高中数学4.2 等差数列优秀同步练习题

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第二册

4.2.3《等差数列的性质》同步练习

一、     单选题：

1.一个等差数列共有项，奇数项之和为，则这个数列的中间项为（    ）

A． B． C． D．

2.已知等差数列的前n项和为，若，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则等于（    ）

A．100 B．101 C．200 D．201

3.数列中，已知，该数列中相邻两项积为负数的是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

4.数列{}的前n项和Sn＝2n2+3n（n∈N*），若（p，q∈N*）,则（    ）

A．5 B．20 C．﹣20 D．﹣5

5.等差数列的前项和记为，若，则（    ）

A．6：1 B．1：5 C．1：6 D．5：1

6.两等差数列，的前n项和分别为，，若，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题:

7.等差数列的前项和为.且满足，，，

则_________.

8.已知数列中，，，则______．

三、多选题：

9.已知等差数列的前n项和为，公差，，，

则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C．当且仅当时，取最大值      D．当时，n的最小值为22

10.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作，《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始5每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是（    ）

A．4 B．5 C．7 D．8

四、拓展题：

11.已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，__________.若存在正整数，使得有最小值.从①，②，③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答.

（1）求的通项公式；     （2）求的最小值.

12.等差数列的前n项和为，若，.

（1）求的通项公式；   （2）设，求的前n项和.

五、创新题：

13.设等差数列的前项和为，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，设数列的前项和为，求证：.

同步练习答案

一、 选择题：

1.答案:D

解析:设数列为，由题得，

所以.   所以这个数列的中间项为13. 故选D.

2.答案:A

解析：，且A，B，C三点共线    ，

∴.      故选：A.

3.答案:C

解析：由题意得，

解得，又，∴

∴满足条件的相邻两项为，．     故选：C.

4.答案:B

解析：当时，，

当时，，

所以，也符合上式，  所以，

所以是公差为的等差数列.   所以. 故选：B

5.答案：A

解析：因为数列为等差数列，则，，成等差数列，因为

设，则，则，可得，

所以，，所以，         故选：A.

6.答案:C

解析:数列是等差数列，

则．     故选：C．

二、填空题：

7.答案:101

解析：      所以，

，解得n=101．      故答案为：101．

8.答案:

解析：因为，，所以，

，，，

因为，所以数列是以4为周期的周期数列

所以．      故答案为：.

三、多选题：

9.答案；A、D

解析：因为，所以，即①，

又，所以，所以，

因为，所以②，

由①②解得，，即选项A正确，B错误；

所以数列的通项公式为，

令，则，又，所以当或11时，取得最大值，

即选项C错误；

令，则，所以当时，n的最小值

为22，即选项D正确．     故选：A、D．

10.答案:B、D

解析：设最上面一层放根，一共放层，则最下面一层放根，

于是，     整理得，

因为，   所以为200的因数，且为偶数，

当时，，为奇数，不符合题意，

当时，，符合题意，

当时，，不符合题意，

当时，，符合题意，

所以，8满足题意．   故选：B、D．

四、拓展题：

11.答案：答案见解析.

解析：（1）（不可以选择③作为补充条件）

选择①作为补充条件.解答如下：

因为，所以.  所以.

选择②作为补充条件.解答如下：

因为， 所以.

（2）选择①作为补充条件.解答如下：

由（1）可知.   所以

因为，所以当或4时，取得最小值，最小值为.

故存在正整数或4，使得有最小值，最小值为.

选择②作为补充条件.解答如下：

由（1）可知.     所以

所以当时，取得最小值，最小值为.

故存在正整数，使得有最小值，最小值为.

12.答案:（1）；    （2）.

解析：（1）设的首项为，公差为d，

因为，所以解得

所以 ．

（2）因为，

所以

五、创新题：

13.答案:（1）；   （2）证明见解析.

解析:（1）设等差数列的公差为，则，

解得        所以，

（2），

，

因为         所以.