初中数学北师大版七年级上册第二章 有理数及其运算2.8 有理数的除法课后测评

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专题2.8 有理数的除法 知识梳理 知识点 有理数的除法 有理数乘除法的关系：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 注：（1）0不能作除数 （2）0 除以任何非0的数都得0 课后培优练级练 培优第一阶——基础过关练 1．在□3的“□”中填入一个运算符号，使其运算结果最小，则“□”中填的是（       ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】C 【解析】 【分析】 把各运算符号放入“□”中，计算得到结果，即可作出判断． 【详解】 解：-2+3=1，-2-3=-5，-2×3=-6，-2÷3=， ∵-6＜-5＜-＜1， ∴在□3的“□”中填入一个运算符号“×”使运算结果最小，故C正确． 故选：C． 【点睛】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除运算法则，是题的关键． 2．已知有理数a，b，c满足，则的值不可能为（       ） A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据有理数的加法和有理数的除法运算法求解，然后根据绝对值的性质解答即可． 【详解】 ∵有理数a，b，c满足， 当有一个负数时， =-1+1+1=1 当有两个负数时，=-1-1+1=-1； 当有三个负数时，=-1-1-1=-3 当全为正数时，=-1+1+1=3； ∴的值不可能为2． 故选：D． 【点睛】 本题考查了有理数的除法和绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，难点在于判断出负数的个数． 3．把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（       ）枚． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】 【分析】 把4个小三角形看做4个抽屉，把25枚棋子看做25个元素，每个抽屉需要放25÷4=6……1枚，剩下一个不管怎么放，总有一个抽屉里至少放6+1=7枚，得出结果． 【详解】 解：， （枚）， 故选：B 【点睛】 抽屉原理的解答思路是：要从最不利的情况考虑，准确的建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数=元素总个数÷抽屉数+1”解答． 4．已知数a，b，c在数轴上对应点位置如图所示，则下列正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据数轴判断出a<0，c<0，b>0，然后再根据绝对值的概念及有理数的乘、除法法则逐个判断即可． 【详解】 解：由数轴可知：a<0，c<0，b>0， 选项A：由数轴及绝对值的意义可知，数a离原点比数b离原点更远，所以，故选项A错误； 选项B：数a离原点比数c离原点更远，所以，故选项B错误； 选项C：三个数a、b、c中有两个数a、c<0，另一数b>0，根据两数相乘同号得正，异号得负可知，，故选项C错误； 选项D：，根据两数相除，同号得正，异号得负可知：，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查了数轴的定义及有理数的乘除法法则，解题的关键是正确理解数轴与有理数之间的关系，本题属于基础题型． 5．有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据m在[5,15]内，n在[20,30]内，可得的最小值与最大值． 【详解】 解：∵m在[5，15]内，n在[20，30]内， ∴5≤m≤15，20≤n≤30， ∴的最小值为，最大值为 ∴的一切值所在的范围是． 故选：A． 【点睛】 本题考查了新定义的有理数运算，关键是得到5⩽m⩽15，20⩽n⩽30，求出的最大与最小值． 6．________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据有理数的除法法则运算即可求得答案. 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键. 7．甲数的与乙数的相等（甲、乙两数均不为0），则甲数：乙数______． 【答案】 【解析】 【分析】 设甲数为x，乙数为y，则，推出． 【详解】 设甲数为x，乙数为y，则， ， 甲数：乙数． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等式的性质，有理数的大小比较，有理数的除法等知识点的应用． 8．解放军进行野外训练，要求从甲地到乙地，在一幅比例尺是1:60000的地图上，量得甲、乙两地的距离是40厘米．要求在4小时内到达，平均每小时要行军____千米． 【答案】6 【解析】 【分析】 已知比例尺、图上距离，求实际距离，根据图上距离÷比例尺=实际距离列式求得甲、乙两地的实际距离，再根据路程÷时间=速度，进一步求出行军速度． 【详解】 故答案为：6． 【点睛】 此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺=图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题． 9．有A，B，C，D，E，F 六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，记作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）．将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 根据以上信息，可知： ① n= __________ ； ② 拥有“卡牌组合”________的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型）． 