浙教版九年级上册第1章 二次函数综合与测试单元测试随堂练习题

浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》单元测试卷

考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列函数关系中是二次函数的是(    )

A. 正三角形面积与边长的关系 B. 直角三角形两锐角与的关系
C. 矩形面积一定时，长与宽的关系 D. 等腰三角形顶角与底角的关系

2.    已知二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C. ，且 D.

3.    对于关于的函数，下列说法错误的是(    )

A. 当时，该函数为正比例函数
B. 当时，该函数为一次函数
C. 当该函数为二次函数时，或
D. 当该函数为二次函数时，

4.    将抛物线向右平移单位正好经过原点，则的值为
   (    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.    二次函数的图象平移后经过点，则下列平移方法正确的是(    )

A. 向左平移个单位，向下平移个单位 B. 向左平移个单位，向上平移个单位
C. 向右平移个单位，向下平移个单位 D. 向右平移个单位，向上平移个单位

6.    已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；，其中正确的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：
   ；；；，
   正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.    抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    二次函数的图象如图所示，有如下结论：
   ；
   ；
   ；
   为实数．
   其中正确结论的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10. 某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．则每星期售出商品的利润单位：元与每件涨价单位：元之间的函数关系式是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 用长米的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知二次函数，若时，；则当时，对应的函数值范围判断合理的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若是关于的二次函数，则的取值范围是        ．
14. 若函数的顶点在轴上，则______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点、在线段上，分别过点、作轴的垂线交抛物线于、两点当四边形为正方形时，线段的长为______ ．
     

16. 如图，某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个矩形养鸡舍，门宽，该鸡舍的最大面积可以达到          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知函数．

若这个函数是二次函数，求的取值范围

若这个函数是一次函数，求的值

这个函数可能是正比例函数吗为什么

18. 本小题分

如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上．开始时点与点重合，正方形不动，以的速度向左运动，最终点与点重合．

求重叠部分的面积与时间之间的函数表达式和自变量的取值范围．

分别求当，时，重叠部分的面积．

19. 本小题分

已知二次函数．

求的值

当时，求的值．

20. 本小题分

如图，已知直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点，且的面积为，求的值．

21. 本小题分
    如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点、平移后的对应点分别为、若曲线段扫过的面积为图中阴影部分，则新图象对应的函数表达式为______．

22. 本小题分
    在平面直角坐标系中，抛物线：经过，且顶点坐标为．
    求抛物线的函数表达式；
    设为轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转得到抛物线．
    抛物线的顶点的坐标为______；
    当抛物线与线段有公共点时，结合函数的图象，求的取值范围．

23. 本小题分
    由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能车速不超过进行测试，测得数据如表：

以车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；
由图表中的信息可知：
该型汽车车速越大，刹车距离越______填“大”或“小”；
若该型汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为______；
若该路段实际行车的最高限速为，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的倍，则安全车距应超过______
 

24. 本小题分

已知抛物线经过点．

求的值

若点，都在该抛物线上，试比较与的大小．

25. 本小题分
    柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植株时，平均单株产量为，每亩种植的株树每增加株，平均单株产量减少．
    求平均单株产量与每亩种植株数的函数表达式；
    今年柑橘“红美人”的市场价为元，并且每亩的种植成本为万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：
一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；
二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．
根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．
【解答】
解：、关系式为：，故本选项正确；
B、关系式为：，故本选项错误；
C、关系式为：，故本选项错误；
D、关系式为：，故本选项错误；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点由题意可知，又因为二次函数的图象与轴有交点，所以，进而求出的取值范围．
【解答】
解：是二次函数，
，即，
若它的图象与轴有交点，则方程有实数根，
即，解得
综上所述，的取值范围是且  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正比例函数的概念、一次函数以及二次函数的概念 根据正比例函数的概念、一次函数的概念以及二次函数的概念，结合各选项分析即可 
【解答】
解：当时，该函数为，是正比例函数，选项说法正确，故此选项不符合题意；
B.当时，，该函数为，是一次函数，选项说法正确，故此选项不符合题意；
C.当该函数为二次函数时，且，解得，选项说法错误，故此选项符合题意；
D.当该函数为二次函数时，且，即，选项说法正确，故此选项不符合题意．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向右平移单位得到，
平移后的抛物线经过原点，

解得或．
故选：．
根据平移的规律得到向右平移单位后的抛物线为，然后把代入，解关于的方程即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为，当时，，函数图象经过，本选项符合题意．
D、平移后的解析式为，当时，，本选项不符合题意．
故选：．
求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图可知，图象开口向上，得；当，；对称轴，得；进而推断出，那么正确．
由图可知，，，得，那么错误．
由图可知，二次函数与轴有两个交点，故，那么正确．
由图可知，当，，那么错误．
综上：正确的有，共个．
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系、根的个数与判别式的关系解决此题．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系、根的个数与判别式的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系、根的个数与判别式的关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】
解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在轴右边可得：，异号，所以，
根据抛物线与轴的交点在正半轴可得：，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
由图象可知，当时，，即，
，
即，故正确；
由图象可知，当时，；当时，，
两式相加得，，故正确．
结论正确的有个．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的顶点坐标是，
故选：．
已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为，此题还考查了配方法求顶点式．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定；当时，；然后由图象得出最小值确定与的大小关系．
【解答】
解：对称轴在轴右侧，
、异号，
，
当时，二次函数的图象与轴交于负半轴，

，故正确；
对称轴，
，故正确；
，
，
当时，，

，故正确；
根据图象知，当时，有最小值；
当为实数时，有，
所以为实数，故正确．
本题正确的结论有：，个．  

10.【答案】 

【解析】解：每涨价元，每星期要少卖出件，每件涨价元，
销售每件的利润为元，每星期的销售量为件，
每星期售出商品的利润．
故选：．
由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为件，再利用每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量，即可得出结论．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式．
 

