八年级上册数学活动课时练习

专题12.4  角平分线的性质与判定（专项训练）

1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　）

A． B．2 C．3 D．2

2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

3．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处

4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．

如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 

B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 

C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 

D．以上均不正确

5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）

A．10 B．7 C．5 D．4

6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）

A．15 B．30 C．45 D．60

9．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③

10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．24 B．30 C．36 D．42

11．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　．

12．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　  　．

13．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．

14．（2020秋•饶平县校级期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．

15．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：

（1）CF＝EB．

（2）AB＝AF+2EB．

16.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE＝CF的理由；

（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．

专题12.4  角平分线（专项训练）答案

1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　）

A． B．2 C．3 D．2

【答案】C

【解答】解：过点P作PB⊥OM于B，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，

∴PB＝PA＝3，

∴PQ的最小值为3．

故选：C．

2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】C

【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PD⊥CD，

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，

∴PA＝PE，PD＝PE，

∴PE＝PA＝PD，

∵PA+PD＝AD＝8，

∴PA＝PD＝4，

∴PE＝4．

故选：C．

3．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处

【答案】D

【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．

故选：D．

4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．

如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 

B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 

C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 

D．以上均不正确

【答案】A

【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，

∵两把完全相同的长方形直尺，

∴PE＝PF，

∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故选：A．

5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）

A．10 B．7 C．5 D．4

【答案】C

【解答】解：作EF⊥BC于F，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF＝DE＝2，

∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，

故选：C．

6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴DE＝CD，

∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，

解得DE＝3，

∴CD＝3．

故选：A．

7．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

【答案】C

【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵点O是内心，

∴OE＝OF＝OD，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，

故选：C．

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）

A．15 B．30 C．45 D．60

【答案】B

【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，

又∵∠C＝90°，

∴DE＝CD，

∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．

故选：B．

9．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③

【答案】A

【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，

∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，

∴Rt△AEF≌Rt△AEB

∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；

而点E是BC的中点，

∴EC＝EF＝BE，所以③错误；

∴Rt△EFD≌Rt△ECD，

∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；

∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；

∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．

故选：A．

10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．24 B．30 C．36 D．42

【答案】B

【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，

∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，

∴DH＝CD＝4，

∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，

故选：B．

11．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　 　．

【答案】4

【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DF＝DE＝2，

∴S△BCD＝•BC×DF＝×4×2＝4

故答案为：4．

12．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　  　．

【答案】42

【解答】解：

过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，

∴OE＝OD，OD＝OF，

即OE＝OF＝OD＝4，

∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC

＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD

＝×4×（AB+AC+BC）

＝×4×21＝42，

故答案为：42．

13．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．

【解答】解：如图，点P为所作．

14．（2020秋•饶平县校级期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．

【答案】略

【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N

则∠CMD＝∠BND＝90°，

∵AD是∠EAF的平分线，

∴DM＝DN，

∵∠ACD+∠ABD＝180°，

∠ACD+∠MCD＝180°，

∴∠MCD＝∠NBD，

在△CDM和△BDN中，

∠CMD＝∠BND＝90°，

∠MCD＝∠NBD，

DM＝DN，

∴△CDM≌△BDN，

∴CD＝DB．

15．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：

（1）CF＝EB．

（2）AB＝AF+2EB．

【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DE＝DC，

在Rt△CDF和Rt△EDB中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．

∴CF＝EB；

（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴CD＝DE．

在Rt△ADC与Rt△ADE中，

，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），

∴AC＝AE，

∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．

16.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE＝CF的理由；

（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．

【解答】（1）证明：连接BD，CD，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴BD＝CD，

在Rt△BED与Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE＝CF；

（2）解：在△AED和△AFD中，

，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE＝AF，

设BE＝x，则CF＝x，

∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，

∴5﹣x＝3+x，

解得：x＝1，

∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．