2022-2023学年高一数学(人教A版2019)必修第一册 专题02 一元二次函数、方程与不等式（知识串讲+热考题型+专题训练）

专题02 一元二次函数、方程与不等式

知识1  等式性质与不等式性质

1、作差法比较大小

；；.

2、不等式的基本性质

（1）（对称性）

（2）（传递性）

（3）（可加性）

（4）（可乘性）；

（5）（同向可加性）

（6）（正数同向可乘性）

（7）（正数乘方法则）

知识点2  基本不等式

1、重要不等式：,（当且仅当时取号）.

变形公式： 

2、基本不等式：  ,（当且仅当时取到等号）.

变形公式：  ； 

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”.

知识点3  二次函数与一元二次方程.不等式

1、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

2、解一元二次不等式的步骤

第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

第二步：写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解

第三步：根据不等式，写出解集.

3、含参数的一元二次不等式讨论依据

（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；

（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；

（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。

考点1   不等式的性质与应用

【例1】（2022·全国·高一期中）若，下列命题正确的是（    ）

A．若，则          B．，若，则

C．若，则        D．，，若，则

【变式1-1】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式1-2】（2022·全国·高一课时练习）已知，下列命题正确的是（    ）

A．若，则        B．若，则

C．若，则         D．若，则

【变式1-3】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）（多选）已知，下列命题为真命题的是(    )

A．若，则        B．若，则

C．若，则             D．若，则

【变式1-4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则        B．若，则

C．若，则        D．若，则

【变式1-5】（2022·全国·高一课时练习）（多选）若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则                   B．若a，，则

C．若，，则          D．若，则

考点2   利用不等式求代数式的取值范围

【例2】（2020·陕西·榆林市第十中学高二期中）若，，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式2-1】（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）已知，，则的取值范围为_________

【变式2-2】（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）已知，，则的取值范围为__________．

【变式2-3】（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）已知，.

（1）分别求a，c的取值范围；

（2）求的取值范围.

【变式2-4】（2022·全国·高一课时练习）已知，，求的取值范围．

考点3   解一元二次不等式

【例3】（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________．

【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）不等式的解集是_____.

【变式3-2】（2022·全国·高一专题练习）解不等式：

（1）；      （2）.

【变式3-3】（2022·全国·高一课时练习）解不等式：．

【变式3-4】（2022·广东·深圳市第二高级中学高一开学考试）解下列关于x的不等式：

（1）；

（2）

【变式3-5】（2022·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集中恰有1个整数，则实数的取值范围是_________.

考点4   三个“二次”之间的关系

【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ）

A．9        B．8        C．6        D．4

【变式4-1】（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集是___________．

【变式4-2】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则关于不等式的解集为_________.

【变式4-3】（2022·全国·高一专题练习）已知不等式的解是，则_____．

【变式4-4】（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知不等式的解集为，求不等式的解集.

考点5   一元二次不等式恒成立与有解问题

【例5】（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为(    )

A．      B．      C．      D． 或

【变式5-1】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A．或      B．      C．      D．

【变式5-2】（2022·全国·高一专题练习）不等式 的解集为R，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-3】（2022·全国·高一单元测试）已知，恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-4】（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-5】（2022·全国·高一课时练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（      ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-6】（2022·湖北黄石·高一期末）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-7】（2022·全国·高一课时练习）若关于的不等式在有解，则的取值范围为（    ）

A．        B．      C．        D．

考点6  利用基本不等式求最值

【例6】（2022·福建省永泰县第一中学高一开学考试）（1）已知，且，求的最大值.

（2）已知a，b是正数，且满足，求的最小值.

【变式6-1】（2022·黑龙江·肇州县第二中学高一阶段练习）已知，且满足．

（1）若，求的值；

（2）求：的最大值与最小值．

【变式6-2】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）（1）求函数的最小值.

（2）已知，，且，求的最小值.

【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）下列结论正确的是（    ）

A．当时，                B．当时，

C．当时，的最小值是        D．当时，的最小值为1

【变式6-4】（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）（多选）下列命题中，真命题的是（    ）

A．，都有               B．，使得

C．任意非零实数，都有        D．函数的最小值为

考点7  基本不等式恒成立问题

【例7】（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式7-1】（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式7-2】（2022·全国·高一课时练习）已知正数、满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式7-3】（2022·全国·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（    ）

A．2        B．4         C．6        D．8

【变式7-4】（2022·全国·高一课时练习）对所有的正实数x、y恒成立，则实数a最大值是（    ）

A．1        B．        C．        D．

【变式7-5】（2022·全国·高一专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.

考点8  基本不等式在实际中的应用

【例8】（2022·全国·高一专题练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．

（1）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．

【变式8-1】（2022·全国·高一课时练习）某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．

（1）据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？

（2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．

【变式8-2】（2022·湖南·高一课时练习）某商品进货价为每件50元，经市场调查得知，当销售单价（元）在区间时，每天售出的件数．若想每天获得的利润最大，销售价格应定为每件多少元？

【变式8-3】（2022·全国·高一单元测试）如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.

（1）求的值；

（2）为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；

（3）求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.

【变式8-4】（2022·全国·高一）浙江某物流公司准备建造一个仓库，打算利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为16平方米，且背面靠墙的长方体形状的物流仓库.由于其后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为每平方米150元，左右两面新建墙体的报价为每平方米75元，屋顶和地面以及共他报价共计4800元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.

（1）当左右两面墙的长度为4米时，求甲工程队的报价；

（2）现有另一工程队乙工程队也参与此仓库建造竞标，其给出的整体报价为元.若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功（价低者为成功），求的取值范围.

1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知，则（    ）

A．        B．        C．        D．

2．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数，满足，则的最小值为（    ）

A．0        B．        C．        D．

3．（2022·全国·高一课时练习）若，，则的最小值是（    ）

A．16        B．18        C．20        D．22

4．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最小值是（    ）

A．        B．        C．        D．

5．（2022·全国·高一专题练习）已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ）

A．若，则        B．若，则

C．若，则             D．若，则

6．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

7．（2022·河南·濮阳一高高一期中（文））已知正数满足，则的最小值是

A．18        B．16        C．8        D．10

8．（2021·安徽合肥·高一期末）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

9．（2021·广东深圳·高一期末）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A．13        B．14        C．15        D．16

10．（2019·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）不等式的解集是（    ）

A．全体实数        B．空集        C．正实数        D．负实数

11．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（    ）

A．（1，+∞）        B．（0，1）        C．（1，1）        D．[1，+∞）

12．（2022·贵州毕节·高一期末）已知不等式的解集为，则a，b的值是（    ）

A．，        B．，        C．6，3        D．3，6

13．（2022·河南开封·高一期末）关于的不等式的解集为，且，则（    ）

A．3        B．        C．2        D．

14．（2022·全国·高一课时练习）某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（    ）

A．20m        B．50m        C．m        D．100m

15．（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）（多选）已知均为实数，下列命题正确的是（    ）

A．已知，则存在负数使成立

B．“”是“”的充分不必要条件

C．若，，，则

D．若正数满足，则

16．（2021·全国·高一课时练习）若，，则的取值范围是______.

17．（2020·江苏·明达中学高一阶段练习）设，，比较与的大小

18．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高一阶段练习）若，，求证：.

19．（2021·湖北·襄阳五中高一阶段练习）（1）已知正数满足，求的最小值；

（2）求函数的最小值

（3）已知，且.求证：.

20．（2022·全国·高一单元测试）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）.

（1）请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间；

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？