初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质课时练习
展开第28课 相似三角形(解答题)课后培优练级练培优第一阶——基础过关练一、解答题1.如图,D、E分别是AC、AB上的点,△ADE∽△ABC,且DE=8,BC=24,CD=18,AD=6,求AE、BE的长.2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:△ABD∽△CBE.3.如图,在中,,,,.(1)求证:∽;(2)求的长度.4.如图,平行四边形ABCD中,点E是BC上一线,连接AE,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.求证:△ADF∽△DEC;5.如图所示,在四边形ABCD中,CA是∠BCD的角平分线,且,求证:△ABC∽△DAC.6.如图,已知AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78cm,BO=42cm,CD=159cm,求CO和DO.7.如图,点D在△ABC的边AB上,AC2=AD•AB,求证:△ACD∽△ABC.8.如图,在矩形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,求证:△DEC∽△ADF.9.在中,D为上的一点,E为延长线上的一点,交于F.求证:10.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF=0.5m,EF=0.3m,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=10m,求树高AB.11.已知,如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别在CB、AC的延长线上,∠ADE=60°.求证:△ABD∽△DCE.12.如图,∠BAD=∠CAE,∠B=∠D, (1)求证:;(2)若3AB=2AD,且DE=6,求BC的长.13.如图,小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面,上树AB的高度,已知两直角边,他调整自己的姿势和三角形纸板的位置,使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,DM垂直于地面,测得,边DF离地面的距离为,求树高AB.14.如图,在矩形ABCD中,E为AD边上的一点,过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.求证:△CDE∽△CBF;15.如图,已知.求证:.16.如图,△ABC是等边三角形,点D,E分别在BC、AC上,且∠ADE=60°,求证:BD•CD=AC•CE.17.已知:如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,且∠ABE =∠ACD,BE、CD交于点G.(1)求证:△AED∽△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.18.如图,已知,在平行四边形ABCD中,E为射线CB上一点,联结DE交对角线AC于点F,∠ADE=∠BAC.(1)求证:CF•CA=CB•CE;(2)如果AC=DE,求证:四边形ABCD是菱形.19.如图,在等边中,点是边上的一个动点(不与点,重合),以为边作等边,与交于点,连接.(1)求证:;(2)若,且,求的面积.培优第二阶——拓展培优练一、解答题1.如图,和都是等腰直角三角形,,,,连接,,求的值.2.如图,在矩形中,E是边的中点,于点F.(1)求证:.(2)已知,求的长.3.小明和小刚都是篮球迷,他们常常晚上写完作业后,抽出一点时间到小区附近的室外篮球场打篮球,小明注意到篮球场两侧有两个一样高的路灯,他想正好可以用所学的知识来测量一下路灯的高度,便设计出如下的测量方案如图,用、两点表示路灯,、、,小明站在上的处.小刚帮他测得他在路灯主照射下的影长米,在路灯照射下的影长米.已知小明的身高米,篮球场的宽米,请根据以上数据计算出路灯的高度(或的长).4.如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE²=AQ·AB求证:(1)∠CAE=∠BAF;(2)CF·FQ=AF·BQ5.已知:如图,在四边形ABCD中,,点E在边BC上,且,作交线段AE于点F,连接BF.(1)求证::(2)如果,求证:.6.如图,已知四边形ABCD是矩形,点E在对角线AC上,点F在边CD上(点F与点C、D不重合),BE⊥EF,且∠ABE+∠CEF=45°.(1)求证:四边形ABCD是正方形;(2)连接BD,交EF于点Q,求证:DQ•BC=CE•DF.7.阅读以下文字并解答问题:在“测量物体的高度”活动中,某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度,在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4.08米(如1图).小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如2图),墙壁上的影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米.小明:测得丙树落在地面上的影长为2.4米,落在坡面上影长为3.2米(如3图).身高是1.6米的小明站在坡面上,影子也都落坡面上,小芳测得他的影长为2米.(1)在横线上直接填写甲树的高度为______米,乙树的高度为________米﹔(2)请求出丙树的高度.8.如图,在中,,,,动点P从点A开始沿着边AB向点B以的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿着边BC向点C以的速度移动(不与点C重合).若P、Q两点同时移动.(1)当移动几秒时,的面积为.(2)设四边形APQC的面积为,当移动几秒时,四边形APQC的面积为?(3)当移动几秒时,与相似?9.四边形,点是对角线上一点,将一个含有角的三角板的直角顶点与点重合,使其一条直角边经过点,另一条直角边与交于点.(1)如图1,若四边形是正方形,求证:;(请用两种方法证明)(2)如图2,若四边形是矩形,且,,猜想与之间的数量关系,并证明.10.在等边△ABC中,D,E分别是AC,BC上的点,且AD=CE,连接BD、AE相交于点F.(1)如图1,当时,=__________;(2)如图2,求证:△AFD∽△BAD;(3)如图3,当时,猜想AF与BF的数量关系,并说明理由.11.