【答案】     10     BDE 【解析】 【分析】 先求出所有卡牌的数量，再除以每位同学拥有的卡牌数量即可求出同学人数n；根据卡牌的数量和同学人数分析这些同学所拥有的的“卡牌组合”并计算人数，再选择人数最少的即可． 【详解】 解：所有卡牌的数量为4+10+3+10+1+2=30． 同学人数n为30÷3=10． ∵B型卡牌和D型卡牌各有10张，且每位同学有三张不同类型的卡牌， ∴每位同学一定有1张B型卡牌和1张D型卡牌． ∵A型卡牌有4张，C型卡牌牌有3张，E型卡牌有1张，F型卡牌有2张， ∴拥有“卡牌组合”BDA的有4人，拥有“卡牌组合”BDC的有3人，拥有“卡牌组合”BDE的有1人，拥有“卡牌组合”BDF的有2人． ∵1<2<3<4， ∴拥有“卡牌组合”BDE的人数最少． 故答案为：10；BDE． 【点睛】 本题考查有理数的大小比较，有理数的加法运算，有理数的除法运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 10．已知，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】 由可得a、b、c中，只能有两个负数，一个正数，即abc＞0，然后代入求解即可． 【详解】 解：∵ ∴在a、b、c中，只能有两个负数，一个正数 ∴abc＞0， ∴=1． 故答案为1． 【点睛】 本题主要考查了有理数除法，灵活运用有理数的特点成为解答本题的关键． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【解析】 (1) 解： (2) 解： (3) 解： (4) 解： 【点睛】 本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练运用有理数的除法运算，属于基础题型． 12．数学老师布置了一道思考题“计算：”．小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题． 小明的解答：原式的倒数为，所以． (1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正确，请说明理由． (2)计算：． 【答案】(1)正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； (2)﹣ 【解析】 【分析】 （1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． (1) 解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数； (2) 解：的倒数为， ＝ ＝ ＝﹣8+4﹣9 ＝﹣13， 则＝﹣ 【点睛】 此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 培优第二阶——拓展培优练 1．在等式“（－4）□（－2）＝2”，“□”中的运算符号是（       ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】 （－4）+（－2）＝-6， ∴+是不成立的， A不符合题意； （－4）-（－2）＝-2， ∴-是不成立的， B不符合题意； （－4）×（－2）＝8， ∴×是不成立的， C不符合题意； ∵（－4）÷（－2）＝2， ∴应该填“÷”， 故选D． 【点睛】 本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 2．对于有理数x，y，若，则的值是（       ）． A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由，可得异号，再分两种情况讨论，当时， 当时，再化简绝对值即可得到答案. 【详解】 解： ， 异号， 当时， 当时， 故选B 【点睛】 本题考查的是绝对值的化简，有理数的乘法与除法的符号确定，除法运算，掌握“绝对值的化简”是解本题的关键. 3．如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中：①；②；③；④；⑤，正确的有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】 【分析】 先由数轴得出a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则、绝对值的法则等分别分析，可得答案． 【详解】 解：由数轴可得： a＜﹣2＜b＜﹣1＜0＜c＜1且， ∴a+b+c＜0，故①错误，⑤正确； ∵a，b，c中两负一正 ∴a•b•c＞0，故②正确； ∵a＜0，b＜0，c＞0 ∴a+b﹣c＜0，故③错误； ∵a＜﹣2＜b＜﹣1 ∴0＜＜1，故④正确． 综上，可知，正确的有3个． 故选：B． 【点睛】 本题考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键． 4．下列说法：①小明小时走了2千米，小红小时走了千米，所以小明走得快些；②两个分数相除，商一定大于被除数；③用一根长120cm的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是7：5，则长是35cm；④一头大象重3000千克，一个橙子重300克，所以大象与橙子质量比是10：1，其中正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 ①设小明的速度为a千米/时，小红的速度为b千米/时，列方程求出a、b的值再进行比较确定是否正确；②举一个反例说明两个分数相除，商不一定大于被除数即可；③设长为7xcm，宽为5xcm，列方程求出x的值及长方形的长，即可判断该说法是否正确；④将两个质量单位统一后再相比，即可得出结果． 【详解】 解：①设小明的速度为a千米/时，小红的速度为b千米/时， 则a＝2，b＝， 解得a＝3，b＝2， 因为a＞b， 所以小明走得快些， 故①正确； ②设两个分数分别为和， （）÷＝﹣2，而﹣2＜， 所以两个分数相除，商不一定大于被除数， 故②错误； ③设长为7xcm，宽为5xcm， 根据题意得2（7x+5x）＝120， 解得x＝5， 所以7x＝35， 所以长是35cm， 故③正确； ④3000千克＝3000000千克，则3000000：300＝10000：1， 所以大象与橙子质量比是10000：1， 故④错误， 所以有两个正确， 故选：B． 