北师大版八年级上册2 平面直角坐标系巩固练习

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3.2 平面直角坐标系 课堂知识梳理 1、平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限 点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限 点P(x,y)在第四象限 （2）、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 （4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 (5)、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等于 （2）点P(x,y)到y轴的距离等于 （3）点P(x,y)到原点的距离等于 课后培优练级练 培优第一阶——基础过关练 1．如图，点A的坐标是（       ）． A． B．（2，4） C．（4，2） D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据点A在第一象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，即可得出点的坐标． 【详解】 解：如图所示：点A的坐标是：（4，2）． 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标性质是解题关键． 2．点A的坐标（x，y）满足，则点A的位置在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 根据非负数的性质先求解x，y的值，再根据A的坐标可判断A所在的象限． 【详解】 解：∵， ∴且 解得： ∴A在第三象限． 故选：C 【点睛】 本题考查的是非负数的性质，根据点的坐标判断点所在的象限，掌握象限内点的坐标符号是解本题的关键． 3．点在第二象限，若点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，则点P的坐标为（       ） A．（－2，5） B．（－5，2） C．（2，－5） D．（5，－2） 【答案】A 【解析】 【分析】 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】 解：∵点在第二象限内，点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P的坐标为． 故选：A． 【点睛】 本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 4．如图，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A．（4，﹣1） B．（﹣1，﹣4） C．（2，3） D．（﹣2，2） 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断出小手盖住的点在第二象限，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】 解：由图可知，小手盖住的点在第二象限， （4，﹣1），（﹣1，﹣4），（2，3），（﹣2，2）中只有（﹣2，2）在第二象限． 故选D． 【点睛】 此题重点考查学生对平面直角坐标系的象限的理解，掌握平面直角坐标系每个象限的特点是解题的关键. 5．如图所示，若在某棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点（1，﹣2），“象”位于点（3，﹣2），则“炮”位于点（　　）． A．（1，3） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣2，2） 【答案】B 【解析】 【分析】 以“将”位于点（1，﹣2）为基准点，再根据““右加左减，上加下减”来确定坐标即可． 【详解】 解：以“将”位于点（1，﹣2）为基准点，则“炮”位于点（1﹣3，﹣2+3），即为（﹣2，1）． 故选B． 【点睛】 本题考查了类比点的坐标及学生解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标． 6．在平面直角坐标系中，如果过点A 和B的直线平行于x轴，且AB＝4，则点B的坐标为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平行于x轴的直线的纵坐标相同，设点B的坐标为，利用AB＝4得到，求出a即可求解． 【详解】 解：∵过点A的直线平行于x轴， ∴点A和点B的纵坐标相等， ∴设点B的坐标为． ∵AB＝4， ∴， 解得，， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行于坐标轴的两点的横纵坐标特点：平行于横轴时纵坐标相等，平行于纵轴时横坐标相等． 7．下列语句正确的是（       ）． A．在平面直角坐标系中，与表示两个不同的点 B．平行于轴的直线上所有点的横坐标都相同 C．若点在轴上，则 D．点到轴的距离为3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点逐一判断即可得. 【详解】 A.在平面直角坐标系中， (−3，5) 与 (5，−3) 表示两个不同的点，此选项正确，符合题意； B.平行于 x 轴的直线上所有点的纵坐标都相同，此选项错误，不符合题意； C.若点 P(a，b) 在 y 轴上，则a=0 ，此选项错误，不符合题意； D.点 P(−3，4) 到 x 轴的距离为4，此选项错误，不符合题意； 故选：A. 【点睛】 本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点. 8．