如图1,在中,对角线DB⊥BC,将△ADB绕点A按逆时针方向旋转得到,点E在线段D′D的延长线上,且.(1)若旋转角=94°,求的度数;(2)如图2,连接B交DE于点F,求证:DF=EF;(3)在(2)的条件下,若,试探究D与B的数量关系.12.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于F,延长FE与直线CD相交于点G,连接FC(AB>AE).(1)求证:△AEF∽△DCE;(2)△AEF与△ECF是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由;(3)设,是否存在这样的k值,使得△AEF与△BFC相似?若存在,证明你的结论并求出k的值;若不存在,请说明理由.13.如图,四边形ABCD为正方形,且E是边BC延长线上一点,过点B作BF⊥DE于F点,交AC于H点,交CD于G点.(1)求证:△BGC∽△DGF;(2)求证:;(3)若点G是DC中点,求的值.14.在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点,点,点.以点O为中心,顺时针旋转矩形OABC,得到矩形ODEF,点A,B,C的对应点分别为D,E,F,记旋转角为.(1)如图①,当时,求点D的坐标;(2)如图②,当点E落在OC的延长线上时,求点D的坐标;(3)当点D落在线段AC上时,求点E的坐标(直接写出结果即可).15.解答(1)如图1,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H.求证:;(2)如图2,在满足(1)的条件下,点M,N分别在边BC,CD上,若,求的值;(3)如图3四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=10,AM⊥DN,点M,N分别在边BC,AB上,,求的值.16.在正方形ABCD中,点E是边BC上的动点(与点B、C不重合),以AE为直角边在直线BC上方作等腰直角三角形AEF,.(1)如图1,若EF与CD交于点G,连接CF.①求证:;②求的值;③若正方形ABCD的边长为1,在点E运动过程中,则以A、D、F为顶点的三角形周长的最小值为_________;(2)如图2,若AF与CD交于点P,连接BD分别与AE、AF交于点M、N,连接PM.求证:.培优第三阶——中考沙场点兵一、解答题1.(2022·吉林长春·中考真题)如图①、图②、图③均是的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点,的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺,在给定的网格中,按下列要求作图,保留作图痕迹.(1)网格中的形状是________;(2)在图①中确定一点D,连结、,使与全等:(3)在图②中的边上确定一点E,连结,使:(4)在图③中的边上确定一点P,在边BC上确定一点Q,连结,使,且相似比为1:2.2.(2022·山东枣庄·中考真题)已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4cm,点P从点A出发,沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动,同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动,设运动的时间为t秒.(1)如图①,若PQ⊥BC,求t的值;(2)如图②,将△PQC沿BC翻折至△P′QC,当t为何值时,四边形QPCP′为菱形?3.(2022·山东济南·中考真题)如图1,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明;(2)延长ED交直线BC于点F.①如图2,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为_______;②如图3,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数,并说明理由.4.(2022·山东威海·中考真题)回顾:用数学的思维思考(1)如图1,在△ABC中,AB=AC.①BD,CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE.求证:BD=CE.(从①②两题中选择一题加以证明)(2)猜想:用数学的眼光观察经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,D为边AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位置,在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出问题:若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上,BD与CE还相等吗?请解决下面的问题:如图2,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上,请添加一个条件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并证明.(3)探究:用数学的语言表达如图3,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,E为边AB上任意一点(不与点A,B重合),F为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能,求CF的取值范围;若不能,说明理由.5.(2022·内蒙古包头·中考真题)如图,在平行四边形中,是一条对角线,且,,,是边上两点,点在点的右侧,,连接,的延长线与的延长线相交于点.(1)如图1,是边上一点,连接,,与相交于点.①若,求的长;②在满足①的条件下,若,求证:;(2)如图2,连接,是上一点,连接.若,且,求的长.6.(2022·湖南郴州·中考真题)如图1,在矩形ABCD中,,.点E是线段AD上的动点(点E不与点A,D重合),连接CE,过点E作,交AB于点F.(1)求证:;(2)如图2,连接CF,过点B作,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点,连接GM.①求的最小值;②当取最小值时,求线段DE的长.
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