(新高考)高考数学一轮复习学案10.3《二项式定理》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案10.3《二项式定理》(含详解)，共13页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

第3讲　二项式定理


一、知识梳理
1．二项式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项：
第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk．
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．
2．二项式系数的性质

常用结论
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
二、教材衍化
1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．
解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.
答案：40
2．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
解析：二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
答案：20
3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为________．
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
答案：8

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Can－rbr.(　　)
(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(4)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．(　　)
(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；
(2)配凑不当致误．
1．在二项式，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．
解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
答案：－1
2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．
解析：因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180.
答案：180
3．(x＋1)5(x－2)的展开式中x2的系数为________．
解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故x2的系数为－15.
答案：－15

考点一　二项展开式的特定项(系数)(基础型)
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
核心素养：数学抽象、数学运算
角度一　求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与
特定项相关的量
(1)在的展开式中，x2的系数为________．
(2)在二项式的展开式中，若常数项为－10，则a＝________．
【解析】　(1)的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r＝Cx5－，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C＝.　
(2)的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r×＝Ca5－rx10－，令10－＝0，得r＝4，所以Ca5－4＝－10，解得a＝－2.
【答案】　(1)　(2)－2

求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤
(1)利用通项将Tk＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项得所求．　
角度二　求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的
展开式中与特定项相关的量
(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12　　　　　　 B．16
C．20 D．24
(2)(2020·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．
【解析】　(1)展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
(2)(ax＋1)6的展开式中x2项的系数为Ca2，x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0，因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝.
【答案】　(1)A　(2)

求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路
(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．　
角度三　求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
中与特定项相关的量
(1)(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为(　　)
A．－210 B．210
C．30 D．－30
(2)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
【解析】　(1)(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，
所以含x3项的系数为：－CC＋C(－C)＝－210.
(2)(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C．
【答案】　(1)A　(2)C

三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法
(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．
(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．　

1．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝62，则logn25等于________．
解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2＝62，解得n＝5，所以logn25＝2.
答案：2
2．在(2x－1)6的展开式中，x3的系数是________．(用数字作答)
解析：由题意得，(2x－1)6的展开式中含x3的项为xC(2x)2(－1)4＋C·(2x)4(－1)2＝－180x3，所以展开式中x3的系数为－180.
答案：－180
3.的展开式中所有的有理项为________．
解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝Ckx，由题意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.令＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r，因为k∈N，所以r应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，－，x－2.
答案：x2，－，x－2
考点二　二项展开式中的系数和问题(综合型)
求二项展开式的所有项的系数和(或差)问题，常用赋值法．赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法．
(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为(　　)
A．15　　　　　　　　　 B．45
C．135 D．405
(2)若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　)
A．1 B．513
C．512 D．511
【解析】　(1)由题意知＝64，得n＝6，展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，
令6－＝3，得r＝2，
则x3的系数为32C＝135.故选C．
(2)令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，
得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.
【答案】　(1)C　(2)D

赋值法求系数和的应用技巧
(1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．　
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.令x＝0，可得a0＝f(0)．

1．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)
A．29 B．29－1
C．39 D．39－1
解析：选D．(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选D．
2．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝______．
解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
答案：3
考点三　二项展开式中的系数最值问题(综合型)
求解此类题的关键：一是方程引入，利用已知二项式系数的最大值，求出参数的值；二是公式应用，即利用二项展开式的通项公式，即可求出指定项或指定项的系数．
(y－)6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
【解析】　因为(y－)6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项．因为(y－)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·y6－r(－)r＝C·(－2)rx－2ry6－r，所以展开式中系数最大的项为奇数项．
法一：设第r＋1项的系数最大，则

因为r∈Z，0≤r≤6，且r为偶数，所以r＝4，
则T5＝C·(－2)4x－8y2＝240x－8y2，
所以展开式中系数最大的项为240x－8y2，
法二：展开式中第1，3，5，7项的系数分别为C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即1，60，240，64，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2.
【答案】　4　240x－8y2

求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数的是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．　
　在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项是(　　)
A．－7 B．7
C．－28 D．28
解析：选B．因为只有第5项的二项式系数C最大，所以＝4，即n＝8.的展开式的通项公式为Tr＋1＝C＝x8－r，令8－r＝0，解得r＝6，故常数项为T7＝＝7.故选B．

[基础题组练]
1.的展开式中的常数项为(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
解析：选D．通项Tr＋1＝C(－x4)r＝C()3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D．
2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为(　　)
A．50 B．55
C．45 D．60
解析：选B．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C＝55.故选B．
3．(多选)在二项式的展开式中，有(　　)
A．含x的项 B．含的项
C．含x4的项 D．含的项
解析：选ABC．二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·35－r·(－2)r·x10－3r，r＝0，1，2，3，4，5，故展开式中含x的项为x10－3r，结合所给的选项，知ABC的项都含有．
4．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70
C．90 D．120
解析：选C．令x＝1，则＝4n，所以的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90，故选C．
5．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
解析：选C．令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
6.的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．6 B．
C．4x D．或4x
解析：选A．令x＝1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()2＝6.
7．(x2＋2)展开式中的常数项是(　　)
A．12 B．－12
C．8 D．－8
解析：选B．展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r＝(－1)rCxr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C＋2(－1)5C＝－12.故选B．
8.展开式中的常数项为(　　)
A．1 B．21
C．31 D．51
解析：选D．因为＝
＝C(x＋1)5＋C(x＋1)4·＋C(x＋1)3·＋C(x＋1)2·＋C(x＋1)1·＋C.
所以展开式中的常数项为C·C·15＋C·C·13＋C·C·12＝51.故选D．
9．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)
A．1 B．243
C．121 D．122
解析：选B．令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B．
10．(2020·海口调研)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：选D．由题意得的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·＝C·x10－2k，的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D．
11．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
A．2n B．
C．2n＋1 D．
解析：选D．设f(x)＝(1＋x＋x2)n，
则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.
12．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)
A．39 B．310
C．311 D．312
解析：选D．对(x＋2)9＝ a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D．
13．(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．
解析：二项展开式的通项是Tk＋1＝C(x)4－k·(－y)k＝(－1)kCx4－y2＋，令4－＝2＋＝3，解得k＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.
答案：6
14．(2019·高考浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
解析：二项式(＋x)9展开式的通项为Tr＋1＝C()9－rxr.令r＝0，得常数项为C()9＝16.当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，共5项．
答案：16　5
15．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________．
解析：(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，所以a＝C.
同理，b＝C.
因为13a＝7b，所以13·C＝7·C.
所以13·＝7·.
所以m＝6.
答案：6
[综合题组练]
1．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　)
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：选C．因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－1＝26－1＝63，故选C．
2．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0 B．1
C．11 D．12
解析：选D．512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝
C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.
3．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．
解析：由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C，则k的最大值为6.
答案：6
4．已知(2－x2)(1＋ax)3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a＝________，展开式中含x2的项的系数是________．
解析：由已知可得，(2－12)(1＋a)3＝27，则a＝2.所以(2－x2)(1＋ax)3＝(2－x2)(1＋2x)3＝(2－x2)(1＋6x＋12x2＋8x3)，所以展开式中含x2的项的系数是2×12－1＝23.
答案：2　23
5．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)因为a0＝C＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)因为(1－2x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
6．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知得2×C＝C＋C，
解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·＝2－rCx4－(r＝0，1，…，8)，
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，
则＝＝≥1，
＝＝≥1，解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.