若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】 根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵点P（m+1，m）在第四象限， ∴，解得：， ∴， ∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限． 故答案为：二 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键． 9．若已知点P（a﹣2，2a＋3）在y轴上，则点P到原点的距离是______． 【答案】7 【解析】 【分析】 让横坐标为0求得a的值，进而根据到原点的距离为点的纵坐标的绝对值求解即可． 【详解】 解：∵点P（a﹣2，2a+3）在y轴上， ∴a﹣2＝0，a＝2， ∴点P的坐标为（0，7）， ∴点P到原点的距离是7， 故答案为7． 【点睛】 考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：在y轴上的点的横坐标为0；在y轴上的点到原点的距离为点的纵坐标的绝对值． 10．已知经过点和点的直线垂直于轴，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】 由垂直于x轴的直线上所有的点的横坐标相同，从而可得答案． 【详解】 解：∵经过点和点的直线垂直于轴， ∴ 故答案为6 【点睛】 本题考查的是平面直角坐标系内垂直于x轴的直线上点的坐标特点，掌握“垂直于x轴的直线上所有点的横坐标相同”是解本题的关键． 11．已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则线段PM的长_______． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据题意可得，点P与点M的横坐标值相等，可得2x=x- 1，即可求出x的值，再根据线段长度计算方法进行计算即可得出答案． 【详解】 解：根据题意可得， 2x＝x﹣1， 解得：x＝﹣1， ∴PM＝|x+3﹣2x|＝|﹣x+3|＝|﹣（﹣1）+3|＝4． 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形的性质进行求解是解决本题的关键． 12．点A（3m﹣1，2m）位于第一、三象限的角平分线上，则m＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征得到得3m﹣1＝2m，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】 解：∵点A（3m﹣1，2m）在第一、三象限的角平分线上， ∴3m﹣1＝2m， 解得：m＝1． 故答案为：1 【点睛】 此题考查象限及点的坐标的有关性质，解题关键在于掌握其定义列出方程． 13．已知点和点，若点在坐标轴上，且的面积为6，则点的坐标是_____ 【答案】（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3） 【解析】 【分析】 分点C在x轴上，在y轴上两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：当点C在x轴上时， ∵△ABC的面积为6， ∴， ∴AC=4， ∵点A的坐标为（2，0）， ∴点C的坐标为（-2，0）或（6，0）； 当点C在y轴上时， ∵△ABC的面积为6， ∴， ∴BC=6， ∵点A的坐标为（0，3）， ∴点C的坐标为（0，9）或（0，-3）； 综上所述，点C的坐标为（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3）， 故答案为（6，0）或（－2，0）或（0，9）或（0，－3）． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值． (2)若点M在二、四象限的角平分线上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）若点在y轴上，则M的横坐标为0，即m-1=0； （2）若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M的横纵坐标互为相反数，即m-1=-2m-3． (1) 解：∵在y轴上， ∴， 解得：． (2) 解：∵点M在二、四象限的角平分线上， ∴， ∴， 所以． 【点睛】 本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握以上知识点是解题的关键． 15．在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A的纵坐标比横坐标小2． (2)点A到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1)点A的坐标为； (2)A的坐标为或 【解析】 【分析】 （1）根据点A的纵坐标比横坐标小2，列出方程解方程即可求解； （2）根据点A到两坐标轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等或互为相反数，列出方程解方程即可求解． (1) ，解得， ，， ∴点A的坐标为． (2) 依题意，得或， 解得或， 将代入A中，点A为， 将代入A中，点A为． 综上，点A的坐标为或 【点睛】 本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键． 16．已知平面直角坐标系内有4个点：A(0，2)，B(-2，0)，C(1，-1)，D(3，1)． (1)在平面直角坐标系中描出这4个点； (2)顺次连接A、B、C、D组成四边形ABCD，请用两种方法求出四边形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【解析】 【分析】 （1）根据平面直角坐标系描出点的坐标； （2）根据，求面积即可求解． (1) 解：如图所示：点A、B、C、D为所描的点． (2) 方法一：如图所示，作长方形EFGH： 则有 方法二：如图所示，将四边形ABCD分割为△ABP、△BCQ、△CMD、 △AND和正方形PQMN， 则有 ． