【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第3.1练《椭圆》培优分阶练（含解析）

第3.1练 椭圆 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（     ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【详解】 解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4， 由椭圆的定义可得, 又，故. 故选：A. 2．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（       ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】 椭圆上的点P满足， 当点P为的延长线与C的交点时， 达到最大值，最大值为． 故选：B 3．已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（       ） A．15 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【详解】 由三角形面积公式可知， 当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点， 其中， 则△面积的最大值是， 故选：. 4．下列与椭圆焦点相同的椭圆是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和； 对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意； 对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意； 对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意； 对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意； 故答案为：D. 5．已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（       ） A． B．， C． D．， 【答案】A 【详解】 因为椭圆方程为=1，所以椭圆得离心率， 设点M到椭圆右准线的距离为d，根据椭圆第二定义有： ，所以，所以 表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和， 当垂直于右准线时，取得最小值.此时的纵 坐标为-1，代入椭圆方程=1，求得的横坐标为. 所以点M坐标为，故B，C，D错误. 故选：A. 6．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（       ） A．3 B．5 C． D．13 【答案】B 【详解】 因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得：， 当点P在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：B. 7．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，由正弦定理得，解得，则 故选：D. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设焦距为． 因为的周长为18，所以，所以． 因为长半轴长为5，即 所以椭圆C的离心率为 故选：B． 9．已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为是的中点，是的中点，所以， 因为平分，所以， 因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是． 故选：A． 10．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 椭圆的， 如图， 设椭圆的右焦点为 ， 则 ； ； 由图形知，当在直线 上时， ， 当不在直线 上时， 根据三角形的两边之差小于第三边有， ， 当在 的延长线上时， 取得最小值 的最小值为． 故选：C． 二、多选题 11．已知椭圆：，则下列关于椭圆的结论正确的是（       ） A．焦点坐标为， B．长轴长为 C．离心率为 D．直线与无交点 【答案】BC 【详解】 由椭圆方程知：椭圆焦点在轴上，，，； 对于A，焦点坐标为，，A错误； 对于B，长轴长，B正确； 对于C，离心率，C正确； 对于D，由得：，则， 直线与交于两点，D错误. 故选：BC. 12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（       ） A．椭圆的长轴长为 B．线段AB长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 【答案】ABD 【详解】 由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确； ，由椭圆性质可知，所以，B正确； 记，则 取，则，C错误； 由椭圆定义知，，所以的周长，D正确. 故选：ABD 三、解答题 13．椭圆，离心率，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程． 【答案】 【详解】 ∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴， 又，， ∴椭圆的方程为． 14．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求． 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 解：由题意得，解得， 又因为点在椭圆C上， 带入得， 所以椭圆的标准方程为. (2) 解：易得直线l的解析式为， 设，联立椭圆的方程 得 ， 所以． 15．已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】 (1) 设椭圆的半焦距为，， 将代入得， 所以， 因为点是椭圆上一动点，所以， 所以面积， 由，求得， 所以椭圆的方程为：. (2) 由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立， 整理可得， 因为直线与椭圆相切， 所以，得， 因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以， 所以， 将代入直线可得，所以， 所以， ，将代入上式， 得，所以为定值. 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设椭圆的上焦点为，显然， 因为过原点的直线交于点， 所以有，因此四边形是平行四边形， 又因为，所以有， 因此三角形是以为斜边的直角三角形， 因为，所以， 因为是平行四边形， 所以，由椭圆的定义可知：， 故选：A 2．已知椭圆的左､右焦点分别为､，点､均在椭圆上，且均在轴上方，满足条件，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题设，，则椭圆通径为，又， 所以在上，即通径上，故轴， 又，易知：. 故选：C 3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为．则椭圆C的标准方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设椭圆的标准方程为，焦距为， 则，解得，∴椭圆的标准方程为， 故选：C． 4．已知椭圆，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若，则M的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由于坐标原点O在以AF为直径的圆上，故可设为上顶点，为右焦点，为左焦点. 则， ，由余弦定理得， ，结合解得. 所以的方程为. 故选：A 5．设M是椭圆C：的上顶点，P是C上的一个动点，当P运动到下顶点时，取得最大值，则C的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设，，因为，， 所以，，由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即． 故选：C． 6．椭圆：有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且，当时，椭圆的中心到与椭圆切于点的切线的距离为：（       ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【详解】 设过点的切线为，分别做于点， 做交轴于点，所得是的中位线， 设，入射角和反射角相等，则， 则 ， 因为，当为上顶点时，为， 因为，，所以， 即，， ， 故选：C. 二、多选题 7．已知在平面直角坐标系中，，，，，，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为和，且，设点P运动形成曲线F，点M，N是曲线F上位于x轴上方的点，且，则下列说法正确的有（       ） A．动点P的轨迹方程为 B．△PAB面积的最大值为 C．的最大值为5 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】 由题意得， 设点，则， 由，得， 整理，得， 即动点P的轨迹方程为，故A错误； 当点运动到椭圆的上顶点时，的面积最大， 此时，故B正确； 由椭圆的定义，得， 而， 当且仅当三点共线且点P位于第四象限时等号成立， 所以，故C正确； 由椭圆的焦半径公式，得， (其中)，有， 当即时，取得最小值， 此时，得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 8．第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（       ） A． B． C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则 D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为. 【答案】BCD 【详解】 A：由且，则，即，故错误； B：由，得，则，所以，故正确； C：满足椭圆方程，又，则，所以，，故正确； D：由对称性知：、关于轴对称，，，，，，，则，，故正确. 故选：BCD. 三、解答题 9．设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为． (1)求椭圆和的方程； (2)若直线与交于，两点，与交于，两点，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，说明理由． 【答案】(1)，.(2)不存在，理由见解析 【解析】(1) 解：由题意可设椭圆的标准方程为， 椭圆的离心率，， ，， 将点代入椭圆的方程得： ， 联立解得：， 椭圆的方程为：， ， 轴，， 的方程为：； (2) 由、在圆上得， 设，，， 同理：， 若，则，即， ， 由得， 得，无解，故不存在． 10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，． (1)求的方程； (2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)；(2). 【解析】(1) 设椭圆E的半焦距为c，点，而，则， 即有，解得，又离心率，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，， 由消去x并整理得：，解得点，则点， 直线，则直线方程为：，点，直线的斜率， 直线的斜率，因此，， 所以是定值.