11.【答案】 

【解析】解：设窗的高度为，宽为，
故．
，
即．
当时，最大值为．
故选：．
设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线上点的坐标特征，二次函数的性质和二次函数与不等式，本题中确定的取值范围是解题的关键．
易求得抛物线对称轴，可以找出的大小范围，即可确定的大小范围，即可解题．

【解答】

解：对称轴为：．
当时，，
当时，，
当时，．
，，
．
．
又当时，，
当时，．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是函数的定义有关知识，根据题意可得即可解答．
【解答】
解：由题意可得：，
解得：．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数顶点在轴上的特点根据函数的顶点坐标在轴上，可以知函数顶点的纵坐标为，从而求解．
【解答】
解：二次函数的顶点在轴上，
顶点的纵坐标，
，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：把代入中得，
解得，
，
设点横坐标为，则，
点坐标为，
，
解得舍或．
．
故答案为：．
通过待定系数法求出函数解析式，然后设点横坐标为，则，从而得出点坐标为，将点坐标代入解析式求解．
本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的应用．解题的关键是读懂题意，掌握矩形的面积公式．设，鸡舍的面积为，根据矩形的面积公式得到，配方后根据二次函数性质可得最大面积．
【解答】
解：设，鸡舍的面积为，则，



；
该鸡舍的最大面积可以达到．
故答案为．  

17.【答案】解：函数，若这个函数是二次函数，则，解得且

若这个函数是一次函数，则，，解得．

这个函数不可能是正比例函数当此函数是一次函数时，，而此时

【解析】本题考查了二次函数，一次函数和正比例函数的定义，注意二次函数的二次项系数不能等于时，是二次函数；二次函数的二次项系数等于时，是一次函数；二次项系数等于，同时常数项等于时，是正比例函数．
根据二次函数的二次项系数不等于，可得答案；
根据二次函数的二次项系数等于，常数项不等于，是一次函数，可得答案；根据二次函数的二次项系数等于，常数项等于，可得正比例函数．
 

18.【答案】解：是等腰直角三角形，
重叠部分也是等腰直角三角形，如图，

又，
，
，
重叠部分的面积为．
自变量的取值范围是；
当时，，
当时， 

【解析】本题考查二次函数的应用，涉及代入求值问题，等腰三角形性质与判定，三角形面积公式等知识．
由题意可知：重叠部分也是等腰直角三角形，又因为，所以，，利用三角形面积公式即可表示出重叠部分的面积．
分别令和代入中的函数表达式即可求出答案．
 

19.【答案】解：由题意得：，且，
解得：；
把代入 ，得：
，
当时，． 

【解析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为和自变量指数为这个关键条件．
根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，可得，且，再解即可；
根据中的值，可得函数解析式，再利用代入法把代入可得的值．
 

20.【答案】解：设直线的解析式为：，
直线经过和两点，
将点和点代入直线的解析式得：

解得：
直线的解析式为：，
设点的坐标为，
的面积为，
，
，
把代入得，
，
，
点的坐标为，
将点的坐标代入，
，
． 

【解析】此题考查一次函数与二次函数的交点问题，涉及待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标的特征、三角形的面积等问题，根据一次函数与坐标轴的交点用待定系数法求出一次函数的解析式和用三角形的面积求出点的坐标是解题关键解答此题首先根据直线经过和两点，用待定系数法求出直线的解析式，然后设点的坐标为，根据的面积为求出点的纵坐标，再将纵坐标代入一次函数的解析式求出点的横坐标，最后将点的坐标代入二次函数的解析式即可求出的值．
 

21.【答案】 

【解析】解：曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移个单位，则．
故答案是：．
曲线段扫过的面积，则，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

22.【答案】解：由抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，
将代入解析式，得，
解得，
抛物线的解析式为，
；
如图，
由题意，得顶点是，二次项系数为，
抛物线的解析式为  ，
当抛物线经过，时，
解得，．
当抛物线经过时，
，
解得，
结合图象分析，，
当抛物线与线段有公共点时，的取值范围． 

【解析】见答案；
由旋转的性质，得
与关于对称，
，，
解得，，
；
故答案为：；
见答案；
见答案．
根据待定系数法，可得答案；
根据旋转的性质，可得与关于点对称，根据中点公式，可得答案；
根据图象过，点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解的关键；利用旋转得出与关于点对称是解的关键，利用象过，点得出点的坐标的坐标符合解析式是解关键．
 

23.【答案】解：如图，

大；；
． 

【解析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解答时求出函数的解析式是关键．
根据坐标画图即可；
由图象可得答案；根据待定系数法求出解析式，再把代入可得车速；
把代入得到的值，可得答案．
【解答】
见答案；
由图表中的信息可知：
该型汽车车速越大，刹车距离越大，
故答案为：大；
设与的关系式为，
把和代入得，
解得，
与的关系式为，
令，则，
解得或负值舍去，
该型汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为，
故答案为：；
由题意得车速为时，刹车距离为
，
安全车距应超过，
故答案为：．
 

24.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得．
由得，
抛物线的开口向下．
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大．
又，
． 

【解析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质．
把点代入求解即可；
根据抛物线的增减性解答即可．
 

25.【答案】解：由题意可得，
，
即平均单株产量与每亩种植株数的函数表达式是；
设每亩的利润为元，
，
当时，取得最大值，此时，
答：每亩种植株红美人可使利润最大，最大值为元． 

【解析】根据题意可以得到平均单株产量与每亩种植株数的函数表达式；
根据题意和中的函数关系式，可以得到利润和株数之间的函数关系，然后利用二次函数的性质即可解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．