【点睛】 此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、有理数的除法等知识与方法，还涉及有理数的大小比较、有理数的运算等问题，应对每一个问题进行探究和求解，最后得出答案． 5．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（       ） A．3 B．﹣2 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】 ∵a1＝3， ∴a2＝＝﹣2， a3＝， a4＝， a5＝， ∴该数列每4个数为1周期循环， ∵2019÷4＝504…3， ∴a2019＝a3＝． 故选：C． 【点睛】 本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 6．若ab＞0，则＋＋的值为________． 【答案】3或－1##-1或3 【解析】 【分析】 根据同号得正分a、b都是正数和负数两种情况，利用绝对值的性质去掉绝对值号，然后进行计算即可得解． 【详解】 ∵ab＞0， ∴a、b同号， 当a＞0，b＞0时，， 当a＜0，b＜0时，， 综上所述的值是3或－1． 故答案为：3或－1． 【点睛】 本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键，难点在于要分情况讨论． 7．如果一个比的后项是，比值是，这个比的前项是 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】 设前项为x，根据题意，列式为x：=，计算即可． 【详解】 设前项为x，根据题意，列式为x：=， 解得x=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了有理数的除法，正确列出比例式是解题的关键． 8．元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元． 【答案】55.6或22##22或55.6 【解析】 【分析】 根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可． 【详解】 解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则标价为192÷0.8=240元； 由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元， 所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元）， 当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款． 总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元）， 则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）； 总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元）， 则他可节约（192+384）-554=22（元）． 故答案为：55.6或22． 【点睛】 本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键． 9．已知a是不等于﹣1的数，我们把称为a的和倒数．如：2的和倒数为＝，已知a1＝1，a2是a1的和倒数，a3是a2的和倒数，a4是a3的和倒数，…，依此类推，则a1×a2×…×a6＝___． 【答案】 【解析】 【分析】 先分别求出对应的和倒数，再根据有理数的的乘法运算法则求解即可． 【详解】 解：由题意，a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝， ∴a1×a2×…×a6 ＝1××××× = ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查倒数、有理数的混合运算，理解和倒数定义，熟练掌握运算法则是解答的关键． 10．下列说法： ①若a，b互为相反数，则＝﹣1； ②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0； ③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7； ④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．其中一定正确的结论是____（只填序号）． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】 根据相反数和绝对值的意义讨论即可得出答案． 【详解】 ①若a，b互为相反数，则,不能得出，故①错误； ②当或时，成立， 当或时，， 成立，则或，即，故②正确； ③表示到数、、三个点的距离之和，所以时，取得最小值，最小值为，故③正确； ④当且时，，故④错误． 故答案为：②③． 【点睛】 本题考查相反数与绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键． 11．已知有理数－16，－10，c在数轴上对应的点分别是A，B，C三点，BC－AB＝4． (1)请在数轴上画出点A，B，并求B，C两点间的距离； (2)求AC中点表示的数 【答案】(1)画图见解析，10 (2)AC中点表示的数为-8或-18． 【解析】 【分析】 （1）画出数轴，求出AB的距离，根据BC-AB=4求出BC的距离． （2）根据第一问求出的BC距离确定C点位置，再求出AC中点表示的数即可． (1) 解：数轴如图所示： AB=-10-（-16）=6， ∵BC-AB=4， ∴BC=10． (2) 当C点在B点右侧时，C点位置如图所示： AC=AB+BC=6+10=16， 16÷2=8， 此时中点对应的数为：-16+8=-8． 当C点在B点左侧时，C点位置如图所示： AC=BC-AB=10-6=4． 