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上． (1)建立适当的平面直角坐标系，使点A的坐标为(1，2)，点C的坐标为(4，3)，并写出B点的坐标； (2)在图中作出关于y轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【解析】 【分析】 （1）根据题意建立平面直角坐标系，即可写出点B的坐标； （2）找到关于轴的对称点，顺次连接，则即为所求的三角形； （3）根据长方形减去三个三角形即可求解． (1) 建立如下平面直角坐标系，则点的坐标为 (2) 找到关于轴的对称点，顺次连接，则即为所求的三角形； (3) 的面积 ． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，轴对称，数形结合是解题的关键． 培优第二阶——拓展培优练 18．列说法正确的是（　　） A．点（1，﹣a2）在第四象限 B．若ab＝0，则P（a，b）在坐标原点 C．点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（﹣3，2） D．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则点B的坐标为（4，﹣2） 【答案】C 【解析】 【分析】 应用坐标与图形性质进行判定即可得出答案． 【详解】 解：A．因为当a＝0时，点（1，﹣a2）在x轴上，所以A选项说法不一定正确，故A选项不符合题意； B．因为当a≠0，b＝0，或a＝0，b≠0时，ab＝0，则P（a，b）在x轴或y轴上，不一定在坐标原点，所以B选项说法不一定正确，故B选项不符合题意； C．因为点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（﹣3，2），所以C选项说法正确，故C选项符合题意； D．因为在平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣2），且AB平行于x轴，AB＝5，则点B的坐标为（4，﹣2）或（﹣6，﹣2），所以D选项说法正确，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质进行求解是解决本题的关键． 19．已知为平面内任意整点（横纵坐标均为整数），且满足，则满足条件的P点有（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解析】 【分析】 用n表示m，分n=0和n≠0进行讨论即可求出满足条件的P点个数． 【详解】 解：, , , , 当时，，符合题意， 当时，分子分母同时除以n可得：， ∵m是整数， ∴是4的因数， 当，解得 n=-2； 当，解得 n=-4； 当，解得 n=4； 当，解得 n=-1； 当，解得 n=- ，不符合n是整数； 当，解得 n=- ，不符合n是整数； ∴满足条件的P点有5个 故选D． 【点睛】 本题考查了整点，用一个字母表示另一个字母，分类讨论是解答本题的关键． 20．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到（1，0），而后它接着按图所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在2022分钟后，这个粒子所处位置为（          ） A．（3，44） B．（2，44） C．（44，3） D．（44，2） 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意依次写出第一象限角平分线上整数点的坐标及对应的运动分钟数，通过分析发现，点（n，n），运动时间n（n+1）分钟，n为奇数，运动方向向左，n为偶数，运动方向向下，找到规律后，将2017写成44×45+37，可以看作点（44，44）向下运动37个单位长度，进而求出答案． 【详解】 解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟， （1，1）表示粒子运动了2=1×2（分钟），将向左运动， （2，2）表示粒子运动了6=2×3（分钟），将向下运动， （3，3）表示粒子运动了12=3×4（分钟），将向左运动， …， 于是会出现： （44，44）点粒子运动了44×45=1980（分钟），此时粒子将会向下运动， ∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022-1980=42个单位长度， ∴粒子的位置为（44，2）， 故选：D． 【点睛】 本题考查了点的坐标的规律变化，解决此类问题的关键是找到特殊点与变化序号之间的关系． 21．已知当m，n都是实数，且满足2m﹣n＝8时，称P（m﹣1，）为“和谐点”．若点A（a，2a﹣1）是“和谐点”，则点A在第____象限． 【答案】三 【解析】 【分析】 先设将“和谐点”的定义进行改写，再根据“和谐点”的定义求出的值，由此即可得． 【详解】 解：设， 则， ， 当时，， 因此，“和谐点”的定义可改写为：已知当都是实数，且满足时，称为“和谐点”． 点是“和谐点”， ， 解得， 则点的坐标为，位于第三象限， 故答案为：三． 【点睛】 本题考查了点坐标，正确将“和谐点”的定义进行改写是解题关键． 22．如图所示，A(－4，0)，B(6，0)，C(2，4)，D(－3，2)． (1)求四边形ABCD的面积； (2)在y轴上找一点P，使△APB的面积等于四边形的一半，求P点坐标． 【答案】(1)24；(2)P(0，2.4)或(0，－2.4)． 【解析】 【分析】 （1）分别过C、D两点作x轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形求面积和； （2）设△APB的AB边上高为h，根据S△APB=×S四边形ABCD，列方程求h，再根据所求P点可能在y轴正半轴或负半轴，分别写出P点的坐标． 