∠EGF＝∠MPN＝90°，可得∠GPM＝90°，即可判断①，过点F作FQ∥AB，由∠EFG＝30°可得∠EFN＝150°，由平行线的性质可得∠NFQ＝∠MNP＝45°，可得∠EFQ＝105°，再由平行线的性质可得∠BEF＝75°，即可判断③，由③即可判断②，利用∠PMN可得∠CMP，即可判断④．
【解答】解：如图，过点F作FQ∥AB，

∵∠EGF＝∠MPN＝90°，
∴∠GPM＝90°，
∴EG∥PM，
∴①正确；
∵AB∥CD，
∴FQ∥CD，
∵∠EFG＝30°，∠MNP＝45°，
∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°，∠NFQ＝∠MNP＝45°，
∴∠EFQ＝∠EFN﹣∠NFQ＝105°，
∵FQ∥AB，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFQ＝75°，
∴③正确；
∵∠FEG＝60°，
∴∠AEG＝180°﹣∠BEF﹣∠FEG＝45°，
∴②正确；
∵∠MNP＝45°，
∴∠PMN＝45°，
∴∠CMP＝180°﹣∠PMN＝135°，
∴∠CMP≠∠EFN，
∴④错误；
综上，正确的有①②③，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO＝90°、∠AOB＝90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AOB＝90°．
∵AD平分∠CAO，
∴∠DAO＝∠OAC＝（180°﹣∠OAB）．
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABD＝∠ABO，
∴∠D＝180°﹣∠DAO﹣∠OAB﹣∠ABD＝180°﹣（180°﹣∠OAB）﹣∠OAB﹣∠ABO＝90°﹣（∠OAB+∠ABO）＝45°．
故选：B．
9．如图，P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点，∠A＝52°，则∠BPC的度数为（　　）

A．128° B．104° C．138° D．116°
【分析】接PA，根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PC＝PB，利用等腰三角形的性质得∠PCA＝∠PAC，∠PBA＝∠PAB，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和可求得．
【解答】解：连接PA并延长，如图：
∵P为△ABC的边AB、AC的中垂线的交点，
∴PA＝PC＝PB，
∴∠PCA＝∠PAC，∠PBA＝∠PAB
∴∠BPC＝2×52°＝104°．
故选：B．

10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，∠1＝45°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】连接AA′，根据三角形内角和求出∠BAC，再根据∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，得出∠1+∠2＝2∠BAC，从而得出答案．
【解答】解：如图，连接AA′，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2∠BAC＝80°，
∵∠1＝45°，
∴∠2＝35°．
故选：B．

二、填空题（6题）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，将△ABC沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　 　．

【分析】首先利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和得到∠1和∠2的关系，然后利用折叠的结论即可求解．
【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠AEF，又∠AEF＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠A+∠2+∠D，
而根据折叠得∠A＝∠D＝30°，
∴∠1＝∠A+∠2+∠D＝60°+∠2，
∴∠1﹣∠2＝60°．
故答案为：60°．

12．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝64°，AD、AE分别是△ABC的高与角平分线，则∠DAE＝　 　°．

【分析】由三角形内角和定理可求∠BAC，再根据AE是△ABC的角平分线可求出∠EAC，根据AD是△ABC的高求出∠DAC，然后即可求出∠DAE．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝74°．
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC＝．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°．
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝26°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝37°﹣26°＝11°．
故答案为：11．
13．△ABC的内角关系如图所示，则∠1＝　 　．

【分析】由三角形的内角和可得关于x的方程，从而可求得各角的度数，从而可求∠1的度数．
【解答】解：由题意得：3x+2x+x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠1＝180°﹣∠ACB＝150°．
故答案为：150°．
14．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 　 　．

【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，
∴∠1+∠3＝（∠BAC+∠ABC）＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．
故答案为：130°．
15．如图，∠B＝∠C，DE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若∠ADE＝145°，则∠FED＝　 　．

【分析】根据邻补角的概念求出∠EDC，根据直角三角形的性质求出∠C，进而求出∠B，根据直角三角形的性质、平角的概念计算即可．
【解答】解：∵∠ADE＝145°，
∴∠EDC＝180°﹣145°＝35°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣35°＝55°，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝55°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣55°＝35°，
∴∠FED＝180°﹣35°﹣90°＝55°，
故答案为：55°．
16．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 　 　．

【分析】利用三角形内角和定理和直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵AD平分∠CAB，EB平分ABC，
∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA，
∴∠FAB+∠FBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
三、解答题（4题）
17．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数．

【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠DAE，由∠1+∠2＝180°可得∠DAE+∠2＝180°，即可证明；
（2）由（1）可知∠DAE＝40°，再由平行线的性质可得∠1＝40°，由角平分线的定义可得∠ADC＝80°，再由三角形外角性质即可求出∠B．
【解答】（1）证明：∵AB∥DG，
∴∠1＝∠DAE，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠DAE+∠2＝180°，
∴AD∥EF；
（2）解：∵AD∥EF，∠2＝140°，
∴∠DAE＝180°﹣∠2＝180°﹣140°＝40°，
∵AB∥DG，
∴∠1＝∠DAE＝40°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADC＝2∠1＝2×40°＝80°，
∵∠B+∠BAD＝∠ADC，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°．
18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）试说明DE∥AC；
（2）若∠BAC＝100°，∠B＝36°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，利用等量代换得到∠CAD＝∠EDA，然后根据平行线的判定方法可判断DE∥AC；
（2）先根据三角形内角和计算出∠C＝44°，再利用平行线的性质得到∠EDF＝∠C＝44°，然后利用互余计算∠DEF的度数．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠C＝180°﹣100°﹣36°＝44°，
∵DE∥AC，
∴∠EDF＝∠C＝44°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣44°＝46°．
19．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β）．
（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
（2）试用α、β的代数式表示∠DCE的度数 　 　．

【分析】（1）由三角形的内角和定理可求得∠ACB＝70°，再由角平分线的定义得∠ACE＝35°，从而可求得∠ACD＝20°，即可求∠DCE的度数；
（2）仿照（1）的过程进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴．
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝20°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝35°﹣20°＝15°．
（2）由题意得：∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β），
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝90°﹣（α+β）．
∵CD是高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝90°﹣（α+β）﹣（90°﹣α）＝．
故答案为：．
20．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝　 　°；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝　 　（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝180°﹣90°+∠A，
＝90°+33°＝123°，
故答案为：123°；
（2）∵CE和BE分别是∠ACB和∠ABD的角平分线，
∴∠1＝∠ACB，∠2＝∠ABD，
又∵∠ABD是△ABC的一外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，
∴∠2＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，
∵∠2是△BEC的一外角，
∴∠BEC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A＝；
（3）∠QBC＝（∠A+∠ACB），∠QCB＝（∠A+∠ABC），
∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，
＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BQC＝90°﹣A．