4÷2=2， ∴此时中点对应的数为：-16-2=-18． 故AC中点表示的数为-8或-18． 【点睛】 本题考查的是利用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上中点对应的数的表示，掌握“数轴上两点之间的距离公式”是解本题的关键. 12．如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm． （2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ． （3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁 【解析】 【分析】 （1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm； （2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为118，可知爷爷的年龄； 【详解】 解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm）， 18÷3=6（cm） 故答案为：6． （2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6， 6＋6＝12，24－6＝18． 故答案为12，18． （3） 如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是 [118-（-38）]÷3=156÷3=52， 则爷爷现在的年龄为118-52=66岁． 【点睛】 此题考查了数轴表示数和有理数混合计算．解题的关键是树立数形结合思想，把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中． 培优第三阶——中考沙场点兵 1．（2022·吉林·中考真题）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（       ） A．+ B．- C．× D．÷ 【答案】A 【解析】 【分析】 将各选项的运算符号代入计算即可得． 【详解】 解：， ， ， ， 因为， 所以要使运算结果最大，应填入的运算符号为， 故选：A． 【点睛】 本题考查有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．（2020·山西·中考真题）计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据有理数的除法法则计算即可，除以应该数，等于乘以这个数的倒数． 【详解】 解：（-6）÷（-）=（-6）×（-3）=18． 故选：C． 【点睛】 本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2020·湖北咸宁·中考真题）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年，下列各式计算结果为负数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 各式计算得到结果，即可作出判断． 【详解】 解：A、=1，故选项不符合； B、=5，故选项不符合； C、=-6，故选项符合； D、=，故选项不符合； 故选C. 【点睛】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2021·四川德阳·中考真题）-2的倒数是（ ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据倒数的定义求解． 【详解】 解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】 本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握． 5．（2020·辽宁锦州·中考真题）﹣6的倒数是（　　） A．﹣ B． C．﹣6 D．6 【答案】A 【解析】 【详解】 解：﹣6的倒数是﹣．故选A． 6．（2020·山东泰安·中考真题）的倒数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据倒数的概念求解即可． 【详解】 根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选A． 7．（2022·广西玉林·中考真题）计算：_____________． 【答案】-1 【解析】 【分析】 根据有理数的除法运算可进行求解． 【详解】 解：原式=； 故答案为-1． 【点睛】 本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 8．（2021·湖南湘潭·中考真题）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表： 算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是_____年．（用天干地支纪年法表示） 【答案】辛丑 【解析】 【分析】 先用2021的尾数1查出天干，再用2021除以12的余数查出地支即可． 【详解】 解：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为丑，那么2021年就是辛丑年， 故答案为：辛丑． 【点睛】 本题是考查了推理，读懂天干地支的算法是解决本题的关键． 9．（2020·江苏常州·中考真题）计算：|－2|＋（π－1）0=____． 【答案】3． 【解析】 【分析】 根据化简绝对值和零指数幂的法则进行计算求解． 【详解】 解：|－2|＋（π－1）0=2＋1=3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查绝对值的化简和零指数幂的计算，掌握相关概念和计算法则正确计算是解题关键． 卡牌类型ABCDEF数量（张）41031012天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戊亥456789101112123