【详解】 （1）分别过C、D两点作x轴的垂线，垂足分别为E、F， 则S四边形ABCD=S△ADF+S梯形CDFE+S△BCE =×1×2+×（2+4）×5+×4×4=24； （2）设△APB的AB边上高为h， 则由S△APB=×S四边形ABCD，得 ×10×h=×24 解得h=2.4 又∵P点在y轴上， ∴P（0，2.4）或（0，-2.4）． 【点睛】 本题考查了根据点的坐标求不规则图形面积的一般方法，即割补法． 23．已知：在下列平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点3个单位长度；点C在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度；点B坐标， (1)在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三个点，画出． (2)求的面积： (3)已知点P在x轴上，以A，C，P为顶点的三角形面积为3，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)P点坐标为或 【解析】 【分析】 （1）根据题意求出点A、B、C的坐标，然后在平面直角坐标系中描点，连线即可； （2）利用割补法求三角形面积； （3）先设设P点的坐标（m，0），根据以A，C，P为顶点的三角形面积为3，列方程S△APC=，解方程即可． (1) 解：根据题意点A（0，3），点B（2，-1），点C（4，0）， 在平面直角坐标系中描点点A（0，3），点B（2，-1），点C（4，0），顺次连结， 如图三角形ABC为所求； (2) 将△ABC补成正方形ADEF，边长为4， ∴S△AFB=；S△ADC=，S△BEC=， ∴S△ABC=S正方形ADEF-S△AFB-S△ADC-S△BEC=16-4-6-1=5； (3) ∵点P在x轴上，设P点的坐标（m，0）， ∵以A，C，P为顶点的三角形面积为3， ∴S△APC=， ∴， ∴， 当时， ∴m=2， 当时， ∴m=6， ∴点P（2，0）或（6，0）． 【点睛】 本题考查图形与坐标，平面直角坐标系中作图，割补法求三角形面积，一元一次方程，掌握图形与坐标，平面直角坐标系中作图，割补法求三角形面积，解一元一次方程是解题关键． 24．在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下的定义：点的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）称为P，Q两点的“近距”，记为．即：若，则；若，则 (1)请你直接写出的“近距”______﹔ (2)在条件（1）下，将线段AB向右平移4个单位至线段CD，其中点A，B分别对应点C，D．若在坐标轴上存在点E，使，请求出点E的坐标： 【答案】(1)2 (2)点E坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，） 【解析】 【分析】 （1）根据P，Q两点的“近距”的定义求解即可； （2）分两种情况：当点E在x轴上时，设，则，可得，当点E在y轴上时，设，则，可得，求出m，n的值即可． (1) ∵，， 又∵， ∴， 故答案为：2； (2) 如图所示： ∵点D（3，4），， 当点E在x轴上时，设，， ∴， ∴或， 当点E在y轴上时，设，， ∴， ∴或， ∴点E坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）． 【点睛】 本题考查几何变换综合题，涉及到平移变换，P，Q两点的“近距”的定义等知识，解题的关键是正确解读题意，学会利用分类讨论思想解决问题． 培优第三阶——中考沙场点兵 25.（2022·浙江金华·中考真题）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，下列各地点中，离原点最近的是（       ） A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校 【答案】A 【解析】 【分析】 根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系，利用勾股定理求出各点到原点的距离，由此得到答案． 【详解】 解：根据学校和体育场的坐标建立直角坐标系， 超市到原点的距离为， 医院到原点的距离为， 学校到原点的距离为， 体育场到原点的距离为， 故选：A． 【点睛】 此题考查了根据点坐标确定原点，勾股定理，正确理解点坐标得到原点的位置及正确展望勾股定理的计算是解题的关键． 26．（2021·海南·中考真题）如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据点的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案． 【详解】 解：由点的坐标建立平面直角坐标系如下： 则点的坐标为， 故选：D． 【点睛】 本题考查了求点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 27．（2021·山西·中考真题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据A，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可． 【详解】 解：∵，两点的坐标分别为，， ∴B点向右移动3位即为原点的位置， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标． 28．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】 由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标． 【详解】 ∵轴 ∴设点B的坐标为(-2，y) ∵AB=9 ∴ 解得：y=8或y=－10 ∴点B的坐标为或 故答案为：或 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．